Задача проверки правдоподобия гипотез

Равномерный закон

Существую практические задачи, в которых случайные величины заключены в пределах определенного интервала и располагаются на этом интервале равномерно.

Такие величины подчиняются равномерному закону распределения.

Пример (пассажир - метро)

Для равномерного закона

α+β

m_x = ;

(β - α)²

Dх= ;

Закон Пуассона.

Рассмотрим дискретную случайную величину, принимающую только целые неотрицательные значения

0,1,2, m

Случайная величина распределена по закону Пуассона, вероятность того, что она примет значение m

a^m

Pm= e^-a, где а параметр распределения Пуассона.

m!

Для распределения Пуассона m_x = а, Dх=а

Для распределения Пуассона дисперсия равна МОЖ.

(Количество звонков на АТС распределено по Закону Пуассона).

Нормальный закон (Гаусса)

Нормальный закон играет очень важную роль в ТВ. Это обусловлено тем, что большом количестве факторов влияющих на случайные события все другие законы распределения приближаются к нормальному.

Доказано, сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, подчиненных любым законам, принекоторых ограничениях подчиняется нормальному закону.

f(x) = e ^-(x-m)2

σ√2π σ²

f(x)

M

При нормальном законе распределения, МОЖ равно m, а σ²=D[X].Следовательно σ - это СКО.

Статистикапредставляет собой отрасль науки, которая изучает количественную сторону массовых явлений общественной жизни, состоящих из отдельных элементов, единиц. Объединение элементов составляет статистическую совокупность. Целью изучения является установление количественных закономерностей развития данного явления. Оно основано на применении теории вероятностей и законе больших чисел. Сущность этого закона заключается в том, что несмотря на индивидуальные случайные колебания отдельных элементов совокупности, в общей массе проявляется определенная закономерность, характерная для данной совокупности в целом. Чем большее количество единичных элементов характеризующих исследуемое явление рассматривается, тем более четко обнаруживается закономерность, присущая данному явлению.

Преступность - явление социальное, массовое, представляет собой статистическую совокупность многочисленных фактов единичных преступных проявлений. Это и дает основание применять для ее изучения методы теории статистики.

В статистических исследованиях общественных явлений, можно выделить три этапа:

1) статистическое наблюдение, т.е. сбор первичного статистического материала;

2) сводная обработка собранных данных, в процессе которой производится подсчет итогов, расчет сводных (обобщающих) показателей и представление результатов в виде таблиц и графиков;

3)анализ, в ходе которого выявляются закономерности исследуемой статистической совокупности, взаимосвязи между различными ее составляющими, осуществляется содержательная интерпретация обобщающих показателей.

Первым этапом статистического исследования является статистическое наблюдение. Оно играет особую роль, так как ошибки, допущенные в процессе сбора данных, практически невозможно исправить на дальнейших этапах работы, что влечет за собой в конечном итоге неверные выводы о свойствах сследуемого явления, неправильную их интерпретацию.

По способу регистрации фактов статистическое наблюдение делится на непрерывное и прерывное. Под непрерывным, или текущим, понимается такое наблюдение, при котором установление и выявление фактов производится по мере их возникновения. При прерывном наблюдении регистрация фактов производится либо регулярно через определенные промежутки времени, либо по мере необходимости.

По охвату единиц обследуемой совокупности различают сплошное и несплошное наблюдение. Сплошным называется наблюдение, при котором учету подлежат все единицы изучаемой совокупности. Так, например, регистрация преступлений теоретически представляет собой сплошное наблюдение. Однако на практике определенная часть преступлений, называемых латентными, остается за пределами исследуемой статистической совокупности и поэтому фактически такое наблюдение является несплошным. Несплошным называется наблюдение, при котором регистрации подлежат не все единицы изучаемой совокупности. Оно подразделяется на несколько видов: наблюдение основного массива, выборочное наблюдение и некоторые другие.

Наблюдение основного массива (его иногда называют несовершенным сплошным методом) представляет собой такой вид несплошного наблюдения, при котором из всей совокупности единиц объекта наблюдению подвергается такая их часть, которая составляет подавляющую, преобладающую долю всей совокупности. Проведение наблюдения по этому методу практикуется в тех случаях, когда сплошной охват всех единиц совокупности сопряжен с особыми трудностями и в то же время исключение из наблюдения определенного количества единиц не оказывает существенного влияния на выводы о свойствах всей совокупности. Поэтому регистрацию преступлений скорее можно отнести именно к данному виду наблюдения.

Наиболее совершенным видом несплошного наблюдения является выборочное, при котором с целью характеристики всей совокупности обследованию подвергается лишь некоторая ее часть, однако взятая на выборку по определенным правилам. Основным условием правильности проведения выборочного наблюдения является такой отбор, в результате которого отобранная часть единиц по всем подлежащим изучению признакам достаточно точно характеризовала бы всю совокупность в целом. Чаще всего выборочное наблюдение применяется в ходе социологических исследований. В дальнейшем будем рассматиривать правила и способы отбора единиц при выборочном наблюдении.

После того как первичный материал собран и проверен, осуществляется второй этап статистического исследования сводка. Статистическое наблюдение дает материал, характеризующий отдельные единицы объекта исследования. Задача сводки - подытожить, систематизировать и обобщить результаты наблюдения так, чтобы стало возможным выявить характерные черты и существенные свойства, обнаружить закономерности изучаемых явлений и процессов.

Простейшим примером сводки является суммирование всех зарегистрированных преступлений. Однако такое обобщение не дает полного представления о всех свойствах криминогенной обстановки. Чтобы охарактеризовать преступность глубоко и всесторонне, необходимо знать, как общее количество преступлений распределяется по видам, времени, месту и способу совершения, и т.п.

Распределение единиц изучаемого объекта на однородные группы по существенным для них признакам называется статистической группировкой. Объекты, исследуемые статистикой, обычно характеризуются многими свойствами и отношениями, выражаемыми различными признаками. Поэтому группировка обследуемых объектов может производиться в зависимости от задач статистического исследования по одному или нескольким из этих признаков. Так, личный состав органа может быть сгруппирован по должностям, специальным званиям, возрасту, выслуге лет, семейному положению и т.д.

В результате обработки и систематизации первичных статистических материалов получаются ряды цифровых показателей, которые характеризуют отдельные стороны изучаемых явлений или процессов либо их изменение. Эти ряды называются статистическими. По своему содержанию статистические ряды делятся на два вида: ряды распределения и ряды динамики. Рядами распределения называются ряды, характеризующие распределение единиц исходной совокупности по какому-либо одному признаку, разновидности которого расположены в определенном порядке. Например, распределения общего количества преступлений на отдельные виды, численности всего личного состава по должностям представляют собой ряды распределения.

Динамическими рядами называются ряды, которые характеризуют изменение размеров общественных явлений во времени. Подробное рассмотрение таких рядов и их использование при аналихзе и прогнозе криминогенной обстановки составляет предметом отдельной лекции.

Результаты статистического наблюдения и сводки его материалов выражаются прежде всего в абсолютных величинах (показателях). Абсолютные величины показывают размеры общественного явления в данных условиях места и времени, например, количество совершенных преступлений или число лиц, их совершивших, фактическая численность личного состава или количество единиц автотранспорта. Абсолютные величины подразделяются на индивидуальные и суммарные (т.е. итоговые). Индивидуальными называются абсолютные величины, выражающие размеры количественных признаков у отдельных единиц той или иной совокупности объектов (например, число потерпевших или материальный ущерб по конкретному уголовному делу, возраст или выслуга лет данного сотрудника, его денежное содержание и т.п.). Они получаются непосредственно в процессе статистического наблюдения и фиксируются в первичных учетных документах. Индивидуальные абсолютные величины служат основой любого статистического исследования.

В отличие от индивидуальных суммарные абсолютные величины характеризуют итоговую величину признака по определенной совокупности объектов, охваченных статистическим наблюдением. Они получаются либо путем прямого подсчета числа единиц наблюдения (например, числа преступлений определенного вида), либо в результате суммирования значений признака у отдельных единиц совокупности (например, ущерб, нанесенный всеми преступлениями).

Однако абсолютные величины, взятые сами по себе, далеко не всегда дают надлежащее представление об изучаемых явлениях и процессах. Поэтому наряду с абсолютными величинами большое значение в статистике имеют относительные величины.

Сравнение является основным приемом оценки статистических данных и составной частью всех методов их анализа. Однако простое сопоставление двух величин недостаточно для точной оценки их соотношения. Это соотношение нужно также измерить. Роль меры такого соотношения и выполняют относительные величины.

В отличие от абсолютных, относительные величины представляют собой производные показатели. Они получаются не в результате простого суммирования, а путем относительного (кратного) сравнения между собой абсолютных величин.

В зависимости от характера изучаемого явления и конкретных задач исследования относительные величины могут иметь различную форму (внешний вид) выражения. Наиболее простой формой выражения относительной величины является число (целое или дробное), показывающее, во сколько раз одна величина больше другой, принятой за базу сравнения, или какую часть ее составляет.

Чаще всего, в аналитической деятельности органов внутренних дел применяется другая форма представления относительных чисел, процентное отношение, при которой основная величина принимается за 100. Для определения процентного отношения необходимо результат деления одной абсолютной величины на другую (базовую) умножить на 100.

Важная роль в сводной обработке статистических данных принадлежит средней величине. Поскольку каждая отдельно взятая единица статистической совокупности обладает индивидуальными особенностями, отличаясь от любой другой количественным значением, для характеристики свойств всей статистической совокупности в целом используется средняя величина. Под средней величиной в статистике понимают показатель, который отражает уровень меняющегося по величине признака в расчете на единицу однородной совокупности.

Для характеристики однородности статистической совокупности по соответствующему признаку используются различные показатели: вариация, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Эти показатели позволяют оценить, в какой степени соответствующая средняя величина отражает свойства всей совокупности в целом, может ли она вообще использоваться в качестве обобщающей характеристики данной статистической совокупности. Подробное рассмотрение перечисленных показателей является самостоятельным вопросом.

Математические законы ТВ выражают реальные закономерности, фактически существующих в массовых случайных явлениях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

2. Основные задачи математической статистики

Математические законы теории вероятностей не являются беспредметными абстракциями, лишенными физического содержания; они представляют собой математическое выражение реальных закономер­ностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях природы.

До сих пор, говоря о законах распределения случайных величин, мы не затрагивали вопроса о том, откуда берутся, на каком осно­вании устанавливаются эти законы распределения. Ответ на вопрос вполне определенен - в основе всех этих характеристик лежит опыт; каждое исследование случайных явлений, выполняемое методами тео­рии вероятностей, прямо или косвенно опирается на эксперименталь­ные данные. Оперируя такими понятиями, как события и их вероят­ности, случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики, теория вероятностей дает возможность теоретиче­ским путем определять вероятности одних событий через вероятности других, законы распределения и числовые характеристики одних случайных величин через законы распределения и числовые характе­ристики других. Такие косвенные методы позволяют значительно экономить время и средства, затрачиваемые на эксперимент, но отнюдь не исключают самого эксперимента. Каждое исследование в области случайных явлений, как бы отвлеченно оно ни было, корнями своими всегда уходит в эксперимент, в опытные данные, в систему наблюдений.

Разработка методов регистрации, описания и анализа статисти­ческих экспериментальных данных, получаемых в результате наблю­дения массовых случайных явлений, составляет предмет специальной науки — математической статистики.

Все задачи математической статистики касаются вопросов обра­ботки наблюдений над массовыми случайными явлениями, но в зави­симости от характера решаемого практического вопроса и от объема имеющегося экспериментального материала эти задачи могут прини­мать ту или иную форму.

Охарактеризуем вкратце некоторые типичные задачи математи­ческой статистики, часто встречаемые на практике.

1. Задача определения закона распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным. Мы уже указывали, что закономерности, наблюдаемые в массо­вых случайных явлениях, проявляются тем точнее и отчетливее, чем больше объем статистического материала. При обработке обширных по своему объему статистических данных часто возникает вопрос об определении законов распределения тех или иных случайных величин. Теоретически при достаточном количестве опытов свойственные этим случайным величинам закономерности будут осуществляться сколь угодно точно. На практике нам всегда приходится иметь дело с огра­ниченным количеством экспериментальных данных; в связи с этим результаты наших наблюдений и их обработки всегда содержат боль­ший или меньший элемент случайности. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого явления относятся к постоянным, устойчивым и действительно присущи ему, а какие являются случайными и про­являются в данной серии наблюдений только за счет ограниченного объема экспериментальных данных. Естественно, к методике обра­ботки экспериментальных данных следует предъявить такие требо­вания, чтобы она, по возможности, сохраняла типичные, характерные черты наблюдаемого явления и отбрасывала все несущественное, второстепенное, связанное с недостаточным объемом опытного мате­риала. В связи с этим возникает характерная для математической статистики задача сглаживания или выравнивания стати­стических данных, представления их в наиболее компактном виде с помощью простых аналитических зависимостей.

Задача проверки правдоподобия гипотез

Эта задача тесно связана с предыдущей; при решении такого рода задач мы обычно не располагаем настолько обширным стати­стическим материалом, чтобы выявляющиеся в нем статистические закономерности были в достаточной мере свободны от элементов случайности. Статистический материал может с большим или меньшим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы. Например, может возникнуть такой вопрос: согласуются ли результаты эксперимента с гипотезой о том, что данная случайная величина подчинена закону распределения F(x)? Другой подобный вопрос: указывает ли наблюденная в опыте тенденция к зависимости между двумя случайными величинами на нали­чие действительной объективной зависимости между ними или же она объясняется случайными причинами, связанными с недостаточным объемом наблюдений? Для решения подобных вопросов математическая статистика выработала ряд специальных приемов.