Статистической функцией распределения случайной вели­чины Х называется частота события Х < х в данном стати­стическом материале.

F*(x)=P*(X<x).

Для того чтобы найти значение статистической функции распре­деления при данном х, достаточно подсчитать число опытов, в ко­торых величина Х приняла значение, меньшее чем х, и разделить на общее число n произведенных опытов.

График статистической функции распределения величины представлен на рис.

1 F(β)

Статистическая функция распределения любой случайной вели­чины—прерывной или непрерывной—представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины Х было наблюдено только один раз, скачок статистической функции распределения в каждом наблюlенном значении равен 1/n, где n число наблюдений.

При увеличении числа опытов n, согласно теореме Бернулли, при любом х частота события Х < х приближается (сходится по вероят­ности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличе­нии n статистическая функция распределения F* (х) приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения F(x) случайной величины X.

Если Х—непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений n число скачков функции (х) увеличивается, самые скачки уменьшаются и график функции F*(x) неограниченно приближается к плавной кривой F(x)—функции распределения ве­личины X.

В принципе построение статистической функции распределения уже решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов n построение F* (х) описанным выше способом весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает удобно — в смысле наглядности — пользоваться другими характеристиками ста­тистических распределений, аналогичными не функции распределе­ния F (х), а плотности f(x). С такими способами описания стати­стических данных мы познакомимся в следующем параграфе.

Статистический ряд. Гистограмма

При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая стати­стическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала — она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания ему большей компактности и на­глядности статистический материал должен быть подвергнут до­полнительной обработке — строится так называемый «статистиче­ский ряд».

Предположим, что в нашем распоряжении результаты наблюдений над непрерывной случайной величиной X, оформленные в виде про­стой статистической совокупности. Разделим весь диапазон наблю­денных значений Х на интервалы или «разряды» и подсчитаем ко­личество значений m_i приходящееся на каждый i-й разряд. Это число разделим на общее число наблюдений n и найдем частоту, соответ­ствующую данному разряду:

Р_i =m_i / n

Сумма частот всех разрядов, очевидно, должна быть равна единице,

Построим таблицу, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты. Эта таблица называется статистическим рядом:

Здесь /,—обозначение i-го разряда; хi, Xi+1—его границы; рi'— соответствующая частота; k — число разрядов.

Пример 1. Результаты измерений () сведены в статистический ряд:

Здесь Ii обозначены интервалы значений ошибки наводки; mi—число наб­людений в данном интервале, рi = mi/n - соответствующие частоты.

При группировке наблюденных значений случайной величины по разрядам возникает вопрос о том, к какому разряду отнести значе­ние, находящееся в точности на границе двух разрядов. В этих случаях можно рекомендовать (чисто условно) считать данное зна­чение принадлежащим в равной мере к обоим разрядам и прибав­лять к числам m-i того и другого, разряда по 1/2.

Число разрядов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распреде­ления становится невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны, оно не должно быть слишком малым (при малом числе разрядов свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо). Практика пока­зывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число разрядов порядка 10—20. Чем богаче и однороднее статистический материал, тем большее число разрядов можно выбирать при состав­лении статистического ряда. Длины разрядов могут быть как одина­ковыми, так и различными. Проще, разумеется, брать их одинаковы­ми. Однако при оформлении данных о случайных величинах, рас­пределенных крайне неравномерно, иногда бывает удобно выбирать в области наибольшей плотности распределения разряды более узкие. чем в области малой плотности.

Статистический ряд часто оформляется графически в виде так называемой гистограммы.. Гистограмма строится следующим обра­зом. По оси абсцисс откладываются разряды, и на каждом из раз­рядов как их основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно частоту каждого разряда разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.

0 1 2 3 4 5 X

Очевидно, при увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие разряды; при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице. Нетрудно убедиться, что эта кривая представляет собой график плотности распределения величины X.

Пользуясь данными статистического ряда, можно приближенно построить и статистическую функцию распределения величины X. Построение точной статистической функции распределения с несколь­кими сотнями скачков во всех наблюденных значениях Х слишком трудоемко и себя не оправдывает.