Формулы комбинаторики. Схема Бернулли.

Пример. Сколькими способами можно набрать семизначный номер телефона, если все его цифры различны. Очевидно, первую цифру можно набрать 10 способами, вторую - 9, так как одна цифра уже использована,...,седьмую - 4. Согласно правилу произведения общее число возможных номеров равно 10 × 9 ×8 × 7 ×6 ×5 ×4 = 604800.

Решение. Пусть из некоторого множества, состоящего из n различимых элементов, отбирается в определённом порядке m. Для подсчёта числа возможных вариантов заметим, что первый элемент можно выбрать n способами, второй – (n - 1), ..., m –й… (n - m + 1) способами. Согласно правилу произведения общее число вариантов будет равно n × (n - 1)-... (n - m + 1). Такие комбинации называют размещениями, а число вариантов обозначают .

При n=m говорят о перестановках из n элементов, их число равно (n-факториал), т.е. 5!=1 ×2 ×3 ×4 ×5 или 7!= 1 ×2 ×3 ×4 ×5 ×6 ×7

Пример. Формируется первая последовательность студентов в 6 человек для сдачи экзаменов в студенческой группе из 20 человек. Тогда число возможных вариантов

Если порядок отбираемых m элементов из n не играет роли, то говорят о числе сочетаний из n элементов по m.

Пример. Сколькими способами можно из 20 присяжных заседателей отобрать трёх для участия в судебном процессе.

Решение. Поскольку несущественно, в каком порядке отобраны кандидатуры, число вариантов равно

Рассмотрим стохастический эксперимент, который в свою очередь, является последовательностью n – независимых и однородных (одинаковых) испытаний, в результате каждого из которых может произойти событие а или ему противоположное . С вероятностями р и q=1-р соответственно. По условию результат любого испытания не зависит от его порядкового номера и от того, что произошло до него. Простейшим примером может служить многократное бросание монеты. Когда с вероятностью р=0,5 выпадает герб и q= 0,5 – решка. Событие В, состоящее в том, что событие А наступило при каждом из m событий и не произошло при остальных n-m испытаниях можно записать в виде произведения

Так как все n испытания по условию независимы, то вероятность наступления события В равна произведению вероятностей наступления событий А и :

или

Число всевозможных различных последовательностей из n элементов, содержащих m элементов А, равно числу сочетаний из элементов по m. Так как различные последовательности из m элементов А и n-m элементов могут быть рассмотрены как различные исходы серии из n независимых испытаний, то все эти исходы (события) являются несовместными и искомая вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

или