Лекция 12. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля
В 60-х годах прошлого века (около 1860 г.) Максвелл, основываясь на идеях Фарадея, обобщил законы электростатики и электромагнетизма: теорему Гаусса – Остроградского для электростатического поля и для магнитного поля ; закон полного тока ; закон электромагнитной индукции , и в результате разработал законченную теорию электромагнитного поля.
Теория Максвелла явилась величайшим вкладом в развитие классической физики. Она позволила с единой точки зрения понять широкий крут явлений, начиная от электростатического поля неподвижных зарядов и заканчивая электромагнитной природой света.
Математическим выражением теории Максвелла служат четыре уравнения Максвелла. которые принято записывать в двух формах: интегральной и дифференциальной. Дифференциальные уравнения получаются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа – теоремы Гаусса и теоремы Стокса. Теорема Гаусса:
(1)
(2)
- проекции вектора на оси; V - объем, ограниченный поверхностью S.
Теорема Стокса: . (3)
здесь rot - ротор вектора , который является вектором и выражается в декартовых координатах следующим образом: , (4)
S - площадь, ограниченная контуром L.
Уравнения Максвелла в интегральной форме выражают соотношения, справедливые для мысленно проведенных в электромагнитном поле неподвижных замкнутых контуров и поверхностей.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме показывают как связаны между собой характеристики электромагнитного поля и плотности зарядов и токов в каждой точке этого поля.
12.1. Первое уравнение Максвелла
Оно является обобщением закона электромагнитной индукции ,
и в интегральной форме имеет следующий вид (5)
и утверждает.что с переменным магнитным полем неразрывно связано вихревое электрическое поле , которое не зависит оттого находятся в нем проводники или нет. Из (3) следует, что . (6)
Из сравнения (5) и (6) находим, что (7)
Это и есть первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.
12.2. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла
Максвелл обобщил закон полного тока предположив, что переменное электрическое поле, также как и электрический ток, является источником магнитного поля. Для количественной характеристики "магнитного действия" переменного электрического поля Максвелл ввел понятие тока смещения.
По теореме Гаусса - Остроградского поток электрического смещения сквозь замкнутую поверхность
Продифференцировав это выражение по времени, получим для неподвижной и недеформирусмой поверхности S (8)
Левая часть этой формулы имеет размерность тока, который, как известно, выражается через вектор плотности тока . (9)
Из сравнения (8) и (9) следует, что имеет размерность плотности тока: А /м2. Максвелл предложил назвать плотностью тока смещения:
. (10)
Ток смещения . (11)
Из всех физических свойств, присущих действительному току (току проводимости), связанному с переносом зарядов, ток смещения обладает лишь одним: способностью создавать магнитное поле. При "протекании" тока смещения в вакууме или диэлектрике не выделяется тепло. Примером тока смещения может служить переменный ток через конденсатор. В общем случае токи проводимости и смещения не разделены в пространстве и можно говорить о полном токе, равном сумме токов проводимости и смещения: (12)
С учетом этого Максвелл обобщил закон полного тока, добавив в правую часть его ток смещения . (13)
Итак, второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид:
. (14)
Из (3) следует, что . (15)
Из сравнения (14) и (15) находим, что . (16)
Это и есть второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме.
12.3. Третье и четвертое уравнения Максвелла
Максвелл обобщил теорему Гаусса - Остроградского для электростатического поля. Он предположил, что эта теорема справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Соответственно, третье уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид: . (I7) или . (18)
где - объемная плотность свободных зарядов, [ ]= Кл / м3
Из (1) следует, что . (19)
Из сравнения (18) и (19) находим,что . (20)
Четвертое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах имеет
следующий вид: , (21) . (22)
12.4. Полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме
. (23)
, .
Эту систему уравнений необходимо дополнить материальными уравнениями, характеризующими электрические и магнитные свойства среды:
, , . (24)
Итак, после открытия взаимосвязи между электрическими и магнитным полями стало ясно, что эти поля не существуют обособлено, независимо одно от другого. Нельзя создать переменное магнитное поле без того, чтобы одновременно в пространстве не возникло и электрическое поле.
Отметим, что покоящийся в некоторой системе отсчета электрический заряд создает только электростатическое поле в этой системе отсчета, но он будет создавать магнитное поле в системах отсчета, относительно которых он движется. То же самое относится и к неподвижному магниту. Заметим также, что уравнения Максвелла инвариантны к преобразованиям Лоренца: причем для инерциальных систем отсчета К и К’ выполняются следующие соотношения: , . (25)
На основании изложенного можно сделать вывод, что электрические и магнитные поля являются проявлением единого поля, которое называют электромагнитным полем. Оно распространяется в виде электромагнитных волн
Дата добавления: 2016-03-04; просмотров: 1553;