При различных формах поперечного сечения.

s_q = s₁^¥ (1 + -----);

r²

при неравнокомпонентном поле естественных напряжений (s₁^¥¹ s₃^¥)

a²s₃^¥ + s₁^¥s₃^¥ + s₁^¥ a²

s_r = (1 - ----) [-------------- + ------------- (1 - 3-----) cos 2q ];

r² 22 r²

s₃^¥ + s₁^¥ a² s₃^¥ - s₁^¥ a⁴

s_q = -----------(1 + ----) - ----------- (1 + 3-----) cos 2q ;(12.4)

2r²2r⁴

s₃^¥ - s₁^¥ a² a⁴

t_rq = - -----------(1 + 2---- - 3------) sin 2q ;

2r²r⁴

где s₃^¥иs₁^¥ — компоненты тензора напряжений в нетронутом массиве горных пород; а—радиус сечения выработки; r, q— текущие полярные координаты.

Как следует из уравнений (12.3), (12.4), напряжения в любой точке массива пород вокруг кругового сечения определяются соотношением напряжений в нетронутом массиве и координатами данной точки.

Причем в случае равномерного поля естественных напряжений (например, для вертикальных стволов при действии в массиве только гравитационных сил) коэффициент концентрации тангенциальных напряжений, т.е. коэффициент, показывающий во сколько раз напряжение в данной точке превышает соответствующее напряжение в нетронутом массиве (К = s_i / s^¥), в любой точке контура равен максимально К = 2 и все напряжения являются сжимающими (рис. 12.2).

Рис. 12.2. Распределение напря-жений вокруг выработки кругового поперечного сечения при равноком-понентном напряжённом состоянии нетронутого массива (s₃^¥ = s₁^¥).

При неравномерном поле напряжений (s₃^¥ ¹ s₁^¥) на части контура выработки со стороны действия большего из напряжений появляется область напряжений обратного знака (растягивающих), которая тем обширнее, чем больше разница между s₃^¥иs₁^¥. Сжимающие же напряжения в противоположность этому имеют большие значения со стороны действия меньших нагрузок.

В качестве примеров рассмотрим несколько частных случаев.

1. Естественное поле в массиве пород - гравитационное, соответствует гипотезе академика АН СССР А.Н. Динника, т.е. s₁^¥/s₃^¥ = n/(1-n). При n =0.2 горизонтальное напряжение s₁^¥ =0.25s₃^¥. Выработка горизонтальная (рис. 12.3).

Рис. 12.3. Распределение напряжений в кровле и стенках горизонтальной выработки кругового поперечного сечения при соотно-шениях компонент тензора напряжений в нетронутом массиве по А.Н. Диннику (при v = 0,2; s₁^¥ = 0.25 s₃^¥)

В этом случае максимальный коэффициент концентрации напряжений К наблюдается в боках выработки и составляет 2,75. В кровле образуется небольшая зона растяжений.

2. Естественное поле в массиве пород - гравитационно-тектоническое, т.е. горизонтальное напряжение s₁^¥ =2s₃^¥ (рис. 12.4а) и s₁^¥ =10s₃^¥(рис. 12.4б).

При этом максимальная концентрация напряжений наблюдается в кровле горизонтальной выработки, коэффициенты концентрации составляют соответственно 5 и 29.

Рис. 12.4. Распределение напряжений в кровле и стенках горизонтальной выработки кругового поперечного сечения при действии тектонических сил.

а - при s₁^¥ = 2 s₃^¥;б - при s₁^¥ = 10 s₃^¥).

Во всех рассмотренных случаях речь идет о коэффициенте концентрации тангенциальных напряжений, поскольку радиальные напряжения на контуре всегда равны нулю, если со стороны контура выработки массив не испытывает противодавления (например, реакции жесткой крепи).

Интересно проследить, как изменяется размер L области влияния выработок, т. е. другими словами, на каких расстояниях от контура выработки напряжения практически не отличаются от соответствующих компонент поля напряжений нетронутого массива.

Вычисления по формулам (12.4) показывают, что для условий равнокомпонентного (гидростатического) напряженного состояния нетронутого массива уже на расстоянии, немногим более трёх радиусов выработки [L = 1.65d (где d = 2a)], значения и тангенциальных и радиальных составляющих отличаются от соответствующих компонент напряжений в нетронутом массиве не более, чем на 5%.

Для других условий нагружения наблюдаются существенные различия в скорости затухания компонент напряжений s_q и s_r по мере удаления от контура выработки. При этом, как правило, быстрее затухают те компоненты, которые имеют большие коэффициенты концентраций на контуре.

Так, при s₁^¥=0.25s₃^¥наиболее быстро затухает тангенциальное напряжение s_q в стенке выработки, уже на расстоянии L = 1.35d от контура оно отличается на 5% от значения такового в нетронутом массиве. Остальные компоненты (в том числе и в кровле) затухают медленнее и указанный уровень достигают лишь на расстоянии L = 2.75d.

При s₁^¥=2s₃^¥и s₁^¥=10s₃^¥тоже быстрее затухают s_q в кровле, исходя из этого радиальная протяженность области влияния выработки составляет соответственно L = 1.5d. и L = 1.25d. Медленнее затухают радиальные составляющие напряжений. В частности, в стенке значение s_r в первом случаеотличается на 5% от уровня соответствующей компоненты нетронутого массива на расстоянии L = 2.5d от контура. Особенно медленно уменьшаются радиальные составляющие в кровле во втором случае (L = 7d).

Таким образом, размеры зоны влияния выработок существенно зависят от степени равномерности начального поля напряжений и при наиболее благоприятном случае для круговой формы сечения составляют около полутора диаметров.

Представляет практический интерес характер распределения напряжений в массиве в сторону забоя выработки. В данном случае напряженное состояние массива уже нельзя отождествлять с распределением напряжений в плоскости продольного сечения выработки и необходимо рассматривать пространственную задачу. В настоящее время подобные решения получены для упругих моделей массива с помощью численных методов, а также фотоупругости. Результаты исследований свидетельствуют, что в самом простом случае, когда конфигурацию забоя представляют приближённо полусферой, а начальное поле напряжений в массиве является равнокомпонентным (гидростатическим) s₁^¥ = s₂^¥ = s₃^¥, компоненты напряжений определяются формулами в сферической системе координат (q; r; j)

s_q = s_j = s₁^¥[1 + a³ / 2 r³](12.5)

s_r = s₁^¥[1 - a³ / r³].

В этом случае (рис.12.5) размеры зоны влияния и значения коэффициентов концентрации существенно меньше, чем для плоской постановки. В частности, уже на расстоянии L=0,8 d от контура выработки компоненты напряжении весьма мало отличаются от таковых в нетронутом массиве, а коэффициент концентрации тангенциальных напряжений на контуре К = 1,5.

Рис.12.5. Распределение напряжений вокруг забоя выработки кругового поперечного сечения.

С тем, чтобы проследить, как изменяются напряжения в массиве пород в зависимости от формы сечений выработок рассмотрим случаи, когда выработки имеют эллиптические, прямоугольные и сводчатые поперечные сечения.

В практике горного дела эллиптическую форму поперечного сечения иногда применяют для вертикальных стволов.

На рис. 12.6 представлены графики напряжений вокруг эллиптического отверстия с отношением осей а/б = 2, при тех же соотношениях компонент начального напряженного состояния, как и для круговой формы сечения выработок.

Из сопоставления кривых на рис. 12.2; 12.3; 12.4; и 12.6 следует, что в целом характер распределения напряжений вокруг эллиптического отверстия подобен таковому при круговом сечении. Однако коэффициенты концентрации тангенциальных напряжений s_q отличаются от соответствующих им коэффициентов при круговой форме.

По сравнению с круговой формой сечения выработок эллиптическое сечение характеризуется несколько большими скоростями затухания напряжений по мере удаления в сторону массива, т. е. меньшей областью влияния. В частности, для наиболее благоприятных случаев размеры области влияния эллиптического сечения составляют около 1.2 большого диаметра (разница между напряжениями на границе

области влияния и в нетронутом массиве не превышает 5%).

Рис. 12.6. Распределение напряжений в стенках выработки эллиптического поперечного сечения с соотношением осей а/б=2 при различных компонентах тензора напряжений в нетронутом массиве.

На напряжения вокруг выработки эллиптического сечения влияют соотношение полуосей сечения и (что особенно важно) ориентировка осей сечения в поле напряжений s₁^¥ и s₃^¥нетронутого массива.

Максимальная устойчивость выработки достигается при соблюдении равенства а/б = s₃^¥/ s₁^¥и при расположении большей оси сечения по линии действия наибольшего из напряжении в нетронутом массиве. Это необходимо иметь в виду при проектировании горных выработок, выборе их направлений и ориентации поперечного сечения.

Отмеченные закономерности можно проследить и при рассмотрении графиков напряжений вокруг сечений выработок прямоугольной и сводчатой формы (рис. 12.7). Однако в этих случаях напряжения уже не могут быть представлены в виде элементарных уравнений.

Рис.12.7. Распределение напряжений в стенках выработки прямоугольной (а) и сводчатой (б) форм поперечного сечения.

При инженерных оценках напряженного состояния пород вокруг горных выработок неучёт физической нелинейности деформирования реального массива пород или его пластических свойств дает некоторый запас по напряжениям в результатах вычислений. Вследствие этого упругие решения можно рассматривать как верхний предел возможных напряжений в реальных массивах горных пород.