Интерференция света. Пусть в некоторой точке М пространства происходят гармонические колебания напряженности электрического поля

СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ, НАПРАВЛЕННЫХ

ВДОЛЬ ОДНОЙ ПРЯМОЙ

Пусть в некоторой точке М пространства происходят гармонические колебания напряженности электрического поля, описываемые уравнениями:

E₁ = A₁ cos (w t + a₁), (1)

E₂ = A₂ cos (w t + a₂). (2)

Здесь А₁ и А₂ – амплитуды напряженностей Е₁ и Е₂; w – круговая частота, t – время; a₁ и a₂ – начальные фазы. Будем считать, что векторы Е₁ и Е₂; направлены вдоль одной прямой, например, вдоль оси х . Для определения напряженности Е результирующего поля воспользуемся векторной диаграммой (рис.1). Искомая напряженность равна

Е = Е₁ + Е₂ = A₁ cos Ф₁ + A₂ cos Ф₂, (3)

где Ф₁ и Ф₂ – фазы колебаний, равные

Ф₁ = w t +a₁ , Ф₂ = w t + a₂ . (4)

Е₁ можно рассматривать как проекцию вектора А₁ , вращающегося с угловой скоростью w вокруг точки О , на ось х . Аналогично Е₁ можно рассматривать как проекцию вектора А₂. , на ось х Из рисунка видно, что напряженность Е равна проекции вектора А на ось х , где

А = А₁ + А₂ . (5)

Следовательно, для определения Е необходимо рассчитать величины А и Ф.

Запишем теорему косинусов

А² = – 2 А₁А₂ cos a . (6)

Из рисунка видно, что a + D Ф = p, где DФ = Ф₂ – Ф₁ = a₂ – a₁ . Используя известное выражение cos (p – DФ) = – cos DФ , из (6) находим:

А² = + 2 А₁А₂ cos DФ . (7)

Как видно, значение А зависит от А₁ , А₂ и разности фаз DФ . Если

DФ = 2p m, m = 0, ±1, ±2, ..., (8)

то cos DФ = 1 и амплитуда имеет максимальное значение А_max = А₁ + А₂ .

Если

DФ = (2m + 1) p, m = 0; ±1; ±2; ..., (9)

то амплитуда имеет минимальное значение А_min =½ А₁ – А₂ ½. Таким образом, (8) и (9) являются условиями максимума и минимума амплитуды результирующих колебаний напряженности электрического поля в точке М. Значение Ф можно рассчитать, используя рис.1. Однако в данной работе Ф не имеет существенного значения.

Интерференция световых волн

Световые волны являются частным случаем электромагнитных волн. Их длина λ находится в диапазоне (4-7.5) 10 ^–7 м. В световой волне происходят колебания напряжнностей электрического поля и магнитного поля. Однако действие света на электроны вещества, в основном, определяется напряженностью электрического поля, а влиянием на них напряженности магнитного поля световой волны во многих случаях можно пренебрегать. Поэтому вектор Е называют световым вектором. Будем считать, что источники света S₁ и S₂ (рис.2) когерентны и плоскости поляризации их световых волн совпадают. Тогда их векторы Е₁ и Е₂ будут направлены вдоль одной прямой. Это позволяет использовать формулы (7) – (9) для исследования результата интерференции волн в точке М экрана Э, расположенного на расстоянии L от источников. Уравнения волн источников S₁ и S₂ можно записать в виде

E₁ = A₁ cos (w t – k₁х₁ + a₁), (10)

E₂ = A₂ cos (w t – k₂х₂ + a₂). (11)

Здесь k– волновое число, определяемое как

. , (12)

где l₁ – длина волны в среде вдоль линии S₁М ; l₂ – длина волны в среде вдоль линии S₂М. Величины для А₁ и А₂ в зависимости от типа волны (сферическая, цилиндрическая или плоская) по различному могут меняться по ходу волны. Мы будем считать, что А₁ и А₂ являются значениями амплитуд Е именно в точке М . Тогда х₁ = r₁ , х₂ = r₂ и уравнения (10) и (11) запишутся как

E₁ = A₁ cos (w t – k ₁r₁ + a₁), (13)

E₂ = A₂ cos (w t – k ₂r₂ + a₂). (14)

Для разности фаз в точке М получим выражение

DФ = (– к r₂ + a₂) – (– к r₁ + a₁) = к r₁ – к r₂ + (a₂ – a₁). (15)

Скорости волн равны равны

u₁ = l₁ n , u₂ = l₂ n. (16)

Здесь; n – частота волны. Скорость волны в данной среде u и скорость волны в вакууме с связаны выражением

u = , (17)

где п – показатель преломления. Отсюда находим

k₁ = ; k₂ = , (18)

где l₀ – длина волны в вакууме. Из (15) и (18) находим

DФ = (п₁ r₁ – п₂ r₂) + (a₂ – a₁). (19)

Величина

d = п₁ r₁ – п₂ r₂ (20)

называется оптической разностью хода. Для разности фаз получим формулу

DФ = d + (a₂ – a₁). (21)

Из (8), (9) и (21) находим условие максимума амплитуды

d + (a₂ – a₁) = 2 p т , т = 0, ±1, ±2, ... (22)

и минимума

d + (a₂ – a₁) = 2 (т + 1) p , т = 0, ±1, ±2, ... (23)

Интенсивность световой волны пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля. Следовательно, (22) определяет координату максимальной интенсивности.

Частный случай: п₁ = п₂ = п . Тогда d = п (r₁ – r₂). Условие максимума запишется как

(r₁ – r₂) + (a₂ – a₁) = 2 p т или (r₁ – r₂) + (a₂ – a₁) = 2 p т.

Отсюда находим

r₁ – r₂ = т l + (a₁ – a₂) (24)

или r₁ – r₂ = т l + j /2p, где j = a₂ – a₁ .

Из рис.2 видно, что

Отсюда

= 2yd , r₁ – r₂ = . С учетом условия d << L можно принять r₁ + r₂ » 2L и

r₁ – r₂ = . (25)

Из (24) и (25) находим координату интерференционного максимума

. (26)

Шириной интерференционной полосы называется расстояние между соседними максимумами

Dу = у_т_{+ 1} – у_т = . (27)

Отсюда находим формулу для длины волны

l = . (28)

Как видно отсюда, зная геометрические размеры L , d и ширину интерференционной полосы можно определить длины световой волны. Формула (27) показывает рост ширины полосы с увеличением расстояния от источника до экрана и уменьшением расстояния между источниками S₁ и S₂ . Зная l , из

l₀ = п l (29)

можно найти длину волны в вакууме.

Интенсивность световой волны

Световая волна переносит энергию. Земля нагревается энергией Солнца, которую переносит световая волна. Плотность потока энергияР называется вектором Пойнтинга. Модуль этого вектора Р равен энергии, переносимой волной за 1 с через площадку, расположенную перпендикулярно вектору скорости распространения волны. Среднее значение Р называется интенсивностью света и равно

. (30)

Здесь e и m – относительные электрическая и магнитная проницаемости среды; e₀ и m₀ – электрическая и магнитная постоянные; А – амплитуда напряженности электрического поля. Единицей измерения I является Вт/м². Если умножить уравнение (7) на величину , получится