Проверка гипотез о векторе наблюдений

Проверка гипотез о векторе наблюдений, векторе средних и ковариационной матрице

2.1. Вся подлежащая изучению совокупность однородных по какому-то свойству объектов называется генеральной совокупностью. В зависимости от задач исследователя в антропологии это может быть популяция, этно-территориальная группа, весь вид Homo sapiens и т.д. Генеральные совокупности обычно весьма велики, и обследование каждого индивида, принадлежащего к ним, оказывается невозможным. Поэтому, на практике рассматриваются частные совокупности - выборки, представляющие небольшую часть генеральной совокупности.

Элементы описания выборочных данных - векторы средних M и ковариационные матрицы Sмогут интересовать нас лишь в той мере, в какой они отражают свойства своих генеральных параметров. В частности, необходимы правила, следуя которым мы на основании выборочных данных можем делать выводы о генеральной совокупности. Приложение В содержит краткий очерк основных положений теории проверки статистических гипотез. Эти же сведения можно найти в большинстве руководств по элементарной биометрии.

Проверка гипотез о векторе наблюдений

2.2 В разделе 1.9 предыдущей главы, рассматривая основные свойства многомерных корреляционных эллипсоидов, мы видели, что для любого вектора индивидуальных наблюдений X_i можно определить расстояние Махаланобиса от центра этого эллипсоида

D_m² = (X_i - M)'S^-1(X_i - M) , (2.1)

где M и S - вектор средних и ковариационная матрица той совокупности индивидов, для которой строится корреляционный эллипсоид. Для значений D_m², найденных для разных наблюдений, характерно распределение c² с числом степеней свободы n = m, где m - число признаков. Это обстоятельство позволяло по величине D_m² определять долю всех наблюдений, находящихся внутри корреляционного эллипсоида, на котором размещается наблюдение с вектором значений признаков X_i.

Вместе с тем, эти результаты могут использоваться с полным основанием лишь в ситуации, когда M и S - вектор средних и ковариационная матрица были определены по выборке очень большого объема. В этой ситуации параметры M и S будут достаточно близки к своим генеральным значениям. В реальной ситуации они определяются по выборке с ограниченным количеством наблюдений N, и следует серьезно считаться со случайной статистической вариацией элементов вектора средних и ковариационной матрицы.

Проверка статистической гипотезы о принадлежности данного наблюдения с вектором значений m признаков X_i к совокупности наблюдений, для которой по выборке объема N получены вектор средних M и ковариационная матрица S, осуществляется следующим образом. Нулевая гипотеза H_o заключается в предпо-

- 18 -

ложении о том, что индивидуальный вектор наблюдений X_i принадлежит к рассматриваемой генеральной совокупности. Альтернативная гипотеза H₁ заключается в противоположном допущении. Критерий проверки этой гипотезы основан на величине расстояния Махаланобиса (2.1) и имеет вид

(N - m) N

F = (X_i - M)'S^-1(X_i - M) . (2.2)

(N² - 1) m

В ситуации, когда нулевая гипотеза верна, этот критерий имеет F-распределение Фишера с числами степеней свободы n₁ = m и n₂ = N - m. Для принятия решения о нулевой гипотезе для данных чисел степеней свободы и выбранного уровня вероятности ошибки 1-го рода (0.05, 0.01 или 0.001) следует найти критическое значение критерия F_o. Если найденная по формуле величина F < F_o, то ее можно считать относящейся к распределению значений этого критерия, найденному при условии, что нулевая гипотеза H_o верна. Тогда есть все основания полагать, что эта гипотеза справедлива и для проведенной проверки. В ситуации F ³ F_o ее придется отвергнуть в пользу альтернативы H₁.

При помощи многих компьютерных программ для найденного по формуле (2.2) значения F-критерия можно получить P - долю его выборочного распределения, лежащую справа от этого значения. По существу она равна a вероятности ошибки 1-го рода при решении о принятии нулевой гипотезы. Тогда, при P ³ a (a = 0.05, 0.01, 0.001) нулевая гипотеза может быть принята, а при P < a - отвергнута.

Пример 2.1. Проверим предположение о том, что по размерам нейрокраниума мустьерская находка черепа ископаемого гоминида Джебель Ирхуд VI может быть отнесена к кругу людей верхнего палеолита. С использованием сводки В.П.Алексеева (1978) можно найти, что для 14 мужчин верхнего палеолита (Грот детей Гримальди - "кроманьонец", Барма Гранде V, Кро-Маньон I, Комб-Капелль, Шанселяд, Оберкассель, Пшедмости III, Пшедмости IX, Павлов, Костенки XIV, Сунгирь I,Чжоукоудянь 101, Ваджак I, Кейлор) имеются данные по семи размерным характеристикам нейрокраниума (табл.2.1), для набора которых можно получить вектор средних. Увеличение набора признаков приведет к уменьшению объема выборки верхнепалеолитических мужчин.

Величина расстояния Махаланобиса D_m² для Джебель Ирхуд VI от центра выборки 14 индивидов равна 11.24. В соответствии с разделом 1.9 можно определить что значение c² = 11.24 при числе степеней свободы n = m = 7 оставляет левее себя 0.871 всей площади своего распределения. Иными словами, наблюдение Джебель Ирхуд VI лежит на корреляционном эллипсоиде для верхепалеолитических мужчин, включающем 87.1% всех индивидов и может считаться достаточно типичным для этой группы. Вместе с тем, малый объем (N = 14) наблюдений, на который опирается найденный вектор средних, требует более точной проверки этого заключения с использованием критерия (2.2). Его значение равно

(14 - 7) 14

F = 11.23 = 0.807 .

(196 - 1) 7

- 19 -

Таблица 2.1.Значения вектора средних M для 7 признаков нейрокраниума у 14 мужчин верхнего палеолита и вектор наблюдений у Джебель Ирхуд VI

При числе степеней свободы n₁ = 7 и n₂ = 14 - 7 = 7 критическое значение критерия при уровне ошибки 1-го рода a = 0.05 равно F_o = 3.79. Так как F < F_o , нельзя отвергнуть предположение о том, что по морфологическим свойствам нейрокраниума, определяемым основными его размерами и их соотношениями, мустьерская находка Джебель Ирхуд VI не может считаться сколько-нибудь значительно отличающейся от группы людей верхнего палеолита.