Линейчатые поверхности с 2-мя направляющими

Линейчатую поверхность можно задать с помощью двух направляющих линий. Однако вместо третьей направляющей в этом случае необходимо добавить условие, которое должна выполнять прямолинейная образующая в процессе своего движения. Чаще всего в качестве такого условия применяется условие параллельности образующей некоторой плоскости. Такая плоскость называется плоскостью параллелизма, а линейчатая поверхность, заданная таким способом – линейчатой поверхностью с плоскостью параллелизма или поверхностью Каталана. Роль плоскости параллелизма может выполнять одна из плоскостей проекций, проецирующая плоскость или плоскость уровня, а также плоскость общего положения.

В зависимости от формы направляющих линий линейчатые поверхности с двумя направляющими подразделяются на:

· цилиндроиды – обе направляющие кривые;

· коноиды – одна направляющая кривая, другая прямая;

· гиперболические параболоиды (косые плоскости) – обе направляющие прямые линии.

Пусть, например, поверхность цилиндроида Φ задана направляющими a и b и плоскостью параллелизма Σ (рис.11.2). Определитель поверхности: Φ(a,b,Σ). Необходимо построить несколько положений образующей линии, т.е. построить каркас поверхности. Для этого возьмём на направляющей a несколько точек и через них проведём прямые, параллельные плоскости Σ и пересекающие направляющую b. Построенные образующие будут являться скрещивающимися прямыми. Эти скрещивающиеся прямые вместе с направляющими и определяют каркас линейчатой поверхности.

Рис.11.2

Рис.11.3

Построение каркаса образующих линейчатой поверхности начинаем с плоскости П₁, т.к. заданная плоскость параллелизма Σ является горизонтально проецирующей плоскостью. Поэтому на горизонтальной проекции направляющей a₁ выбираем пять произвольных точек и обозначаем их 1₁, 2₁, …, 5₁. Через эти точки проводим горизонтальные проекции образующих параллельно Σ₁. Точки пересечения образующих с направляющей b₁ обозначаем теми же цифрами, но с добавлением штрихов. Используя вертикальные линии связи, находим фронтальные проекции точек пересечения образующих с направляющими. Соединив найденные фронтальные проекции точек между собой, получаем искомый каркас образующих линейчатой поверхности.

Также на рис.11.3 показано построение недостающих проекций точек K и N, лежащих на линейчатой поверхности. У точки K задана горизонтальная проекция K₁, а у точки N – фронтальная проекция N₂. Чтобы построить фронтальную проекцию точки K, необходимо провести вспомогательную образующую 66’, проходящую через точку К. Сначала через заданную проекцию точки К₁ проводится горизонтальная проекция образующей 6₁6₁’, параллельно Σ₁. Далее выполняется построение фронтальной проекции этой образующей 6₂6₂’. Искомая проекция точки К₂ определяется с помощью вертикальной линии связи.

Для построения горизонтальной проекции точки N необходимо воспользоваться произвольной вспомогательной линией, лежащей на линейчатой поверхности. Это связано с тем, что положение прямолинейной образующей, проходящей через фронтальную проекцию точки N₂, неопределенно. Поэтому через точку N₂ проводится произвольная линия и отмечаются точки её пересечения с образующими поверхности (точки 7₂, 8₂, 9₂, 10₂, 11₂). После построения горизон­тальной проекции этой линии находят недостающую горизонтальную проекцию точки N₁.

На рис.11.4 показано построение каркаса поверхности гиперболического параболоида, заданного направляющими прямыми a, b и плоскостью параллелизма П₂. Сначала строятся горизонтальные проекции нескольких прямолинейных образующих, параллельно фронтальной плоскости проекций П₂, и отмечаются точки пересечения образующих с направляющими. С помощью вертикальных линий связи эти точки переносятся на фронтальные проекции направляющих. Соединив найденные точки между собой, получим фронтальные проекции образующих линейчатой поверхности.

Рис.11.4

Своё название (гиперболический параболоид) линейчатая поверхность получила из-за того, что при пересечении ее соответствующими плоскостями в сечении можно получить параболы и гиперболы (рис.11.5).

Рис.11.5