Анализ одномерных распределений

Главная цель эмпирических наблюдений состоит в том, чтобы проверить гипотезы об интересующих нас общественных явлени­ях или закономерностях в поведении людей. Однако перед тем как исследователи начинают проверять свои гипотезы, они обычно бросают предварительный общий взгляд на свои данные и пыта­ются резюмировать или описать их по каждой из переменных. При резюмировании измерений одной переменной используется так называемая описательная статистика. Соответствующие такому анализу таблицы называют линейными или одномерными распре­делениями.

В курсе математической статистики можно познакомиться с не­которыми примерами анализа одномерных данных и описательной статистики. Например, средний оценочный балл группы — это опи­сательная статистика, которая описывает и суммирует экзаменаци­онные ведомости как отражение курса оценок. Если мы вычертим график того, как изменяется со временем коэффициент безработи­цы в данном регионе, то это позволит увидеть, возрастает он или падает — это и будет анализ одномерных данных, где в качестве пред­мета описательной статистики выступает коэффициент безработицы. Таким образом, описательные статистические данные — это не что иное, как способы математического суммирования многочисленных наблюдений в ясной и осмысленной форме.

Обычно для обобщенного описания того, что является наибо­лее характерным для наблюдаемых нами явлений, используют два основных типа анализа: 1) измерение центральной тенденции (т.е. выявление того, какие из значений переменных встречаются в линейных распределениях наиболее часто, а значит, определяют общую или центральную закономерность); 2) измерение разброса или дисперсии (т.е. показывает, насколько плотно или слабо рас­пределяются все зафиксированные значения данной переменной вокруг наиболее общего, среднего или центрального значения). При обработке эмпирических данных и анализе полученных ре­зультатов мы должны, разумеется, принимать во внимание шкалу, с помощью которой производилось измерение той или иной переменной. Способы измерений, т.е. те алгоритмы, по которым производится отображение изучаемых социальных объектов в ту или иную числовую математическую систему, различаются по сте­пени своей сложности и по объему тех математических действий, которые можно производить с полученными в результате наблю­дений значениями переменных. В зависимости от того, насколь­ко широк круг математических операций, допустимых для обра­ботки и получения содержательных выводов, в социологии чаще всего используют шкалы следующих типов (если расположить их в порядке возрастания соответствующего уровня измерений): номинальные, ранговые, интервальные, пропорциональные. Все эти шкалы были разработаны и введены в научный оборот аме­риканским исследователем С. Стивенсом.

Номинальная шкала

С помощью номинальной шкалы мы измеряем такие перемен­ные, которые в принципе не могут количественно отличаться друг от друга. Другое название этого уровня измерений — шкала наи­менований, что довольно точно отражает его сущность: каждое значение здесь представляет собою отдельную категорию, и зна­чение является просто своего рода ярлыком или именем. Значе­ния присваиваются переменной безотносительно к упорядочива­нию или установлению какой-то дистанции между категориями, их невозможно сравнивать между собою по принципу «больше-меньше», «выше-ниже» и т.п. Так, если бы мы захотели рассчи­тать средние значения переменных, измеренных по номинальной шкале, то это было бы пустой тратой времени. В самом деле, мож­но ли рассчитать среднее значение пола? Или рода занятий? В измерениях номинального уровня отсутствуют те свойства, ко­торыми обладают реальные числа, и такие переменные невозмож­но складывать, вычитать, умножать и делить¹³.

Поэтому данные, полученные по номинальной шкале, обыч­но резюмируются с помощью простого частотного распределения так, как показано в табл. 4.2 и 4.3.

Таблица 4.2

Распределение респондентов по полу

Источник: Аналитический отчет об опросе избирателей округа № 14 г. Нижнего Новгорода, проведенного 12—13 марта 1998 г.

Таблица 4.3

Распределение респондентов по социально-профессиональному статусу

Источник: Аналитический отчет об опросе 12—13 марта 1998 г.

Мы видим, что в таблицах, помимо указания частоты в абсо­лютных цифрах, приведены данные в процентах (что указывает на удельный вес каждого из значений определяемой переменной). Пропорции и процентные доли в процессе анализа предпочтитель­нее частотных распределений вследствие того, что они облегчают процесс сравнения двух популяций различных размеров. Напри­мер, в табл. 4.4 показаны две гипотетические студенческие попу­ляции различных размеров, но с одинаковыми пропорциями вы­бора дисциплин, которые представляются им предпочтительны­ми для изучения. Вы можете прикрыть полоской бумаги столбцы, содержащие проценты, и убедиться, что непосредственно из час­тотного распределения (без указания процентов) выявить этот факт было бы довольно трудно. Проценты же раскрывают эту информацию немедленно, поэтому нередко, в целях экономии места, особенно в достаточно больших по размерам таблицах, по­казывают только проценты. Частотные распределения в абсолют­ном выражении опускаются, однако при этом желательно приво­дить общее число наблюдений и тем самым давать возможность читателю в случае необходимости вычислить соответствующее частотное распределение.

Таблица 4.4 Распределение предпочтений, отдаваемых различным учебным дисциплинам

Источник: Гипотетические данные.

В табл. 4.5 представлен пример частотного распределения, про­порций и процентов голосов делегатов Национальной конвенции Демократической партии США, поданных в 1984 г. за выдвиже­ние трех главных кандидатов в президенты от этой партии — Уол­тера Мондейла, Гэри Харта и Джесси Джексона.

Таблица 4.5

Частотное распределение, пропорции и проценты голосов делегатов

Национальной демократической конвенции 1984 г.

(Переменная: число поданных голосов на номинации кандидата в президенты от Демократической партии 1984 г.)

Источник: New York Times, July 20. 1984. A12.

Из этой таблицы, конечно, и так видно, что абсолютное число голосов, поданных за Мондейла (2191), больше, нежели число голосов, поданных за других кандидатов; однако, благодаря использованию пропорций и процентов, сопоставление различных значений переменных становится более рельефным и отчетливым, что, конечно же, облегчает анализ. Преимущество становится осо­бенно бесспорным при необходимости последовательного сравне­ния достаточно длинных рядов распределений.

Для данных номинального уровня измерение центральной тен­денции производится с помощью определения моды. Модой, или модальной категорией, называется то значение переменной, кото­рое встречается среди данных наиболее часто. В табл. 4.2 модаль­ную категорию представляют собою женщины. В табл. 4.3 — это категория неработающих пенсионеров, которых среди респонден­тов оказалось большинство.

Помимо центральной тенденции измеряют и дисперсию данных. Дисперсия характеризует разброс значений переменной. Для дан­ных номинального уровня наибольшая дисперсия проявляется в тех случаях, когда наблюдения распределены поровну между ка­тегориями. Данные табл. 5 весьма дисперсны, поскольку имеется почти одинаковое число мужчин и женщин. Полное отсутствие дисперсии проявляется в тех случаях, когда все наблюдаемые зна­чения переменной совершенно однородны, т.е. попадают в одну и ту же категорию.

При проведении одномерного анализа могут обнаружиться такие характеристики данных, которые представляют собой существенные препятствия для дальнейшего анализа. Представьте, например, что вы намереваетесь изучить взаимосвязь между полом и родом заня­тий и обнаружили, что в выборке опроса оказались одни лишь муж­чины. Поскольку налицо отсутствие дисперсии (т.е. нет вариаций по одной из ключевых переменных — по полу), сравнение провести нельзя. Урок, который необходимо из этого усвоить, состоит в сле­дующем: нет изменения — нет сравнения.А процедура сравнения яв­ляет собою, по сути, ядро анализа. При отсутствии изменений вы можете обнаружить какое-то интересное единообразие, но не смо­жете изучить связей между переменными, т.е. выявить, что же про­исходит с одной из них, когда другая варьирует (изменяется). Самый простой одномерный анализ, проведенный в ходе сбора данных, поможет вам вовремя скорректировать выборку.

Выявляя центральную тенденцию, следует сразу обращать вни­мание на максимальные и минимальные значения изучаемой пе­ременной. Другими словами, когда вы имеете дело с переменной, принимающей целый ряд значений, анализ следует начинать с акцента на самом большом и самом маленьком значении — это сразу дает вам представление о масштабах изменения рассматри­ваемой переменной.

Не менее, а нередко и более удобным средством анализа слу­жит графическое отображение рядов распределений. На рис. 4.1 в виде столбчатой диаграммы изображено распределение, пред­ставленное в табл. 4.3. Одного общего взгляда на эту диаграмму достаточно, чтобы оценить соотношение численности представи­телей различных социально-профессиональных групп в выбороч­ном массиве; при взгляде на таблицу это нельзя увидеть столь отчетливо.

На рис. 4.2 мы видим другую форму графического представле­ния данных. Здесь приведена круговая диаграмма реестра голо­сов, поданных на выдвижении кандидатов в президенты демо­кратами в 1984 г. (табл. 4.5).

Рис. 4.1. Социально-профессиональный статус опрошенных

(Столбчатая (иногда говорят — столбиковая) диаграмма представляет собой ряд столбцов; каждый столбец — это процент или частота данного значения пере­менной.

Это одна из разновидностей круговых диаграмм — та, что в англоязычной социологической литературе называется pie -diagram («пирожковая диаграмма») —
объемное изображение, действительно напоминающее своей формой пирог (или торт).

Рис. 4.2. Распределение голосов за выдвижение кандидатов в президенты США от Демократической партии на выборах 1984 г. (см. данные табл. 4.5)

Ранговая шкала

В принципе та же одномерная статистика, что используется для суммирования данных номинального уровня, может быть приме­нена и для данных рангового уровня. Данные рангового уровня измерений включают в себя категории наблюдения, которые раз­мещены по порядку (от большего значения какого-то признака к меньшему его значению или, наоборот, — от меньшего к боль­шему). Здесь методы описательной статистики более информатив­ны, нежели методы, используемые для измерений номинального уровня. Для измерений порядкового уровня центральную тенден­цию частотного распределения можно оценить с помощью как моды, так и медианы. Тогда как для измерений порядкового уров­ня разброс можно выявить с помощью не только дисперсии, но и среднеквадратического отклонения. Для измерений номинального уровня разброс частотного распределения можно только «ощу­тить», просматривая все категории. Медиана — это категория, к которой принадлежит серединное наблюдение.

Можно посмотреть, как определяется медиана на примере рас­пределений ответов на вопрос о том, какова частота использова­ния различных источников информации о работе городской ад­министрации (табл. 4.6).

Здесь значения переменных — частоты использования того или иного источника — соотнесены с ранговой шкалой, значения ко­торой меняются от категории «часто» (которой присвоен ранг 4) до «не дали ответа» (ранг 0). Учитьшая, что общее число опрошенных (или число наблюдений) равно 426, половина наблюдений соста­вит 213. Это означает, что медиана для такого источника инфор­мации, как «встречи с мэром и работниками администрации», приходится на категорию с рангом 1 (никогда); для четырех пос­ледующих переменных — на категорию с рангом 2 (иногда); для последней переменной — «телевидение» — медиана приходится на категорию 3 (регулярно).

Поэтому иногда такие шкалы называют также порядковыми или ординальны­ми (от англ. ordinal — «порядковый»).

Обратим внимание, что каждый из источников информации — это отдельная
переменная.

Таблица 4.6

Источники информации о работе городской администрации

Источник: Аналитический отчет об опросе жителей г. Нижне­го Новгорода, декабрь 1998 г.

Отметим, что при использовании для измерений порядкового уровня методы описательной статистики более информативны, нежели для измерений номинального уровня. В первом случае центральную тенденцию частотного распределения можно оценить как с помощью моды, так и с помощью медианы, а во втором подходит только мода. Для измерений порядкового уровня разброс частотного распределения можно выявить с помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения, тогда как для измерении но­минального уровня разброс можно только «ощутить», просматри­вая все категории. Такова одна из причин, по которым измере­ния высокого уровня часто оказываются предпочтительнее по сравнению с измерениями более низкого уровня.

Интервальная шкала

Измерения интервального и пропорционального уровня редко анализируются с помощью прямого указания частот или процент­ных отношений. В отличие от номинальных или ранговых изме­рений значения переменных, измеряемых с помощью интервальных шкал, изменяются непрерывно, они представляют собой численные величины, а не категории. Поэтому количество различных наблюдаемых значений может быть так велико, что частоты и процентные отношения не в состоянии эффективно просуммировать данные. В самом деле, при измерении такой переменной, как возраст, мы можем получить набор значений, ни одно из которых не будет повторять другого (если в нашем выборочном массиве не окажется какого-то количества респондентов, чьи даты рождения совпадают день в день). При измерении доходов также трудно рассчитывать, что суммы доходов различных респондентов или их семей будут совпадать до рублей и копеек. По этой причине зна­чения таких переменных и размещают в интервалах, размеры ко­торых определяются исследовательским замыслом.

Критериями центральной тенденции для пропорционального и интервального уровней измерений выступают мода, медиана и среднее арифметическое. Среднее арифметическое представляет собой сумму значений переменной, разделенную на число значе­ний. Общая формула для ее вычисления алгебраически выглядит следующим образом:

где хi — числовое значение i-й позиции, a N— общее число наблю­дений (объем выборки).

Рассмотрим вычисление средней арифметической величины на примере расчета средней посещаемости занятий в студенческой группе по данным проверок деканата. Данные о посещаемости приведены в табл. 4.7.

Сложив числа в правой колонке и разделив их на 10 (число проверок), мы получим, что средняя посещаемость в группе со­ставила х = 18,6.

Понятно, что полученное число —18,6 студента — не может иметь реального физического смысла, оно пригодно лишь для сравнения между собою уровня посещаемости в двух и более группах. Хотя и для этой цели полученные средние величины вначале следует нормировать, разделив их на общую численность студентов каждой группы.

Среднее может оказаться обманчивым показателем центральной тенденции, если в объеме выборочной совокупности среди значе­ний интересующей нас переменной появится какая-то экстремаль­ная величина. Например, среднедушевые ежемесячные доходы се­мей в двух гипотетических общинах (скажем, среди жильцов двух подъездов одного дома, каждый из которых насчитывает по 10 квартир) идентичны, за исключением дохода одной семьи (табл. 4.8). Среднедушевой доход семьи жителей 1-го подъезда — 4230 руб. — более чем вдвое превышает среднедушевой доход во 2-м подъезде — 2050 руб. Именно расчет среднего дохода в каждом из подъездов создает ошибочное впечатление, что люди в 1-м подъезде вдвое бо­гаче, чем люди во 2-м подъезде, тогда как в реальности есть лишь одна семья в 1-м подъезде, которая гораздо богаче любой семьи из обоих подъездов. В этом случае медиана будет лучшим показате­лем центральной тенденции, нежели среднее. Медианный подход даст для обоих подъездов одинаковый результат: 2100 руб. — доволь­но близкий к среднему значению по 2-му подъезду. Если среднее и медиана не сходны по своему значению, можно сделать вывод, что на значение среднего влияют одно или несколько экстремаль­ных значений измеряемой переменной.

Таблица 4.7

Таблица 4.8 Среднедушевые ежемесячные доходы семей в двух подъездах дома (руб.)

Источник: Гипотетические данные.

Вычисление средней арифметической величины для переменныхx, значения которых измеряются не однозначно определенны­ми числами, а изменяются вдоль непрерывного ряда значений, имеет свои особенности. Здесь расчитывается не среднее арифметическое, а средневзвешенное. Предположим, что нам требуется вычислить средний возраст опрошенных респондентов (табл. 4.9).

Таблица 4.9

Распределение респондентов по возрасту

Источник: Аналитический отчет об опросе жителей г. Нижне­го Новгорода, декабрь 1998 г.

Вначале мы должны определить середину каждого интервала; эto делается путем вычисления простого среднего, т.е. сумма край­них значений делится пополам. Затем необходимо умножить это значение на число респондентов соответствующего возраста, сло­жить полученные произведения и разделить на общий объем вы­борки (см. табл. 4.9а).

Таблица 4.9а

Результат 2-го этапа вычисления средневозрастной величины

Разделив полученную сумму на 457, мы получим средний воз­раст в 42,6 года. Таким образом, формула для средневзвешенного значения выглядит аналогично соотношению (4.1) с учетом того, что хi здесь относится к середине интервала:

N N

где хi — числовое значение i-й позиции; n_j — число респондентов, наблюдаемых по i- позиции переменной; N— общее число на­блюдений.

Показатели разброса данных интервального или пропорцио­нального уровня включают среднее отклонение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Среднее отклонение(MD) представ­ляет собой меру разброса, основанную на отклонении каждого из значений от среднего. Пример ее вычисления приведен ниже, по данным из табл. 4.10.

Таблица 4.10

Распределение, отклонение и среднее распределение доходов среди жильцов подъезда № 2

Номер квартиры	2-й подъезд	х-	\х- \
		-1050
		-1050
		-850
		-150
		-50
Среднее		∑(х- )=0

Таким образом, уравнение для среднего отклонения выглядит следующим образом:

Где | | — символ абсолютной величины (модуля).

Если мы берем каждую отметку и вычитаем из нее среднее, мы вычисляем ту величину, на которую каждая из отметок (вторая колонка) отличается от среднего (нижняя ячейка второй колон­ки). Сумма этих отклонений всегда равна нулю — важное мате­матическое свойство среднего (проверьте это сами, сложив числа в третьей колонке). Поскольку мы интересуемся только величи­ной отклонения, а не направлением или знаком его, то находим абсолютные значения отклонения (четвертая колонка). Затем мы берем их сумму и делим на число отметок, чтобы найти среднее отклонение отметок от среднего; получаем MD = 630. Чем боль­ше среднее отклонение, тем сильнее разброс отметок вокруг сред­него.

Хотя среднее отклонение и выявляет разброс, чаще для его измерения используются дисперсия и среднеквадратическое от­клонение.

Дисперсия представляет собой сумму квадратов отклонений от среднего, разделенную на число отметок:

Чем больше разброс данных вокруг среднего, тем выше значе­ния σ² и S. Это означает, что если все данные одинаковы, то s² и S равны нулю.

Таким образом, для вычисления дисперсии и среднеквадратического отклонения надо пройти последовательно семь этапов:

1) вычислить среднее;

2) вычислить разности между средним и каждым из значений;

3) возвести в квадрат разности, вычисленные на этапе 2;

4) умножить квадраты разностей на частоты наблюдений каж­дого из значений;

5) просуммировать квадраты разностей, вычисленные на этапе 4;

6) разделить сумму квадратов, полученную на этапе 5, на N; это равняется дисперсии;

7) извлечь квадратный корень из числа, вычисленного на эта­пе 6; это равняется среднеквадратическому отклонению.

Пример расчета дисперсии и среднеквадратического отклоне­ния. В опросе, проведенном в конце декабря 1998 г., нижегород­цев просили оценить некоторые личностные качества недавно избранного мэра, используя для этого так называемый семанти­ческий дифференциал. Этот метод заключается в следующем:

респонденту предлагается выразить свое отношение к интересу­ющему исследователя качеству по совокупности биполярных шкал (в нашем случае девятибалльных). Одно из предложенных для оценки качеств мэра — доступность — было выражено с помощью такой шкалы:

Результаты в исследовании распределились следующим образом:

Таблица 4.11

Распределение оценок качества «доступность»

Отбросив нули (табл. 4.11), т.е. варианты «нет ответа» (после чего N становится равным 368), мы подсчитываем, что среднее значение оценки (по формуле средневзвешенного) составляет:

Обратим внимание: если бы мы не отбросили значение «нет ответа», т.е. приняли бы эту позицию за нуль как математическую величину, то получили бы среднее значение:

т.е. заметно меньшее, нежели рассчитанное нами. Оно более точ­но в математическом смысле, но искажает социологический смысл, поскольку ведь те, кто не дали ответа, вовсе не выставляли оцен­ку «О», они просто не выставили никакой оценки.

Рассчитаем отклонение от среднего и квадрат отклонения от среднего по каждому баллу (табл. 4.12).

Xi (оценочный балл)	(Xi - )	(Xi - )2
	-4,4	135,52
	-3,4	127,16
	-2,4	230,4
	-1,4	90,16
	-0,4	17,28
	0,6	18,36
	1,6	140,8
	2,6	162,24
	3,6	336,96

Что дает для анализа данных знание дисперсии? Напомним, что «дисперсия» (dispersion) по-английски означает «разбрасыва­ние, рассеивание»; в данном случае это рассеяние реально полу­ченных эмпирических данных вокруг среднего значения. В зави­симости от того, насколько велика (точнее, мала) дисперсия или среднеквадратичное отклонение, мы можем судить, насколько единодушны были в своих оценках респонденты (при меньшем значении дисперсии), или наоборот — насколько сильно они рас­ходятся в своих мнениях (при большем значении дисперсии). Сравним, к примеру, разброс оценок (по пятибалльной шкале: от 5 — очень важное, до 1 — затрудняюсь ответить), которую, в ходе исследования особенностей сексуального поведения, дали респон­денты степени влияния на их «сексуальное образование» различ­ных источников информации (табл. 4.13):

(Поэтому индексы, основанные на дисперсии, полезно иногда применять при изучении групповой сплоченности).

Таблица 4.13

Оценка степени влияния различных источников на информированность о сфере интимных отношений (в средних значениях по 5-балльной шкале)

Источник: Данные пилотажного опроса, декабрь 1998 г.

Из этой таблицы помимо сведений о том, что максимальное влияние на информированность о наиболее интимных сторонах жизни оказывает сексуальный партнер, а наименьшее — педагоги, мы узнаем также, что с наибольшим единодушием респонденты оценили низкую степень влияния такого источника, как педагоги, о чем говорит минимальное значение среднеквадратического откло­нения, а наибольшее расхождение в оценках вызвал такой источ­ник, как супруг/супруга, — максимальное значение S(что, возмож­но, связано с большими различиями в индивидуальном опыте).