Математическое представление сигнала

В предыдущей главе мы показали преобразование изменяющегося во времени аналогового сигнала f (t) при соответствующем интервале дискретизации и представлении выборок в цифровой форме. При малом интервале дискретизации можно достаточно точно воспроизвести первоначальный аналоговый сигнал по цифровому сигналу. Если временной интервал [a;b] разделить на одинаковые отрезки, а сигнал ʃ, уже подвергшийся дискретизации, перевести в цифровую форму и записать в виде ряда значений N точек

f = (f ₁,f₂,……,f_N)

то f представить N – мерным вектором (N-мерным вектором называется величина, представленная набором числовых значений N, расположенных в определённом порядке). Элемент из этого числового набора называется компонентной вектора.

a b t

f₁ f₂ f_{3…. ....}f_N-1 f _N

a b t

f₁ f₂ f_{3……. ……}f_N-1 f _N

a b t

a b t

Рис.3.1 - Векторное представление функции

Качество приближения функции f(t) меняется в зависимости от числа N. Если N увеличивать, то степень приближения заметно улучшается. Если увеличивать N до бесконечно большого числа, то вся информация, содержащаяся в f(t) , будет содержаться в f (Рис.3.1.) Это означает, что, в сущности, анализ вектора f вместо функции f(t) (если она не является «особой» , т.е имеет точек разрыва) аналогичен анализу непрерывно изменяющегося во времени сигнала f(t).

Двумерный вектор, расположенный в двумерном пространстве, или, иначе говоря, на плоскости, соответствует какой-либо одной точке на этой плоскости. (Рис. 3.2).

Трёхмерный вектор соответствует одной точке в трёхмерном пространстве, а N- мерный вектор также соответствует одной точке, но N-мерного пространства (к сожалению, изобразить это мы не можем). Если представить пространство бесконечно большой размерности N, то можно предположить, что непрерывная функция f(t) соответствует одной точке этого пространства. Назовём это невидимое абстрактное пространство бесконечной размерности пространством функции.

При размерности векторного пространства N >2 также можно определить, расстояние между векторами и скалярное произведение. Более того, если рассуждать подобным образом, то же самое можно сделать и для пространства функций. Одним словом, давая определение расстоянию и скалярному произведению в пространстве функций, можно говорить о величине и угле между функциями. Вскоре мы будем использовать понятие взаимно перпендикулярных функций, и представлять их в виде взаимно перпендикулярных векторов. В этом случае при внешней сложности формул, станет понятно, что концепция, заключающаяся в использовании векторного расстояния и скалярного произведения для пространства функций , очень проста. Читатель может задать вопрос , какое отношение может иметь данная концепция к обработке сигналов? Дело в том, что при обработке сигналов мы будем оперировать такими понятиями как функция корреляции и анализ Фурье, а они как раз основаны на использовании свойств расстояния и скалярного произведения при переходе от векторного пространства к пространству функции.