Вынужденные колебания
Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы с циклической частотой ω
. (20.13)
В данном случае с учетом силы (20.13) уравнение движения (20.2) будет иметь вид:
. (20.14)
После деления на m и преобразования (20.3) получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:
, (20.15)
где ω – частоты вынуждающей силы.
Решение такого неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение записывается в виде:
, (20.16)
где .
Частное решение имеет вид:
, (20.17)
где А- амплитуда вынужденных колебаний.
Для определения амплитуды вынужденных колебаний А и сдвига фазы φ в уравнение (20.15) подставим значения первой и второй производной уравнения (20.17). Для начала продифференцируем:
(20.18)
Подставляя (20.18) в (20.16) и после некоторых математических преобразований, и применяя метод векторных диаграмм, получим значение амплитуды вынужденного колебания А и сдвига фазы φ:
, (20.19)
. (20.20)
Из уравнения (20.19) видно, что амплитуда вынужденных колебания зависит от амплитуды вынуждающей силы. Подставим значения А и φ из уравнений (20.19) и (20.20) в уравнение (20.17) и запишем частное решение неоднородного уравнения для вынужденных электромагнитных колебаний:
. (20.21)
График вынужденных колебаний представлен на рис.20.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (20.15) состоит из двух слагаемых. Слагаемое общего решения (20.16) играет заметную роль только в начальной стадии процесса при установлении колебаний. В дальнейшем этим слагаемым можно пренебречь т.к. оно содержит член е-dt . Т.о. вынужденные колебания описываются функцией гармонических колебаний (20.21) с частотой равной частоте ω вынуждающей силы F. Для данной колебательной системы с известной частотой и коэффициентом затухания амплитуда вынужденных колебаний (20.19) зависит от амплитуды и частоты вынуждающей силы.
Рис.20.2. |
Одним из видов вынужденных колебаний являются вибрации, которые сопровождают нас повсюду и в большинстве случаев эти вибрации являются нежелательными. В первую очередь можно назвать вибрации и колебания авто и железнодорожного транспорта, моторов и станков, нефтяных и газовых платформ, зданий и сооружений в зоне повышенной сейсмической опасности. Во всех случаях стоит задача изоляции от источника вибраций. Несмотря на все конструкционные различия суть системы вибраций одинакова. Пассивная система состоит из пружины и демпфера. Пружина призвана смягчить вибрации и толчки, а демпфер погасить возникшие в системе колебания. Активная система использует также дополнительную пару, состоящую из акселерометра и электромагнитного привода, что позволяет достигнуть исключительную высокую степень виброизоляции.
Дата добавления: 2016-01-29; просмотров: 923;