Центр поверхности второго порядка

Определение. Центром поверхности второго поряд-ка называется центр симметрии этой поверхности.

Теорема 1. Пусть относительно ДПСК поверхность второго порядка в пространстве задана следующим общим уравнением:

Для того, чтобы начало координат было центром этой поверхности, необходимо и достаточно, чтобы в её уравнении отсутствовали члены с , и в первой степени, т.е. чтобы . Иначе, чтобы уравнение (1) имело следующий вид ( ):

Доказательство необходимости. П редположим, что начало координат является центром поверхности (1). Возьмём на поверхности (1) произвольную точку . Её координаты будут удовлетворять уравнение (1), а так как начало координат является центром симметрии поверхности (1), то уравнению (1) будут удовлетворять и координаты точки симметричной точке относительно начала координат, т.е.

Из этого соотношения и соотношения (1) находим:

. Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности (1). Предположим, что хотя бы одно из чисел , , не равно нулю. Тогда все точки поверхности лежат в плоскости . Это может быть тогда и только тогда, когда уравнение (1) определяет две плоскости, совпадающие с плоскостью . Тогда левая часть уравнения (1) разлагается в произведение двух линейных относительно , , множителей, одним из которых является выражение :

. Плоскость, заданная уравнением , на основании сделанного замечания (тогда левая часть уравнения (1) разлагается в произведение двух линейных относительно , , множителей) должна совпадать с плоскостью , значит , . И поэтому . Здесь мы приходим к противоречию с тем, что в уравнении (1) хотя бы один из коэффициентов при , или в первой степени отличен от нуля (т.к. если раскроем этот квадрат - первых степеней мы не получим).

Теорема 2. Если относительно ДПСК поверхность второго порядка задана общим уравнением (1), то координаты , , её центра определяются из системы: (2)

Причём в случае несовместности этой системы поверхность не имеет центра.

Доказательство. Произведём параллельный пере-нос данной ДПСК, при котором новым началом будет точка . Обозначая старые координаты произвольной точки через , а новые её координаты - через , будем иметь: ; ; и уравнение (1) примет вид:

Где - результат подстановки координат точки в левую часть уравнения (1). На основании предыдущей теоремы 1 точка будет центром поверхности (1) тогда и только тогда, когда члены с первыми степенями равны нулю, т.е. ЧТД.

§ 155. Классификация поверхностей второго порядка по характеру места центров.

Пусть поверхность второго порядка задана общим уравнением (1) относительно ДПСК. Рассмотрим матрицы и .

В таблице 1 даны необходимые и достаточные признаки характера места центров поверхности, заданной уравнением (1).

Таблица 1

В самом деле, если каждое из уравнений системы (5) является уравнением первой степени, т.е. в каждом из уравнений системы (5) хотя бы один из коэффициентов не равен нулю то в таблице 1 приведены известные нам признаки о взаимном расположении 3 плоскостей.