Дискретные распределения.

Биномиальное распределение.( Распределение Бернулли) Предположим, что производятся независимые испытания и при каждом испытании может быть два исхода — успех с вероятностью р или неудача с вероятностью q (р + q = 1). Например, стрельба по цели (при каждом выстреле два исхода — попадание или непопадание); проверка наугад вы­бранного изделия, которое может оказаться качественным или бракованным; подбрасывание симметричной монеты (при каждом подбрасывании появится герб или решка). Термины «успех» и «неудача» употребляются для удобства, важно только, чтобы при каждом испытании было два исхода.

Предположим, что произведено п испытаний, пусть x — число успехов при п испытаниях.

Данная случайная величина принимает значения от 0 до n .

P(ξ=m)=P_n(m)=C_n^mp^mq^n-m.

Согласно биному Ньютона:

(p+q)ⁿ= C_n⁰pⁿq⁰+ C_n¹p^n-1q¹+…=

= = =

Если k=i-1

= =np

Найдем наибольшее значение для биноминального распределения.

k>np-q – число меньше единицы

P(ξ=k+1)<P(ξ=k)

k>np-q – число больше единицы

P(ξ=k+1)>P(ξ=k)

K=np-q –тут может быть дробным числом . тогда в [k] максимум.

Если k целое число. То у нас два максимума.

Другой способ вычисления P_x и M_x.

_{= ; ;}

Геометрическое распределение .

Приводиться ряд экспериментов. Где может быть успех или неуспех.

ξ—кол-во Неуспехов до первого успеха

P(ξ=m)=q^mp

Данная формула имеет свойство отсутвия посследствия P(ξ=m+n/ ξ>=n)= P(ξ=m)

P(ξ=m+n/ ξ>=n)= P(ξ=m)=

Распределение Пуассона.

Пусть события одно за другим с интенсивностью λ к моменту времени t₁ t₂.Причем интенсивность не зависит от τ(его величины и местоположения)—простейший однородный стационарный поток относительно λ.

Случайная величина ξ кол-во событий за время τ.

Для подсчета разделим процесс τ на n- частей так,чтобы промежутки , и за это время могло произойти или не произойти событие.Вероятность поступления одного события за время равно тогда

P(ξ=m)=

При следующие пределы равны:

P(ξ=m)=

=a – среднее кол-во событий за время τ.

P(ξ=m)=

А – параметр распределения Пуассона

=1;

;

Математическое ожидание равно дисперсии.

Гипергеометрическое распределение.

Имеется N объектов. Среди них m обладают свойством «1» , а N-m обладают свойством «2». для исследования взято l объектов .

ξ – кол-во объектов обладающих свойством «1» среди l, взятых на исследование

P(ξ=k) =