Пример на синтез последовательного корректирующего устройства

На основе исходной системы с передаточной функцией

создать устойчивую желаемую систему с показателями качества

Решение.

Построим ЛАЧХ исходной системы, имея в виду, что ее АЧХ имеет вид

.

Выражение для точной ЛАЧХ, исходя из предыдущего выражения таково

С учетом сопрягающихся частот

построим ЛАЧХ исходной САР и определим ее устойчивость. Из рис.V. 4 можно усмотреть, что L_исх(ω) пересекает ось частот на втором участке. Значит,

если приравнять выражение для второй асимптоты нулю

,

Рис.V.4. ЛАЧХ исходной, желаемой САР и КУ

получим искомое значение частоты среза

На этой частоте фазочастотная характеристика исходной системы дает фазовый сдвиг

Значит, запас устойчивости по фазе отрицателен и замкнутая исходная система неустойчива, поэтому нужен синтез корректирующего устройства.

На том же рис.V.4 построим ЛАЧХ желаемой системы L_ж(ω). Найдем ω_срж из формулы (V.3.1), взяв показатели качества из условий рассматриваемого примера (t_p = 3, σ = 30%):

.

Эта частота только случайно совпадает с частотой излома исходной ЛАЧХ 4с^-1, и никакой дополнительной смысловой нагрузки не имеет. Среднечастотный участок проходит с наклоном -20 дб/дек и справа оканчивается ближайшей частотой излома исходной ЛАЧХ ω = 16 с^-1, а слева от ω_срж исходная ЛАЧХ излома не имеет, поэтому желаемую ЛАЧХ можно ломать в любом месте, не забывая, что длина среднечастотного участка определяет демпфированность системы. В нашем примере за частоту слома среднечастотного участка слева взята частота ω = 1с^-1.

Низкочастотный участок системы определяет точность САР. Требуемый для обеспечения в данном примере точности коэффициент усиления к_тр определяется по формуле

Поскольку коэффициент усиления исходной системы 40 больше к_тр=32,3, то заданная точность Δ заведомо выдерживается, поэтому низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ можно совместить с низкочастотной частью исходной ЛАЧХ.

Высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ так же совместим с высокочастотной частью исходной ЛАЧХ (об этом говорилось выше). Среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ сопряжем с низкочастотным и высокочастотным участками желаемой ЛАЧХ асимптотами с наклоном

-40 дб/дек каждый.

По построенной желаемой ЛАЧХ запишем ее передаточную функцию

Выше мы получили, что ω_срж = 4с^-1. Фазовый угол разомкнутой желаемой системы для этой частоты определяется выражением

Следовательно, запас устойчивости по фазе

и, значит, скорректированная замкнутая система устойчива.

Выше уже говорилось, что по передаточной функции разомкнутой желаемой системы W_ж(р) определяется передаточная функция замкнутой системы W_жз(р), а по последней – кривая переходного процесса

.

. По этой кривой находятся основные показатели качества скорректированной системы и если они не превышают заданных, то скорректированная система удовлетворяет техническому заданию. Остается только по полученной ЛАЧХ корректирующего устройства подобрать соответствующий пассивный четырехполюсник.

ЛАЧХ полученного корректирующего устройства (рис.V.4) отвечает передаточная функция

,

где Т₁ = 1 с; Т₂ = 0,25 с; Т₃ = 8,3 с; Т₄ = 0,025 с.

Из соответствующей литературы по корректирующим устройствам [1], [3], [5], [8] и др., полученным L_ку(ω) и W_ку(р) соответствует пассивный четырехполюсник (рис.V. 5)

Рис.V.5. Электрическая схема КУ

Кроме того, для приведённых четырехполюсников задаются математические выражения, связывающие электрические параметры четырехполюсников R_i, C_i и параметры L_ку(ω) – Т_i. Например,для нашего случая из одного из данных в справочнике выражений Т₂ = R₂C₂, задавшись достаточно большим сопротивлением R2 = 10⁴ ом для согласования цепей, получим

Из других приведённых в справочниках выражений для рассматриваемого четырёхполюсника определим

Синтез окончен.