Второй метод Ляпунова.

Пусть непрерывная эволюционная система описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме:

(0)

Здесь - независимая переменная, обычно называемая временем; - искомые функции, и - заданные начальные условия, а символ обозначает производную функции . Функции предполагаются вещественными.

Универсальным методом исследования устойчивости различных классов систем является второй метод Ляпунова. В качестве инструмента исследования во втором методе используются некоторые специальные функции, называемые функциями Ляпунова.

Рисунок 1. Примерный вид функции Ляпунова

Рисунок 2. Поверхности уровня функции Ляпунова

Вещественную непрерывно дифференцируемую функцию , удовлетворяющую условию , называют функцией Ляпунова. Примерный вид функции Ляпунова двух переменных и ее поверхности уровня изображены на рис. 1 и 2. Назовем производной функции в силу уравнения (0) величину:

(1)

Если есть решение уравнения (0), то представляет собой полную производную по времени сложной функции . Отметим, что для вычисления фактического знания решения не требуется.

Всюду в дальнейшем через обозначены скалярные непрерывные неубывающие функции такие, что и при (рис. 3).

Теорема 1 (первая теорема Ляпунова). Пусть существует функция Ляпунова такая, что

(2)

(3)

Тогда тривиальное решение уравнения (0) устойчиво по Ляпунову.

□ Возьмем любое и любое . В качестве выберем такое число, что

Из непрерывности функции и условия следует, что такое обязательно найдется (рис. 4). Условие (3) означает, что функция не возрастает вдоль решений уравнения (0). Используя неравенства (2) и (3), при и получим

В силу монотонности отсюда вытекает, что .■

Рисунок 3. Вид функции

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы Ляпунова об устойчивости

Функции , удовлетворяющие условию (2), называются определенно-положительными. Сам Ляпунов использовал другое, эквивалентное (2) определение таких функций. Производная , удовлетворяющая условию (3), называется знакоотрицательной.

Теорема 2 (К.П. Персидский). Если в дополнение к условиям теоремы 1 справедливо неравенство

(4)

то тривиальное решение уравнения (0) равномерно устойчиво по начальному моменту .

□По заданному определим число ( не зависит от ) таким образом, что . Используя (2) – (4) и монотонность , при и получим

.

В силу монотонности отсюда следует, что .■

Про функции Ляпунова, удовлетворяющие условию (4), говорят, что они допускают бесконечно малый высший предел.

Теорема 3 (вторая теорема Ляпунова). Пусть существует функция Ляпунова такая, что

, (5)

. (6)

Тогда тривиальное решение уравнения (0) равномерно асимптотически устойчиво.

□ B силу теоремы Персидского решение равномерно устойчиво. Покажем, что второе условие определения также выполнено. Возьмем и определим из соотношения . B качестве возьмем число . На отрезке найдется момент такой, что и при . Если это не так, то получим

Отсюда

. (7)

Если , то неравенство (7) невозможно. Значит, найдется такое, что . Но тогда в силу равномерной устойчивости при всех имеем .■

B классической работе A. M. Ляпунова теорема 3 сформулирована следующим образом: пусть существует определенно-положительная функция , допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой в силу уравнений (0) определенно отрицательна. Тогда тривиальное решение уравнения (0) асимптотически устойчиво.

Если не предполагать выполненным неравенство (4), то решение может не быть асимптотически устойчивым.

Пример 1 (Х. Л. Массера). Определим функцию , совпадающую c всюду, кроме узких пиков ширины меньше c центром в точке ; пусть (рис. 5).

Рассмотрим уравнение . Его общее решение имеет вид . Отсюда вытекает, что тривиальное решение не является асимптотически устойчивым.

Однако если взять функцию Ляпунова

, (8)

то получим и , поскольку . Вместе c тем функции (8) не допускает бесконечно малого высшего предела, так как имеются точки , где .

Отметим, что B. П. Марачковым была доказана следующая теорема: пусть правая часть уравнения (0) ограничена в . Тогда если существует функция , удовлетворяющая оценкам (2) и (6), то тривиальное решение уравнения (0) асимптотически устойчиво.

Рисунок 5. Вид функции из примера 1.

Теорема 4 (Е. A. Барбашин, П. П. Красовский). Пусть выполнены все условия теоремы 3 и, кроме того,

. (9)

Тогда решение уравнения (0) асимптотически устойчиво в целом.

□ Возьмем произвольное начальное условие и определим такое , что . B силу (9) такое обязательно найдется. При этом так же, как и в теореме 2, устанавливается, что решение не покинет шар при . Применяя к шару теорему 3, получим утверждение теоремы 4.■

При нарушении условия (9) асимптотической устойчивости в целом может не быть.

Рисунок 6. Структура области

Докажем одну теорему o неустойчивости. Возьмем непрерывно дифференцируемую функцию и обозначим через область вида . Предположим, что область обладает следующими свойствами:

) состоит из нескольких связных открытых компонент;

) в имеются точки c произвольно малой нормой (рис. 6).

Теорема 5 (теорема Четаева). Пусть существует функция такая, что область удовлетворяет условиям и . Тогда если в области функция ограничена, a ее производная в силу системы (0) определенно-положительна (т. e. ), то тривиальное решение системы (0) неустойчиво.

□ Согласно условию, в сколь угодно малой окрестности начала координат найдется точка такая, что . На решении функция не убывает, т. e. . Это означает, что через границу это решение не может покинуть область . Решение не может всегда оставаться в области . Действительно, в этом случае при в силу условия теоремы найдется такое, что при . Тогда было бы выполнено неравенство

.

Но это невозможно, поскольку ограничена в области . Значит, решение обязательно попадет на границу области за конечное время.■

Замечания. 1. Условия теорем 1-5 можно несколько ослабить. Именно: можно потребовать только, чтобы была непрерывной по и локально липшицевой по . Тогда если в теоремах 1-4 заменить производную в силу системы на правое верхнее производное число в силу системы , то утверждения этих теорем останутся справедливыми. В теореме 5 вместо можно рассматривать правое нижнее производное число .

2. Метод функций Ляпунова является универсальным методом исследования устойчивости и большинство теорем метода Ляпунова допускают обращение. Точнее, если функция в уравнении (0) непрерывно дифференцируема и начало координат устойчиво, то существуют некоторая окрестность начала координат и непрерывно дифференцируемая функция , определенная на , которая удовлетворяет всем условиям теоремы 1. Это утверждение было установлено К. П. Персидским. Обращение теоремы 2 о равномерной устойчивости было установлено Я. Курцвейлем. Х. Л. Macсера доказал теорему, обратную теореме 3 о равномерной асимптотической устойчивости. Обращение теоремы Четаева о неустойчивости получено И. Вркочем.