ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ.

В этих трёх лекциях приведены основные положения теории фильтрации одномерных потоков однородных и неоднородных жидкостей и газов при установившихся и неустановившихся процессах. Большое внимание уделено пространственным задачам теории фильтрации жидкостей и газов и их смесей при установившихся и нестационарных изотермических процессах. Дано развитие теории притока сжимаемой жидкости и газа к несовершенным скважинам при линейном и нелинейном законах фильтрации, методам расчета добавочных фильтрационных сопротивлений. Изложены основные положения теории фильтрации в двойных средах. Рассмотрены задачи притока к трещинам гидравлического разрыва пласта и горизонтальным стволам, особенности фильтрации жидкости и газа в деформируемом пласте. Изложена теория вытеснения одной жидкости другой, фильтрация газоконденсатных смесей, теория конусообразования и соответствующие им прикладные задачи.

Изложенные положения базируются на современных достижениях науки и практики в теории фильтрации и разработки нефтяных, нефтегазовых и газоконденсатных месторождений, науки о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах. Она является об­ластью гидромеханики, в которой рассматривается не движение жидкостей и газов вообще, а особый вид их движения — фильтрация, которая имеет свои специфические особенности. Она служит теоретической основой раз­работки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Методами теории фильтрации решаются важнейшие задачи гидрогео­логии, расчет притоков жидкости к искусственным водозаборам и дренажным со­оружениям, изучение режимов естественных источников и подземных по­токов, расчет фильтрации воды в связи с сооружением и эксплуатацией плотин, понижением уровня грунтовых вод, задачи о движении реагентов через пористые среды и специ­альные фильтры, фильтрация жидкостей и газов через стенки пористых со­судов и труб — вот далеко не полный перечень областей широкого ис­пользования методов теории фильтрации.

Начало развитию подземной гидромеханики было положено фран­цузским инженером Анри Дарси (1803-1858 гг.), который в процессе работы над проектом водоснабжения г. Дижона (Франция) провел многочислен­ные опыты по изучению фильтрации воды через вертикальные песчаные фильтры. В опубликованной в 1856 г. замечательной книге А. Дарси дал подробное описание своих опытов и сформулировал обнаруженный им экспериментальный закон, в соответствии с которым скорость фильтрации жидкости прямо пропорциональна градиенту давления.

Закон Дарси (Анри Дарси, 1856) — закон фильтрации жидкостей и газов в пористой среде. Исторически закон был получен А.Дарси экспериментально, но может быть получен с помощью осреднения уравнений Навье – Стокса, описывающих течение в масштабе пор (в настоящее время имеются доказательства для пористых сред с периодической и случайной микроструктурой). Выражает зависимость скорости фильтрации флюида от градиента напора:

где: — скорость фильтрации, — коэффициент фильтрации, — градиент напора.

Анри Филибер Гаспар Дарси (фр. Henry Philibert Gaspard Darcy, 10 июня 1803, Дижон, — 2 января 1858, Париж) — французский инженер-гидравлик, обосновавший закон Дарси (1856), связывающий скорость фильтрации жидкости в пористой среде с градиентом давления: «По-видимому, для песка одного качества, пропускаемый им расход прямо пропорционален напору и обратно пропорционален толщине фильтрующего слоя (грунта)».

Именем Дарси названа единица измерения проницаемости пористой среды.

Под руководством Дарси в г. Дижоне была создана первая в Европе система городских очистных сооружений с различными фильтрационными засыпками. Это настолько изменило город в лучшую сторону, что уже на следующий день после смерти Дарси от пневмонии главной площади города было присвоено его имя.

В эти же годы другой французский инженер Жюль Дюпюи (1804- 1866 гг.) опубликовал монографию, в которой впервые изложил гидрав­лическую теорию движения грунтовых вод, вывел формулы для расчета дебитов колодцев и дрен, названные его именем, решил другие фильтра­ционные задачи.

Jules Dupuit

Существенный вклад в развитие теории напорного и безнапорного движения грунтовых вод внес (Boussinesq) Жозеф Валантен Буссинеск (1842-1929 гг.) и Филипп Форхгеймер (1852-1933 гг.).

Ч. Слихтер (1864—1946 гг.), работавший в США, внес значительный вклад в развитие теории фильтрации. Им впервые предложены модели идеального и фиктивного грунта и показано, что пористость и просветность фиктивного грунта зависят не от диаметра частиц, а лишь от плотно­сти их укладки.

Основоположниками отечественной школы теории фильтрации яв­ляются профессор Н.Е. Жуковский, академики Н.Н. Павловский, JI.C. Лей- бензон. Исследования этих выдающихся ученых, их многочисленных учеников и последователей стали фундаментальной основой развития тео­рии фильтрации в нашей стране.

Н.Е. Жуковский (1847-1921 гг.) в 1889 г. опубликовал первую работу по теории фильтрации «Теоретическое исследование о движении подпоч­венных вод». Им впервые выведены общие дифференциальные уравнения теории фильтрации, показано, что напор как функция координат удовлетво­ряет уравнению Лапласа, указано на математическую аналогию теплопро­водности и фильтрации. Им исследованы также вопросы капиллярного под­нятия воды в пористой среде, решен ряд задач о притоке воды к скважинам.

Н.Н. Павловскому (1884-1937 гг.) принадлежит определяющая роль в развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении. В опуб­ликованной монографии «Теория движения грунтовых вод под гидротех­ническими сооружениями и ее основные приложения» изложена разрабо­танная им строгая математическая теория движения фунтовых вод под гидротехническими сооружениями. Им впервые многие задачи фильтра­ции воды были сформулированы как краевые задачи математической фи­зики. Н.Н. Павловский впервые обосновал и предложил применение мето­да электрогидродинамической аналогии (ЭГДА) для решения фильтраци­онных задач, что в последующем нашло широкое применение для решения задач фильтрации воды, нефти и газа в неоднородных коллекторах.

Н.Н. Павловский впервые предложил использовать параметр Рей- нольдса в качестве критерия существования закона Дарси, что имеет важ­ное значение для исследования законов сопротивления при фильтрации. Фундаментальные результаты в развитии теории движения грунтовых вод получены академиком П.Я. Полубариновой-Кочиной.

Пелаге́я Я́ковлевна Ко́чина (урожд. Полуба́ринова; 1899 — 1999) — советский физик-гидродинамик, академик АН СССР.

Леонид Самуилович Лейбензо́н (1879—1951) — русский и советский учёный-механик основатель советской школы уче­ных и специалистов, специалист в области гидродинамики, теории упругости, теории фильтрации газа и нефти.

Теоретические и экспериментальные исследования Л.С. Лейбензона начались в 1921 г. в Баку. Ему принадлежит приоритет в постановке и ре­шении ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики. Им проведе­ны первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сфор­мулированы задачи нестационарной фильтрации при расчетах стягивания контуров нефтеносности при вытеснении нефти водой, получены фунда­ментальные результаты в развитии теории фильтрации природного газа.

Трудами учеников и последователей академика Л.С. Лейбензона сложилась школа, которая по праву называется школой Л.С. Лейбензона.

Выдающийся вклад в развитие теории фильтрации в нефтегазоводоносных пластах внесли академик С.А. Христианович, профессоры Б.Б. Лапук, Исаак

Абрамович Чарный, В.Н. Щелкачев и К.С Басниев. Написанные ими монографии и учебники стали классическими и основополагающими.

§ 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ

На различных этапах строительства скважины возникает необходимость в решении задач, связанных с оттоком жидкости из скважины и притоком ее в скважину из пласта. Здесь основное значение имеют закономерности движения жидкости в пласте, основанные на решении соответствующих граничных задач теории фильтрации.

Фильтрация - это движение жидкостей, газов и их смесей под действием перепада давления в твердом проницаемом теле, пронизанном системой сообщающихся между собой пустот (поры, трещины).

Нефть и природные газы заключены в недрах Земли. Их скопления связаны с вмещающими горными породами (пластами) - пористыми и проницаемыми образованиями, имеющими непроницаемые кровлю и по­дошву. Горные породы, которые могут служить вместилищами нефти и га­за и отдавать их при разработке, называются коллекторами. В свою оче­редь, коллекторы называют пористыми или трещиноватыми в зависимости от геометрии пустот.

Природные жидкости (нефть, газ, подземные воды и их смеси) нахо­дятся в пустотах (порах и трещинах) коллекторов. Часто находящиеся в пустотном пространстве пласта природные жидкости обозначают общим термином флюид,подразумевая под ним любую из них. Флюид, находя­щийся в коллекторе, может находиться в состоянии покоя или двигаться. Движение флюидов через твердые (вообще говоря, деформируемые) трещиноватые или пористые среды называется фильтрацией. Фильт­рация может быть обусловлена воздействием различных сил: градиентом давления, концентрации, температуры, капиллярными, электромолекуляр­ными и другими силами. Например, движение (фильтрация) расплавленно­го жира в фитиле свечи или керосина в фитиле керосиновой лампы обу­словлено капиллярными силами. Однако в дальнейшем будем рассмотривать течения, вызываемые действием градиента давления или силы тяжести.

Поровое пространство осадочных горных пород - сложная система сообщающихся меж­зернистых пустот, в которой трудно выделить отдельные поровые каналы (рис. 1.1). Размеры пор, например, в песчаных породах составляют обычно единицы или десятки микрометров (мкм). Движение флюидов в пласте происходит с очень малыми скоростями, порядка мик­рометров в секунду (в гидромеханике дви­жения со столь малыми скоростями часто называются ползущими).

Поэтому процесс фильтрации с высокой степенью точности можно очень часто считать изотермическим. И в то же время при фильтрации в горных породах возникает значительная сила трения. При движении флюидов в пустотном пространстве коллекто­ра соприкосновение между твердым скелетом и жидкостью происходит по огромной поверхности. Например, в 1м³ пористой среды (песчаника) площадь поверхности пустотного пространства может достигать порядка 10⁴ м². Поэтому основным свойством флюида, которое влияет на фильтра­цию, является вязкость. В связи с этим обстоятельством вязкость учитыва­ется даже при фильтрации газа, а так как сила трения распределена по все­му объему коллектора, то Н.Е. Жуковский предложил при описании фильтрации силу трения считать массовой силой.

Строение нефтяных и газовых залежей осложняется значительной неоднородностью и анизотропией свойств пород, их слоистостью, наличи­ем тектонических и стратиграфических нарушений (разрывов сплошности породы). Разведка месторождений, исследование пластов, извлечение неф­ти и газа осуществляется через отдельные скважины диаметром 10-20 см, отстоящие друг от друга до сотни метров.

Объектом изучения в теории фильтрации является движущаяся жидкость (газ, смесь), а скелет тела – средой, в которой это движение происходит.

Основная характеристика фильтрационного движения – вектор скорости фильтрации

,

(2.28)

где – компоненты скорости фильтрации; – расход жидкости через элементарные площадки , проходящие через некоторую точку среды перпендикулярно к соответствующим координатным осям. Если через точку проведена произвольно ориентированная площадка , то проекция вектора на нормаль к площадке равна

,

(2.29)

где – направляющие косинусы нормали ; – расход жидкости через площадку .

Подчеркнем, что расходы в формулах (2.28) и (2.29) делятся на полную площадь , а не на ее часть, занятую жидкостью. Поэтому величина скорости фильтрации не равна истинной скорости движения жидкости , они связаны соотношением

,

где – активная, или динамическая, пористость; и – соответственно элементарный объем среды и ее части, занятых подвижной жидкостью.

Горные породы, слагающие проницаемые пласты, характеризуются, как правило, сложной структурой флюидосодержащего пространства. Помимо пор они могут обладать развитой системой микро- и макротрещин. В зависимости от степени влияния трещин на фильтрацию жидкости принято различать пористые, трещиноватые и трещиновато-пористые породы.