Степень свободы и расчетная модель колебательной системы

Под степенью свободы в динамике сооружений понимается направление возможного независимого перемещения отдельной массы. В отличие от понятия степени свободы в кинематическом анализе, при определении динамических степеней свободы учитываются и деформации элементов.

Число динамических степеней свободы W_дин – это наименьшее число параметров, необходимых для определения положения всех масс системы.

Если рассматривать сооружение как систему из бесконечного числа элементарных масс, получим систему с бесконечным числом динамических степеней свободы. Расчет колебаний даже простейших систем (балок, плит или оболочек) по такой континуальной модели является непростой задачей. Поэтому в динамике сооружений расчетная модель выбирается в виде системы с сосредоточенными массами.

Массы сооружения можно дискретизировать по-разному. Иногда, сосредоточив распределенную массу сооружения только в нескольких точках, можно достаточно точно рассчитать простейшие колебания.

Массу сооружения обычно сосредотачивают в характерных точках, где действуют наибольшие нагрузки. Если положение таких точек установить трудно, места и величины сосредоточенных масс могут быть найдены из условия равенства энергий всей системы и ее дискретной модели. Сосредоточенные массы, определяемые таким способом, называются приведенными массами. Большие массы, сосредоточенные на сооружении (грузы, различные машины, станки, оборудование и др.) рассматриваются как кусковые массы.

Приведенные и кусковые массы плоской системы имеют три степени свободы: они могут совершать колебания в двух независимых взаимно-перпендикулярных направлениях и вращаться относительно центра массы. Если вращение (крутильное колебание) массы не учитывать, получим точечную массу. Число степеней свободы точечной массы равно двум.

Рассмотрим ряд примеров.

1. Шарнирно-опертая балка (рис. 16.3 а) состоит из бесконечного числа элементарных масс dm, положение которых определяют бесконечное число перемещений y(x). Поэтому W_дин =∞. Если же массу балки сосредоточить в одной точке, положение точечной массы m будет определять один параметр – перемещение y_m (рис. 16.3 б). Тогда W_дин =1. Если массу балки сосредоточить в трех точках, то по-

Рис. 16.3 ложение масс m₁, m₂, m₃ будут определять три параметра y₁, y₂, y₃ (рис. 16.3 в). Поэтому у этой системы W_дин =3.

2. Водонапорная башня (рис. 16.4 а) и одноэтажная рама (рис. 16.4 в). У них основные массы расположены наверху. Поэтому их можно рассматривать как колебательные системы с одной массой и одной степенью свободы , т.е. принять W_дин =1 (рис. 16.4 б, г).

Рис. 16.3

3. Дымовую трубу с распределенной массой (рис. 16.5 а) нельзя рассматривать как динамическую систему только с одной степенью свободы, так как это приводит к неточным результатам. Ее следует рассматривать как систему с достаточно большим числом степеней свободы (рис. 16.5 б) и принять W_дин =n.

Рис. 16.5