Занятие 6. Электромагнитные волны. Излучение электромагнитных волн 4 страница

Подставляем c² = 1/ε₀μ₀ квадратскорости светав вакуумев (6.1) и (рис.9.13) получаем следующее соотношение между (6.1) параметрами на r₀ расстоянии от электрического диполя в вакууме в направленииего максимальногоизлучения по OY оси, т.е. когда θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя равен 90°:

E_θm|_{θ=90°;r= r0} = ω²p_Zmsinθ/4πε₀rс²= ω²p_Zm/4πε₀r₀с² ↔ ω²p_Zm/4π = E_0mr₀/μ₀, (6.2) где E_0m - амплитуда (9.98) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" E_θm вектора E напряжённости электрическогополя бегущей в вакуумеплоскойэлектромагнитнойволны на r₀ расстоянии от электрического диполя в направленииего максимальногоизлучения по OY оси, т.е. когда θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя равен 90°.

Амплитуда (9.90) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" H_φmвектора

H напряжённостимагнитногополя бегущей в вакуумеплоскойэлектромагнитнойволны имеет следующий вид: H_φm= ω²p_Zmsinθ/4πrс. (6.3) Подставляем c = 1/(ε₀μ₀)^1/2 скорость светав вакууме и (6.2) соотношениев (6.3) и

(рис. 9.13) получаем следующее выражение амплитуды H_φmвектора H напряжённостимагнитногополя бегущей в вакуумеплоскойэлектромагнитнойволны на r расстоянии от электрического диполя в направлении, составляющем θ угол полярногорасстояния с осью электрического диполя:

H_φm= (ω²p_Zm/4π)(sinθ/rс) ↔ H_φm= (E_0mr₀/μ₀)[(ε₀μ₀)^1/2sinθ/r] = (E_0mr₀/r)(ε₀/μ₀)^1/2sinθ. (6.4)

Подставляем c² = 1/ε₀μ₀ квадратскорости электромагнитнойволныв вакуумеи (6.2) соотношениев (6.1) и (рис.9.13) получаем следующее выражение амплитуды (9.98) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" E_θm вектора E напряжённости электрическогополя бегущей в вакуумеплоскойэлектромагнитнойволны на r расстоянии в направлении, составляющем θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя:

E_θm= ω²p_Zmsinθ/4πε₀rс² = (ω²p_Zm/4π)sinθ/ε₀rс² ↔ E_θm= (E_0mr₀/μ₀)(ε₀μ₀)sinθ/ε₀r = (E_0mr₀/r)sinθ. (6.5)Модуль S вектора (рис.9.12) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение"

SПойнтинга, т.е. количествоэнергии, переносимой электромагнитнойволной в вакууме через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитнойволны и равной единичнойплощади за единицу t времениив данный момент этого t времени от электрического диполя в вакууме с учётом направления векторов E, H напряжённостей электрическогои магнитногополяэлектромагнитнойволны в (рис.9.0.13) произвольной M точке пространства по направлению соответственно e_θ, e_φ ортов в сферической системе координат имеет следующий вид:

S = E_θ H_φ= {- (ω²p_Zmsinθ/4πε₀rс²)cos[ωt - (2πr/λ)]}{-(ω²p_Zmsinθ/4πrс)cos[ωt - (2πr/λ)]}, (6.6)

где E_θ = - (ω²p_Zmsinθ/4πεε₀rс²)cos[ωt - (2πr/λ)] - проекция (9.89) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение"на направление e_θ орта в сферической системе координат вектора E напряжённости электрическогополя электромагнитнойволны в произвольной M точке пространства в данный момент t времени, вызванного колеблющимся с ω циклическойчастотой (рис.9.13) по OZ оси координат электрическим диполем; H_φ= -(ω²p_Zm sinθ /4πrс)cos[ωt - (2πr/λ)] - проекция (9.90) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны"на направление e_φ орта в сферической системе координат вектора H напряжённости магнитного поляэлектромагнитнойволны в произвольной M точке пространства в данный момент t времени, вызванного колеблющимся с ω циклическойчастотой

(рис. 9.13) по OZ оси координат электрическим диполем.

Подставляем в (6.6) амплитуды (6.5) E_θm вектора E напряжённости электрическогополя и (6.4) H_φmвектора H напряжённостимагнитногополя, вследствие чего получаем следующее выражение модуля S вектора SПойнтингабегущей в вакуумеплоскойэлектромагнитнойволны на r расстоянии в направлении, составляющем θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя:

S = E_θ H_φ= {- (ω²p_Zmsinθ/4πε₀rс²)cos[ωt - (2πr/λ)]}{-(ω²p_Zmsinθ /4πrс)cos[ωt - (2πr/λ)]} = = (- E_θm)( - H_φm ) cos²[ωt - (2πr/λ)] ↔ S = (E_0mr₀/r)²(ε₀/μ₀)^1/2sin²θcos²[ωt - (2πr/λ)], (6.7)

Для модуля Sвектора S Пойнтинга(9.92) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" его <S> среднее значение за Δt интервалвремени в волновойзоне электрического диполя, гдебегущая в вакуумеэлектромагнитная волнастановитсяплоской, с r радиусом- вектором, проведённым из центра этого электрического диполя в (рис. 9.13) произвольную M точку пространства в вакууме, с учётом (6.7) имеет следующий вид: Δt Δt <S> = ∫S/Δt}dt ↔ <S> = [(E_0mr₀/r)²(ε₀/μ₀)^1/2sin²θ]/Δt]∫cos²[ωt - (2πr/λ)]dt] =

0 0

= [(E_0mr₀/r)²(ε₀/μ₀)^1/2sin²θ]/Δt]{(t/2)|₀ ^Δt + (1/4ω)sin2[ωt - (2πr/λ)] |₀ ^Δt } = [(E_0mr₀/r)²(ε₀/μ₀)^1/2sin²θ]/Δt]{(Δt/2) + + (1/4ω)sin2[ωΔt - (2πr/λ)]+ (1/4ω)sin(4πr/λ) = [(E_0mr₀/r)²(ε₀/μ₀)^1/2sin²θ]/Δt]{(Δt/2) + + (1/4ω)sin2[(2π/T)Tn - (2πr/λ)] + (1/4ω)sin(4πr/λ) = [(E_0mr₀/r)²(ε₀/μ₀)^1/2sin²θ]/Δt]{(Δt/2) + + (1/4ω)sin[(4πn - (4πr/λ)] + (1/4ω)sin(4πr/λ) = [(E_0mr₀/r)²(ε₀/μ₀)^1/2sin²θ]/Δt][(Δt/2) - (1/4ω)sin(4πr/λ) + + (1/4ω)sin(4πr/λ)] = [(E_0mr₀/r)²(ε₀/μ₀)^1/2sin²θ]/Δt](Δt/2) = [(E_0mr₀/r)²(ε₀/μ₀)^1/2sin²θ]/2, (6.8)

Δt

где ∫cos²[ωt - (2πr/λ)]dt] = Δt/2; ω= 2π/T -циклическая частотаколебаний векторов напряжённостей

E_Z+ электрическогополя вдоль OZ оси и H_X+магнитногополя вдоль OX осибегущей плоской электромагнитной волны; Δt = Tn где n = 1, 2, …., - интервалвремени, кратный T периоду колебаний электромагнитной волны, за который производят вычисление <S> среднего значения модуля Sвектора SПойнтинга.

По измеренному значению E_0m амплитуды вектора E_Z напряжённости электрическогополя вдоль OZ оси убегущих электромагнитных волнна r₀ расстоянии от электрического диполя в направленииего максимальногоизлучения по OY оси можно согласно (6.8) вычислить<S> среднее значение модуля Sвектора SПойнтингав волновойзоне этого электрического диполя, гдебегущая в вакуумеэлектромагнитная волнастановитсяплоской, с r радиусом- вектором, проведённым из центра электрического диполя в (рис. 9.13) произвольную M точку пространства в вакууме.

Среднее <S>значение модуля Sвектора SПойнтингав волновойзоне электрического диполя - это количествоэнергии, переносимой электромагнитнойволной в вакууме через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитнойволны и равной единичнойплощади за единицу t времени.

Задача 9.7

находится на r расстоянии по OY оси, намного превышающем значение l амплитуды колебаний заряженной частицы, т.е. r>> l. Найти отношение S₁/S₂ модулей плотностейпотока электромагнитного излучения в этой M точке в моменты t_k1, t_k2 времени, когда координатыколебаний заряженной частицы равны соответственно z₁ = 0, z₂ = l. Дано: ω, r, z₁, z₂/ S₁/S₂ = ?

Модульp_Q вектора (рис.9.14) p_Qдипольногоэлектрического момента (9.74) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" полного Q заряда, имеющего z координату, имеет следующий вид: p_Q = Qz ↔ p_Q = Qlcosωt. (7.1) Модуль S вектора SПойнтинга(9.93) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" плотностейпотока электромагнитного излучения, т.е. количествоэнергии, переносимое в вакууме электромагнитнойволной через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитнойволны и равной единичнойплощади за единицу t времениив данный момент этого t времени от колеблющегося (рис. 9.14) по OZ оси Q заряда в M точке, которая находится на r расстоянии по OY оси, имеет следующий вид:S= (p_Q′′sinθ/4πr)²(1/εε₀c³), (7.2)

где p_Q′′ = ∂²{Qlcosω[t - (r/c)]}/∂t² = Qlω²cosω[t - (r/c)] - модуль второй производной по

tвремени вектора p_Qдипольногоэлектрического момента Q заряда, колеблющегося по OZ оси, учитывающая величину Q[t - (r/c)] заряда шара V объёмом, который был раньше данного момента

t временина величину τ = r/c временного запаздывания, за которое электромагнитнаяволна с

c = 1/(ε₀μ₀)^1/2 фазовой скоростьюраспространится от этого заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется модуль S вектора SПойнтинга; θ = π/2 угол(рис. 9.8) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" полярного расстояния в сферической системе координат.

Моменты t_k1 времени, когда координатаколеблющейся заряженной частицы равна z₁ = 0, определятся из следующего уравнения: 0 = lcosωt_k1 ↔ ωt_k1 = (π/2)(2k + 1) ↔ (2π/T)t_k1= (π/2)(2k + 1) ↔ ↔ t_k1 = (T/4)(2k + 1), (7.3) где k = 0, 1, 2, ….; T - период (2.3) из раздела 2.0 "Колебания и волны" гармонических колебаний заряженной частицы.

Подставляем (7.3) в (7.2) и получаем следующее выражение модуля p_tk1Q′′ второй производной вектора p_Qдипольногоэлектрического момента Q заряда, колеблющегося по OZ оси, в моменты

t_k1 времени: p_tk1Q′′ = Qlω²cosω[t_k1- (r/c)] = Qlω²cosω[(T/4)(2k + 1) - (r/c)] =

= Qlω²cos[(π/2)(2k + 1) - (ωr/c)] = Qlω²sin[(π/2)(2k + 1) - (π/2)(2k + 1) + (ωr/c)] = Qlω²sin(ωr/c)]. (7.4) Моменты t_k2 времени, когда координатаколеблющейся заряженной частицы равна z₁ = l,определятся из следующего уравнения: l = lcosωt_k2 ↔ ωt_k2 = 2πk ↔ (2π/T)t_k2 = 2πk ↔ t_k2 = Tk, (7.5) где k = 0, 1, 2, ….; T - период (2.3) из раздела 2.0 "Колебания и волны" гармонических колебаний заряженной частицы.

Подставляем (7.5) в (7.2) и получаем следующее выражение модуля p_tk2Q′′ второй производной вектора p_Qдипольногоэлектрического момента Q заряда, колеблющегося по OZ оси, в моменты

t_k2 времени: p_tk2Q′′ = Qlω²cosω[t_k2- (r/c)] = Qlω²cosω[Tk - (r/c)] = Qlω²cos[2πk - (ωr/c)] = = Qlω² cos(ωr/c). (7.6) Подставляем (7.6), (7.4) в (7.2) и получаем следующее выражение S _tk1/S _tk2 отношения модулей векторов S _tk1, S _tk2Пойнтингаплотностейпотока электромагнитного излученияв вакууме в моменты t_k1, t_k2 времени, когда координатыколеблющейся заряженной частицы равны соответственно z₁ = 0, z₂ = l: S _tk1/S _tk2= (p_tk1Q′′sinθ/4πr)²(1/εε₀c³)/(p_tk2Q′′sinθ/4πr)²(1/εε₀c³) = tg²(ωr/c). (7.7)