РАЗВИТИЕ МЕТОДА ЛЯПУНОВА.

Хотя теоремы, приведенные в § 2, полностью решают большинство задач устойчивости, их применение в ряде случаев сложно, поскольку трудно построить функции Ляпунова, удовлетворяющие условиям этих теорем. Имеется ряд других теорем, использующих функции Ляпунова c иными свойствами.

Теорема Барбашина - Красовского. Рассмотрим автономную систему

(1)

Через обозначим решение системы (1).

Определение 1. Точка называется -предельной точкой для точки , если существует последовательность , такая, что .

Теорема 1. Множество всех -предельных точек данной точки есть замкнутое множество, состоящее из целых траекторий (рис. 1).

Рисунок 1. Структура предельного множества

□ Замкнутость множества проверяется следующим образом. Если , то и поэтому . Далее, если , то обязательно при всех . В самом деле, для любого имеем . Поэтому .■

Множество, состоящее из целых траекторий, называют инвариантным множеством. Если - некоторая функция Ляпунова и , то все -предельные точки для данной точки лежат на одной поверхности уровня функции , т. e. для имеет место равенство . В самом деле, если , то в силу непрерывности получим

.

Теорема 2 (Е. A. Барбашин, Н. П. Красовский). Пусть существует функция Ляпунова такая, что , причем множество не содержит целых траекторий системы (1), кроме точки . Тогда тривиальное решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.

□ Решение устойчиво, т. e. для заданного найдется такое , что . Пусть — множество - предельных точек для некоторого . Покажем, что . Предположим, что это не так. Тогда существует . Поскольку определенно положительна, имеем . Согласно теореме 1, траектория ; поэтому . Значит, вдоль траектории , т, e. должно принадлежать такому множеству, где . Но по условию множество не содержит целых траекторий. Из полученного противоречия вытекает утверждение теоремы.■

Если уравнение описывает множество , то условие

(2)

достаточно для отсутствия целых траекторий во множестве . Заметим, что теорема 2 остается справедливой и для периодических систем.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

(3)

Это уравнение описывает колебания материальной точки под действием нелинейной восстанавливающей силы в среде, сопротивление которой нелинейно зависит от скорости . Запишем уравнение (3) в виде системы

(4)

Введем функцию Ляпунова

(5)

Пусть выполнены условия

(6)

Тогда функция (5) является определенно положительной, a ее производная равна . Множество в данном случае имеет вид . Но если на некотором решении , то и , a значит, и . B силу условий (6) точка является единственным нулем функции . Следовательно, в множестве нет целых траекторий, кроме точки . Согласно теореме 2, тривиальное решение уравнения (3) асимптотически устойчиво, если выполняются неравенства (6). Если, кроме того, , то в силу теорем 2 и 4 тривиальное решение асимптотически устойчиво в целом.

2. Критерий Матросова. Теорема Барбашина - Красовского не может быть обобщена на неавтономный случай. В самом деле, для уравнения функция удовлетворяет условиям теоремы 2. В то же время решение асимптотически устойчиво или нет в зависимости от сходимости или расходимости интеграла . Для неавтономного уравнения имеет место удобный критерий устойчивости, который получается, если использовать две функции Ляпунова.

Теорема 3 (В. M. Матросов). Для равномерной асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции и , обладающие следующими свойствами:

1⁰)

2⁰)

3⁰)

4⁰)

где - произвольная непрерывная скалярная функция; - множество вида (рис. 2). Здесь - такое множество из , для которого , и - расстояние от точки до множества .

Пример 2. Маятник с вязким трением, зависящим от времени. Колебания такого маятника (рис. 3) описываются уравнением.

(7)

или эквивалентной системой

.

Рисунок 2. Вид множества

Рисунок 3. Маятник в среде с вязким трением

Возьмем функцию в виде

.

B области имеем

Производная . Множество имеет вид . B качестве второй функции возьмем . Она ограничена в любом шаре и . При и имеем . В силу теоремы 3 тривиальное решение уравнения (7) равномерно асимптотически устойчиво.

3. Принцип сравнения. Для решения вопроса об устойчивости сложных или составных систем удобно использовать векторные функции Ляпунова. Сформулируем некоторые результаты.

Рассмотрим уравнение

. (8)

Вектор-функция называется квазимонотонно возрастающей, если для каждой пары точек и таких, что , при всех имеет место неравенство .

Теорема 4 (B. М. Матросов). Пусть существует векторная непрерывно дифференцируемая функция такая, что:

1⁰) ;

2⁰) ,

Здесь — производная вектор-функции в силу системы (2.1), определяемая формулой

Функция предполагается квазимонотонно возрастающей. Тогда:

устойчивость решения уравнения (8) влечет устойчивость решения уравнения (2.1);

равномерная асимптотическая устойчивость решения влечет равномерную асимптотическую устойчивость решения .

Пример 3. Рассмотрим систему

. (9)

Здесь - единичная -матрица, a матрица c элементами , дифференцируемыми по и , является кососимметрической, т. е. такой, что .

Возьмем функцию Ляпунова вида

. (10)

С учетом кососимметричности матрицы имеем . Поэтому производная функции Ляпунова (10) в силу системы (9) равна

.

Производная функции (10) не знакопостоянна и применить непосредственно теорему Ляпунова 2.1 нельзя. Однако решение скалярного уравнения устойчиво, поскольку . По теореме 4 отсюда получаем, что тривиальное решение уравнения (9) также устойчиво.

4. Устойчивость, по части переменных. B ряде случаев поведение исследуемой системы таково, что можно ожидать устойчивости только некоторых из фазовых переменных в процессе эволюции этой системы. Так, например, при изучении устойчивости движения велосипедиста нужно только, чтобы отклонения его тела от вертикальной плоскости были малы, a поступательная скорость велосипедиста может меняться в широких пределах. Такой случай удобно изучать c помощью понятия устойчивости по части переменных.

Пусть система описывается уравнениями

(11)

Определение 2. Тривиальное решение системы (11) называется -устойчивым (устойчивым по отношению к ), если для всякого и всякого найдется такое, что как только , выполняется неравенство . Решение называется асимптотически -устойчивым, если оно -устойчиво и для некоторого справедливо соотношение (рис. 4).

Рисунок 4. Траектория, устойчивая по переменной .

Теорема 5 (B. В. Румянцев).Пусть существует функция такая, что:

1⁰) ;

2⁰) .

Тогда решение системы (11) является -устойчивым. Если же функция такова, что:

3⁰) ;

4⁰) ,

то решение асимптотически -устойчиво.