ПРОЦЕССЫ ОТКАЗОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЙ ОДНОЭЛЕМЕНТНОЙ СХЕМЫ. НЕРЕЗЕРВИРОВАННАЯ СХЕМА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ NЭЛЕМЕНТОВ.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ В СМЫСЛЕ
НАДЕЖНОСТИ
План лекции
1. Процессы отказов и восстановлений одноэлементной схемы
2. Нерезервированная схема, состоящая из nэлементов
3. Последовательное соединение элементов в смысле надежности
Краткое содержание лекции
Марковский случайный процесс можно описать обыкновеннымидифференциальными уравнениями, в которых неизвестными являютсявероятности состояний.Элемент или установка без резервирования может находиться в двухсостояниях:
0 – работоспособное;
1 – отказ.
Определим соответствующие вероятности состояний элемента впроизвольный момент времени t при различных начальных условиях (н.у.).Процесс изменения состояний рассматриваемого элемента можнопроиллюстрировать с помощью графа переходов из состояния в состояние (см.рис. 14.1):
Рисунок 14.1. Граф перехода из состояния в состояние для одноэлементной схемы
Вершинам графа соответствуют состояния элемента: 0;1, ребрам –возможные переходы из одного состояния в другое.
Из рабочего состояния элемент перешел в состояние отказа
завремя t по ребру →λdt(переход), или из состояния отказа
за время tэлемент перешел в состояние работы
по ребру ←μdt(переход).За время t не произошло изменения состояния, т.е. из работы элементперешел в работу: ребро 1 −λdt, аналогично – из отказа в отказ, т.е. элемент невосстановился за время t: ребро 1 − μdt.
Если имеется направленный граф состояний, то системудифференциальных уравненийдля вероятностей состояний можно записать,пользуясь следующим правилом:
В левой части каждого уравнения стоит производная dp(t) / dtсиндексом 0или 1в зависимости от рассматриваемого состояния, а в правой –столько составляющих, сколько ребер связано непосредственно сданнымсостоянием. Если ребро оканчивается в данном состоянии, то составляющаяимеет знак «+»; если начинается из данного состояния, то составляющаяимеет знак «–». Каждая составляющая равна произведению интенсивности
потока событий (λ или μ), переводящего элемент или систему по данномуребру в другое состояние, на вероятность того состояния, из которогоначинается ребро.
Согласно данному правилу состояние работы описывается уравнением:
Состояние отказа описывается уравнением:
Полученную систему дифференциальных уравнений можно использоватьдля определения:
- вероятностей безотказной работы систем;
- вероятностей отказа;
- коэффициента оперативной готовности;
- вероятности нахождения в ремонте нескольких элементов;
- среднего времени пребывания системы в любом состоянии;
- интенсивности отказов системы с учетом н.у. (состояний элементов).
Решение системы уравнений, описывающих состояние одного элемента,при начальных условиях: элемент в работе, т.е. po(0) = 1;p1 (0) = 0 , имеетвид:
Если в начальный момент времени элемент находится в состоянии отказа,т.е.
Для стационарного состояния (t →∞) вероятность работы элементаравна стационарному коэффициенту готовности Г K , а вероятность отказа –стационарному коэффициенту вынужденного простоя, П K :
Продолжительность времени, в течение которого вероятности p o (t ) и p 1( t ) достигают установившегося значения, зависит от показателя степени (λ + μ ), т.е. от коэффициента затухания экспоненты.
Стационарные коэффициенты готовности K Ги отказа K Пможноинтерпретировать, как среднюю вероятность застать систему соответственно врабочем состоянии или состоянии отказа.Обычно в расчетах показателей надежности для достаточно длинныхинтервалов времени без большой погрешности вероятностисостояний системы можно определять по установившимся среднимвероятностям:
Такого рода состояния сточки зрения надежности называются предельными.Вероятности установившихся состояний находятся просто из системыалгебраических уравнений, полученных из дифференциальных уравненийприравниванием
В этом случае система уравнений для элемента с двумя состояниямибудет иметь вид:
Таким образом, получился тот же результат, что и при анализепредельных состояний с помощью дифференциальных уравнений.
Система, состоящая из ппоследовательно соединенных элементов,причем восстанавливаемых, отказывает в тех случаях, когда любой изэлементов выйдет из строя. Система из поднородных последовательносоединенных элементов имеет два состояния (см рис. 14.2):
Рисунок 14.2. Граф переходов из состояния в состояние для схемы споследовательно соединенными элементами
0 – все элементы в безотказном состоянии;
1 – один из элементов, а, следовательно, и система, всостоянии отказа.
Тогда система дифференциальных уравнений будет иметь вид:
При начальных условиях: система в работе, т.е. po(0) = 1 , p1(0)= 0 ,решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:
При начальных условиях: система в состоянии отказа, т.е. p0(0)= 0 ,p1(0)= 1 решение системы дифференциальных уравнений следующее:
Если система неоднородна, то в вышеприведенных формулах вместо n,т.е. числа элементов с одинаковыми показателями надежности, нужно ставитьзнак Σ.
Для стационарного состояния (t →∞) коэффициенты готовности K Г .С .ивынужденного простоя системы K П .С .имеют вид:
Выразим коэффициент готовности системы через коэффициентыготовности ее элементов при условии, что элементы системы имеютодинаковые показатели надежности:
Аналогично для коэффициента вынужденного простоя системы при томже условии:
Если элементы системы имеют различные показатели надежности, тосистема может находиться в различных по продолжительности состоянияхотказа.
Тогда
При небольшом значении числа элементов в рассматриваемой системе впрактических расчетах для системы с высоконадежными элементами можнопользоваться приближенными формулами
Для такой схемы эквивалентная интенсивность отказа и эквивалентноесреднее время восстановления можно определять так:
Дата добавления: 2016-04-11; просмотров: 1121;