Операции над множествами

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)

Лекции по

Курс

Москва 2000

Лекция 1

Множество. Алгебра множеств.

Введем обозначения.

R – множество действительных чисел.

X e R – элемент X принадлежит множеству R.

Равные множества – множества, состоящие из одинаковых элементов.

A = B – множество А равно множеству B.

0 – пустое множество.

A<= C – Множество А является подмножеством множества С.

Если А не равно С и А <= C, то А < С. (строго).

Если A <= C и C <= А, то А = С.

Пустое множество 0 является подмножеством любого множества.

Существуют конечные и бесконечные множества. Пусть n – число элементов данного множества А. Это число называется мощностью данного множества.

У множества рациональных чисел мощность является счетной (т.е. все элементы можно пронумеровать).

У множества иррациональных чисел мощность – континиум. Обозначается (С).

Основное правило комбинаторики (показано на примере)

Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую – m, третью – k. Всего способов раскраски палочки – n*m*k.

Аналогично с множествами

U = {a₁,a₂… a_n-1, a_n}

Пусть U = {a₁, a₂, a₃}

Выпишем множество всех подмножеств множества U.

P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}.

Мощность множества U равна 3, а мощность P(U) равна 8.

Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2ⁿ.

Операции над множествами

1. Объединение множеств (A U B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А ИЛИ множеству В.

2. Пересечение множеств (A n B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А И множеству В.

3. Дополнение множества А. (С = А ) – не А. Все элементы, принадлежащие универсальному множеству, не принадлежат множеству А.

Свойства операций над множествами.

1. A U B = B U A – коммутативность

. A n B = B n A

2. (A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C – ассоциативность.

3. (A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) – дистрибутивность.

4. Поглощение A U A = A, A n A = A.

5. Существование универсальных границ.

А U 0 = A

A n 0 = 0

A u U = U

A n U = A

6. Двойное дополнение

A = A

7. A U A = U

A n A = 0

8. Законы двойственности или закон Де – Моргана

(AUB) = A n B

(AnB) = A U B

		Объединение множеств
		Дополнение множества

Лекция 2