Лемма о разрастании языка
В достаточно длинной строке регулярного языка всегда можно найти непустую подстроку, повторение которой произвольное количество раз порождает новые строки того же самого языка.
ПримерЯзык L1 = {ambn | m, n ³0} – регулярный, т.к., например, в строке aabbb повторение любой подстроки, образованной только из нулей или единиц, порождает строки (aaaabbb, aaabbb, aabbbb, aabbbbbb и т.д.) языка L1.
Язык L2 = {anbn | n ³1} – не регулярный, т.к. Действительно, любая итерация подстроки, состоящей только из нулей или единиц, нарушает баланс нулей и единиц. Подобные действия со смешанными подстроками, содержащими нули и единицы, приводят к нарушению порядка следования нулей и единиц. Таким образом, для языка L2 не строк, удовлетворяющих условиям леммы.
Удобным средством формального определения регулярных языков являются регулярные выражения.
ОпределениеРегулярные выражения над алфавитом S определяются следующим образом:
1) Æ - регулярное выражение (обозначает пустоте регулярное множество Æ);
2) e - регулярное выражение (обозначает регулярное множество {e}, состоящее из пустой строки);
3) а ÎS - регулярное выражение (обозначает множество {а});
4) если p и q – регулярные выражения, обозначающие множества P и Q, то посредством операций над выражениями определяются выражения следующих трех типов:
а) p|q или p+q – регулярное выражение (обозначает объединение PÈQ), где символ | или + называют операцией или (альтернативы);
б) pq или p×q – регулярное выражение (обозначает множество PQ = {xy | x ÎP, y ÎQ}), где символ «точка» (возможно умалчиваемый) называют операцией сцепления (конкатенации);
в) p* - регулярное выражение (обозначает множество P*), где символ «*» называют операцией итерации.
Соотношение между регулярными языками и регулярными выражениями устанавливает теорема Клини.
Теорема Клини.Каждому регулярному языку из S* соответствует регулярное выражение над множеством S.
ПримерПримеры регулярных выражений и их значений представлены в таблице 2.1.
Таблица 2.1 – Примеры регулярных выражений
Регулярное выражение | Значение регулярного выражения |
единственная строка 01 | |
0|1 | две строки: 0 и 1 |
1* | строки, образованные из единиц, включая пустую строку |
(0|1)* | строки, образованные из символов 0 и 1, включая пустую строку |
0|1* | строки, состоящие из нуля и любой строки единиц, включая пустую |
0|1* | строки, состоящие из нуля и любой строки единиц, включая пустую |
(0|1)*011 | строки, образованные из символов 0 и 1, включая пустую, обязательно оканчивающиеся строкой 011 |
В практических приложениях вводятся дополнительные соглашения относительно записи регулярных выражений, например, запись вида р+ используется для обозначения выражения рр*.
Конечные автоматы
Дата добавления: 2016-03-27; просмотров: 927;