Корректность постановки задачи

При численном решении основных задач необходимо знать какие-либо входные (исходные) данные – начальные , краевые, (граничные) значения искомой функции, коэффициенты и правые части уравнений и т.д. Очевидно, что кроме этого для исследователя важно знать, существует ли решение поставленной задачи, единственно ли оно и как оно зависит от входных данных.

Численная задача поставлена корректно, если при заданных исходных данных единственное решение, которое неправильно зависит отисходных данных, т.е. малому их изменению соответствует малоеизменение решения. В этом случае говорят, что задача устойчива.

Задача поставлена некорректно,если ее решениенеустойчиво,относительно исходных данных, т.е. их малому изменениюмогут соответствовать большие изменения решения.

Известно, что корректнойзадачей являетсязадачачисленного интегрирования, а некорректной задача численного дифференцирования.

Классическим примером некорректной задачи является задача Коши для уравнения Лапласа. Эта некорректность исходной задачи проявляется при ее численном решении.

Актуальность дисциплины «Численные методы»

В настоящее время появилась значительное число различных погрешностей программных продуктов (Math Cad, Math lab и дрю), с помощью которых, задавая только входные данные и не вникая в сущность алгоритмов, можно решить значительное число задач, на обучение решению которых и направлена дисциплина «Численные методы».

Безусловно, умение пользоваться этими программными продуктами существенно сокращает время и ресурсы по решению важных задач. Вместе с этим бездумное использование упомянутых выше программ без тщательного анализа метода, с помощью которого решается задача, таит в себе следующие опасности.

1. Все методы имеют ограничения по входным параметрам (например, размер матриц при решении СЛАУ), и попытка решить задачу с входными параметрами за пределами этих ограничений приводит к неудаче.

2. Сами численные методы имеют существенные ограничения по применению.

3. Незнание метода, с помощью которого решалась конкретная задача в программном продукте, приводит к ситуации, когда трудно проанализировать качество решения (точность, сходимость, устойчивость и др. характеристики численных методов).

Стандартные программные продукты значительно ограничены количеством решаемых задач, среди которых в основном линейные задачи. Вне сферы их применения остается большинство задач, связанных с уравнениями математической физики и др.

Поэтому при численном решении задач вычислитель должен четко представлять каждый из следующих этапов:

1) построение адекватной математической модели,

2) выбор метода численного решения,

3) разработку алгоритма решения задачи,

4) составление программы вычислений,

5) отладка программы,

6) корректировку и исправление всех этапов, начиная с математической модели, на основе анализа тестовых результатов.

Таким образом, путь от постановки задачи до получения результатов решения не краток. В связи с этим важно отметить следующее. Если неопытный вычислитель после реализации первых 4-х этапов считает, что задача решена, то опытный вычислитель знает, что неопытный вычислитель находится лишь в начале сложного пути с неожиданными результатами.