Матрицы и операции над ними
Матрицей называется прямоугольная таблица из (“эм на эн”) элементов некоторого множества: . (1)
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Сокращенно матрица обозначается как ( , ).
Запись означает элемент матрицы, стоящий в - й (“итой”) строке ( ) и в - м (“житом”) столбце ( ).
В этом случае числа и называются индексами элемента, и они обозначают положение этого элемента в матрице. Первый индекс элемента матрицы указывает номер строки, второй – номер столбца.
Величина называется размерностью матрицы.
Матрица вида называется матрицей-строкой или просто строкой.
Матрица вида называется матрицей-столбцом или просто столбцом.
Если в матрице одна строка и один столбец ( ), то она считается одноэлементной(представлена одним числом).
Если число строк и столбцов совпадают ( ), то матрица называется квадратной n-го(“энного”)порядка: . (2)
У квадратной матрицы есть две диагонали.
Элементы образуют главную диагональ, а элементы - побочную диагональ.
Пример 1. - квадратная матрица 3-го порядка, - главная диагональ, - побочная диагональ.
Квадратная матрица (2) называется диагональной, если все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю: . (3)
Пример 2. - диагональная матрица.
Единичной называется диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице (обозначается ): .
Если в матрице все элементы равны нулю, то такая матрица называется нулевой, или нуль-матрицей и обозначается .
Две матрицы одинакового размера и называются равными( ), если равны их соответствующие элементы, то есть для всех значений и .
Если в матрице поменять местами строки и столбцы (или для каждого элемента поменять местами индексы и ), то полученная матрица называется транспонированной и обозначается .
Пример 3. .
Матрица называется симметрической, если она не меняется при транспонировании, то есть .
Над матрицами можно выполнять следующие операции: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.
Суммой двух матриц и называется матрица такая, что , где и .
Обозначение: .
Замечание 1. Сумма и разность существуют только для матриц одинакового размера.
Свойства операции сложения матриц:
1) (коммутативность сложения);
2) (ассоциативность сложения);
3) если – нулевая матрица того же порядка, что и матрица , то (нейтральный элемент относительно сложения).
Пример 4. .
Аналогично определяется разность двух матриц: , где , , .
Произведением матрицы на число (лямбда) называется матрица такая, что , где , .
Обозначение: .
Свойства операции умножения матрицы на число:
1) (мю);
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Пример 5. .
Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы , то есть , где и .
Обозначение: .
Замечание 2. Умножение допустимо, если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . При этом число строк матрицы будет равно числу строк матрицы , а число столбцов матрицы будет равно числу строк матрицы .
Свойства операции умножения матриц:
1) (в общем случае операция не коммутативна);
2) (ассоциативность);
3) (дистрибутивность);
4) (альфа);
5) .
Пример 6.
.
Если - целое неотрицательное число, тогда -й степенью квадратной матрицы называется матрица, которая вычисляется следующим образом: ; ; .
Дата добавления: 2016-02-09; просмотров: 790;