Принцип неопределенности Гейзенберга.

В квантовой механике состояние частицы определяется заданием значений координат, импульса, энергии и других подобных величин, которые называются динамическими переменными.

Строго говоря, микрообъекту не могут быть приписаны динамические переменные. Однако информацию о микрообъекте мы получаем в результате их взаимодействия с макроприборами. Поэтому необходимо результаты измерений выражаются в динамических переменных. Поэтому, например, говорят о состоянии электрона с определенной энергией.

Своеобразие свойств микрообъектов заключается в том, что не для всех переменных получаются при изменениях определенные значения. Так в мысленном эксперименте мы видели, что при попытке уменьшить неопределенность координаты электронов в пучке путем уменьшения ширины щели приводит к появлению у них неопределенной составляющей импульса в направлении соответствующей координаты. Между неопределенностями координаты и импульса имеет место соотношение

(33.4)

Аналогичное соотношение имеет место для других осей координат и соответствующих проекций импульса, а также для ряда других пар величин. В квантовой механике такие пары величин называются канонически сопряженными. Обозначив канонически сопряженными величины А и В, можно записать:

(33.5)

Соотношение (33.5) было установлено в 1927 году Гейзенбергом и называется соотношением неопределенности.

Само утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше принципом неопределенности Гейзенберга. Принцип неопределенности Гейзенберга является одним из фундаментальных положений квантовой механики.

Важно отметить, что канонически сопряженными являются энергия и время, и справедливо соотношение:

(33.6)

(33.6) в частности, означает, что для измерения энергии с погрешностью не более (порядка) необходимо затратить время не менее . С другой стороны, если известно, что в некотором состоянии частица не может находиться более , то можно утверждать что энергия частицы в этом состоянии не может быть определена с погрешностью менее

Соотношение неопределенностей определяет возможность использования классических понятий для описания микрообъектов. Очевидно, что чем больше масса частицы, тем меньше произведение неопределенностей ее координаты и скорости . Для частиц с размерами порядка микрометра неопределенности координаты и скорости становятся столь малы, что оказываются за пределами точности измерений, и движение таких частиц можно рассматривать происходящим по определенной траектории.

При определённых условиях даже движение микрочастицы может рассматриваться, как происходящее по траектории. Например, движение электрона в ЭЛТ.

Соотношение неопределенностей, в частности, позволяет объяснить, почему электрон в атоме не падает на ядро. При падении электрона на ядро его координаты и импульс приняли бы одновременно определенные, а именно нулевые значения, что запрещено принципом неопределенности. Важно отметить, что принцип неопределенности – это базовое положение, которое определяет невозможность падения электрона на ядро наряду с рядом других следствий без принятия дополнительных постулатов.

Оценим на основе соотношения неопределенностей минимальные размеры атома водорода. Формально, с классической точки зрения, энергия должна быть минимальна при падении электрона на ядро, т.е. при и . Поэтому для оценки минимальной размеров атома водорода можно считать что, что его координата и импульс совпадают с неопределенностями этих величин: . Тогда они должны быть связаны соотношением:

(33.7)

Энергия электрона в атоме водорода выражается формулой:

(33.8)

Выразим импульс из (33.7) и подставим в (33.8):

. (33.9)

Найдем радиус орбиты , при котором энергия минимальна. Дифференцируя (33.9) и приравнивая производную нулю, получаем:

. (33.10)

Поэтому радиус расстояние от ядра, на котором электрон имеет минимальную энергию в атоме водорода, можно оценить по соотношению

. (33.11)

Это значение совпадает с радиусом воровской орбиты.

Подставив найденное расстояние в формулу (33.9), получим выражение для минимальной энергии электрона в атоме водорода:

. (33.12)

Это выражение также совпадает с энергией электрона на орбите минимального радиуса в теории Бора.

33.13 Уравнение Шрёдингера

Поскольку, по идее Де-Бройля, движение микрочастицы связано с некоторым волновым процессом, Шрёдингер сопоставил ее движению комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил . Часто это функцию так и называют – «пси-функция». В 1926 году Шрёдингер сформулировал уравнение, которому должна удовлетворять :

. (33.13)

В этом уравнении:

m – масса частицы;

;

– функция координат и времени, градиент, который с обратным знаком определяет силу, действующую на частицу.

Уравнение (33.13) называется уравнением Шрёдингера. Отметим, что уравнение Шрёдингера не выводится из каких-либо дополнительных соображений. Фактически оно является постулатом квантовой механики, сформулированным на основе аналогии уравнений оптики и аналитической механики. Фактическим обоснованием уравнения (33.13) Является соответствие результатов, полученных на его основе экспериментальным фактам.

Решая (33.13), получают вид волновой функции, описывающей рассматриваемую физическую систему, например, состояния электронов в атомах. Конкретный вид - функции определяется характером силового поля, в котором находится частица, т.е. функцией .

Если силовое поле стационарно, то не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени:

. (33.14)

где – полная энергия системы, которая в случае стационарного поля остаётся постоянной.

Подставив (33.14) в (33.13), получим:

После сокращения на ненулевой множитель получаем уравнение Шредингера, справедливое в указанных ограничениях:

. (33.15)

Уравнение (33.15) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний, которое обычно записывают в виде:

. (33.16)

В квантовой механике широко используется понятие оператора. Под оператором подразумевают символ, указывающий правило, посредством которого одной функции, , сопоставляется другая – f:

. (33.17)

(Оператором можно считать набор символов, например, sin(), который подразумевает действия, которые необходимо совершить, чтобы рассчитать синус выражения в скобках. Так оператор означает, что необходимо найти сумму вторых частных производных по координатам.)

Обозначим

. (33.18)

Оператор называется оператором Гамильтона (гамильтонианом)

Воспользовавшись этим обозначением, уравнению (33.15) можно придать вид:

. (33.19)

Решение уравнения (33.18) позволяет найти возможные значения параметра и вид волновых функций, соответствующих им. Параметр в (33.18) имеет смысл энергии рассматриваемой системы. Допустимые значения параметра соответствуют возможным значениям энергии системы (собственным значениям). Поэтому говорят, что оператор Гамильтона является оператором энергии. А уравнения Шрёдингера вида (33.18) называют уравнениями Шредингера для собственных значений.

В квантовой механике каждой физической величине (динамической переменной) сопоставляется оператор, который обычно обозначают соответствующей прописной буквой . Например, операторы координат, импульса, момента импульса и т. д. С использованием каждого оператора можно записать уравнение, аналогичное по виду (33.18). Решая такие уравнения (т.е. уравнения типа (33.18) ), находят собственные значения .