Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.

1. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде

Для этой модели справедлив экспериментально установленный линейный закон фильтрации Дарси

,

(2.30)

Или в проекциях на оси декартовой системы координат

,

где называется коэффициентом проницаемости, или просто проницаемостью.

Проницаемость имеет размерность площади. Она не зависит от свойств жидкости, является чисто геометрической характеристикой пористой среды.

В практике принято проницаемость измерять в мкм². Среда имеет проницаемость 1 мкм² если при градиенте давления 10 МПа/м через площадку 10^{-4 м2} расход жидкости, вязкость которой 10^-3 Па^.с, составляет 10^-6 м³/с, т. е. 1мкм² = 10^{-12 м2}.

Проницаемость определяется геометрией порового пространства. Известно множество попыток установить аналитическую зависимость между проницаемостью, пористостью, размером, формой и упаковкой частиц.

Для фиктивного грунта Слихтер нашел, что теоретическая проницаемость

,

а Козени получил

.

Эти формулы полезны при изучении закономерностей фильтрации только в искусственных пористых телах. Для реальных тел достоверные результаты можно получить лишь по данным измерений расхода и перепада давления в лабораторных условиях на керновом материале или при натуральных испытаниях пластов с последующей интерпретацией полученных результатов.

Закон фильтрации (2.30) – это упрощенная форма уравнений движения

,

неразрывности движения или сохранения массы

,

и механического состояния

,

в которых отброшены силы инерции , а сумма сил заменена силами трения Ньютона . Тогда отпадает надобность в уравнениях состояния (2.24).

Имеем симметричный девиатор напряжений

Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от , т. е.

(2.31)

где , и – соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении ; и – соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что .

К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного , заполнения элементарного объема сплошной среды принимает вид

.

(2.32)

Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций , , и . Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины и много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное

классическое уравнение теории фильтрации:

,

(2.33)

где – коэффициент пьезопроводности среды; – приведенный модуль объемной упругости среды; – оператор Лапласа. Пьезопроводность имеет размерность м²/с.

Если , то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При имеем уравнение Лапласа

,

(2.34)

которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при , т. е. при установившемся режиме фильтрации.

Для однозначного определения поля давления в заданной области , ограниченной поверхностью , необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при )

при

(2.35)

и при граничным условиям:

если на поверхности (или ее части) задано давление , то

при ,

(2.36)

если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то

,

(2.37)

если поверхность покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то

,

(2.38)

где – характерный линейный размер; – коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».

Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.

2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды.

Проницаемость зависит от направления - имеет место обобщенный закон Дарси

,

(2.39)

где – тензор проницаемости.

Если воспользоваться системой координат, оси которой совпадают с главными осями тензора , то уравнение (2.39) в проекциях на оси декартовой системы координат перепишется в виде

,

(2.40)

где – проницаемости вдоль главных осей анизотропии. При этом проекция скорости фильтрации на нормаль к элементарной площадке вычисляется по формуле

.

(2.41)

Подставляя (2.40) в (2.32) получим уравнение при установившейся фильтрации

.

(2.42)

Учитывая (2.41), усложняются и граничные условия вида (2.37) и (2.38).

Однако граничную задачу, связанную с уравнением (2.42), легко свести к граничной задаче, связанной с уравнением Лапласа (2.34), если вести следующую замену переменных:

для пространства

для плоскости

(2.43)

где – новые координаты.

Это означает геометрическое преобразование анизотропной области в некоторую изотропную область , проницаемость которой

(2.44)

При этом граница области преобразуется в границу области . Например, область, ограниченная окружностью

,

(2.45)

преобразуется согласно (2.42) в область, ограниченную эллипсом

.

(2.46)

или в параметрическом виде

.

где , - полуоси элипса

Для области имеем уравнение Лапласа

,

решение которого должно удовлетворять заданному граничному условию на окружности (2.45) для соответствующих точек эллипса (2.46).

3.Закономерности фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах для однородной и изотропной среды.

Горная порода рассматривается как сплошная, в любой точке которой имеют место двойная пористость , проницаемость , скорость фильтрации и давление , связанные законом Дарси

(2.47)

и уравнениями неразрывности

(2.48)

где индексами 1 и 2 обозначены величины, характеризующие соответственно систему трещин и пор;

.

(2.49)

– интенсивность перетока жидкости между этими системами; – новая безразмерная величина, характеризующая данную среду.

При этом пористости и являются функциями обоих давлений, т.е.

.

(2.50)

Однако во многих случаях систему уравнений (2.47) – (2.48) можно упростить, если исходить из следующих условий:

а) объем, занимаемый трещинами, много меньше объема пор, т.е. допустимо принять ;

б) изменение пористости происходит в основном за счет изменения порового давления и поэтому при небольших изменениях этого давления

;

(2.51)

в) проницаемость , т.е. фильтрацией в порах можно пренебречь ;

г) жидкость слабосжимаема так что

,

(2.52)

где или в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в порах;

д) вязкость жидкости .

Физическая сущность перечисленных допущений состоит в том, что в системе трещины – поры рассматривается фильтрация жидкости по трещинам в условиях интенсивного массобмена с жидкостью, находящейся в упругом деформированном поровом пространстве.

В результате принятых упрощений уравнения (2.48) примут вид

.

Подставляя сюда соотношения (2.47), (2.49), (2.51), (2.52) и отбрасывая малые величины высших порядков, получим

,

(2.53)

где – специфическая характеристика трещиновато-пористой среды; – своеобразная пьезопроводность среды.

Параметр имеет размерность площади, и для реальных пород его порядок может изменяться в широких пределах – от 10^-1 до 10⁶ м².

Легко заметить, что путем исключения одного из давлений система уравнений (2.53) сводится к одному уравнению

,

(2.54)

где – параметр, называемый временем запаздывания.

Это уравнение отличается от классического уравнения (2.33) слагаемым, содержащим параметр . В пределе, когда , среда с двойной пористостью переходит в чисто пористую и уравнения (2.54) и (2.33) совпадают.

При жестком режиме фильтрации или при установившейся фильтрации уравнение (2.54) обращается в уравнение Лапласа (2.34).

Следовательно, ставить задачу о фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде имеет смысл при .

Начальное и граничные условия, которые необходимо присоединить к уравнению (2.54), обладают некоторой особенностью. Прежде всего ясно, что граничную задачу, связанную с уравнением (2.54) следует рассматривать относительно одного из давлений – или .

Если начальные условия и удовлетворяют первому уравнению (2.53), то задачу целесообразно решать относительно давления , принимая начальные и граничные условия в виде выражений (2.35) – (2.38). После определения давления вычисляют поровое давление .

В противном случае задачу следует решать относительно давления . Но здесь имеет место определенная специфика в задании граничных условий.

Если начальное распределение давления согласовано с граничными условиями вида

,

(2.55)

при , то в таком виде граничная задача и рассматривается.

Но если же согласования нет, то к правым частям соответствующих граничных условий необходимо прибавить слагаемое , где – невязка существующего граничного условия:

(2.56)

Это свидетельствует о том, что заданный скачок граничных условий в порах трещиновато-пористой среды не уничтожается мгновенно, как в обычной пористой среде, а убывает по закону . Такое качественное отличие – результат принятого упрощения пренебрежения фильтрацией жидкости в порах, где давление изменяется только благодаря массообмену с жидкостью в трещинах. Аналогично, предположение о жестком характере фильтрации жидкости в трещинах приводит к указанной выше проверке начальных распределений давлений и .

После решения граничной задачи относительно порового давления распределение давления в трещинах определяется по формуле (2.53)

а скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле

(2.55)

4. Приизучении фильтрации газа основное значение имеет его высокая сжимаемость, которая на несколько порядков выше сжимаемости пористой среды.

Поэтому в уравнении неразрывности (2.32) пренебрегают изменением пористости во времени и представляют это уравнение в виде

.

(2.57)

К этому уравнению необходимо присоединить уравнение состояния газа

и закон фильтрации, который при небольшой скорости фильтрации имеет вид закона Дарси

(2.58)

где в общем случае ; - температура.

В простейшем случае газ можно считать термодинамически идеальным, находящемся при постоянной температуре с вязкостью µ=const и плотностью

,

(2.59)

где - постоянные величины.

Подстановка (2.58) и (2.59) в (2.57) дает основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа

,

(2.60)

которое впервые было получено Л. С. Лейбензоном в 1930г.

Наиболее известный приближенный метод решения этого уравнения основан на линеаризации, по Л. С. Лейбензону, который состоит в том, что левую часть уравнения умножают на , а правую – на некоторое характерное давление , например давление в невозмущенной части пласта.

Тогда вместо (2.60) необходимо решить линейное уравнение

,

(2.61)

которое аналогично уравнению (2.33), где . Следовательно, все соотношения, полученные до сих пор для жидкости, могут быть в первом приближении использованы и при изучении фильтрации газа, если заменить в них на , на .

5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости (2.58) нарушается и зависимость между и принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.

Рис. 11.Возможные виды нелинейного закона фильтрации

Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:

а) высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);

б) ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);

в) малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).

Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации

,

(2.62)

а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом

(2.63)

где, по данным Е. М. Минского, , а, по данным Б. И. Султанова, ; - эффективный диаметр пор; - предельное напряжение сдвига.

В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации

,

(2.64)

,

(2.65)

которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь - параметры модели; - характерное значение градиента давления; - безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).