Математика с точностью до одной тысячной процента

Золотое сечение

Растения – подлинные рационалисты. И именно это их свойство объясняет, почему представители разных семейств растений неизменно «применяют» одни и те же оказавшиеся наиболее удачными архитектурные принципы. Особенно широко распространен в мире растений принцип наиболее рационального использования пространства, в первую очередь при закладке тех органов растения, которые затем развиваются в огромном количестве. При этом безразлично, идет ли речь о листьях на стебле, о чешуйках на шишках хвойных деревьев, об изобилии цветков, а затем семян в крупных корзинках подсолнечника или о пучках колючек на бородавчатых выростах у кактусов. Все они в процессе своего развития размещаются в пространстве таким образом, чтобы занять в нем минимальный объем. Подобно тому, как умелые руки винодела создают в винном погребе строгий геометрические конструкции из укладываемых на хранение бутылок с вином, так и полностью сформировавшиеся органы растений располагаются по отношению друг к другу в строго определенном порядке.

Постоянно повторяющаяся в природе и все же каждый раз по‑новому воспринимаемая картина целесообразного размещения ее элементов в пространстве не могла не обратить на себя внимание человека.

Вольно или невольно человек берет за образец окружающий его мир, когда он стремится воспитать в себе эстетические чувства, суждения и вкусы. Художественное восприятие формы человеком возникает, развивается и обогащается в процессе постоянного, непрерывного общения его со всем тем, что его окружает. Испокон века все здоровое и естественное является для нас красивым, гармоничным, все противоестественное, аномальное, нездоровое воспринимается как нечто уродливое, безобразное и диссонирующее. И если один и тот же архитектурный принцип, тысячекратно варьирующий в царстве флоры, вновь и вновь оказывается в поле зрения человека, вечного ученика окружающего его мира, то это не проходит бесследно. В 1958 году один из английских специалистов в области бихевиористики провел с группой лиц небольшой эксперимент. Из набора прямоугольников (фото 29) он предложил выбрать те, которые испытуемых сочтут самыми красивыми по форме. Большинство опрошенных (35 процентов) без промедления указали на фигуру, стороны которой соотносятся между собой в пропорции 21:34. Соседние фигуры также были оценены высоко, соответственно 20 процентов верхняя фигура, а 19 процентов – нижняя. Все остальные прямоугольники получили не более 10 процентов голосов каждый. Этот тест – не только чисто, статистический эксперимент, он отражает реально существующую в природе закономерность. Известно, что в мире растений наиболее часто наблюдаются те же самые пропорции. Впрочем, причины здесь уже не эстетического порядка.

Фото 29. Набор прямоугольников с различным соотношением сторон, использованных английским специалистом в области бихевиористики при проведении эксперимента. Более трети опрошенных сочли за самую «красивую» фигуру с пропорцией 21:34, которая известна как золотое сечение.

Математикам и людям искусства соотношение 21:34, а точнее 0,618034... :1 (математически это число имеет вид:

, хорошо известно как золотое сечение). Художники, начиная с эпохи Возрождения, использовали в своих картинах золотое сечение, которое они считали идеальным выражением пропорциональности и которое они могли повсюду наблюдать в природе. Но, по‑видимому, в изобразительном искусстве и прежде подсознательно руководствовались этим правилом. При этом нередко брались приближенные значения, например 3:5 (=0,600) или 5:8 (=0,625). В природе в большинстве случаев наблюдается намного более строгое соответствие. Так, в корзинках подсолнечника отклонение от золотого сечения составляет всего лишь четыре тысячных доли процента. [12]

Как проявляется золотое сечение в природе, можно видеть на фото 30 и 31. На первом из них изображен шаровидный кактус Mammillaria lanata , снятый сверху. На снимке хорошо различимо спиралевидное расположение скоплений колючек – так называемых ареол. Начало спиралей приходится на верхушечную часть кактуса. Новые ареолы зарождаются именно здесь. По мере роста и развития они строго по спирали оттесняются к краям. Если внимательно вглядеться в фотографии, то можно увидеть, что спирали идут в двух направлениях: по часовой стрелке (таких спиралей 34) и против часовой стрелки (их ровно 21). Опять 21:34. Это соотношение сторон того прямоугольника, который участники вышеописанного эксперимента назвала самым эстетичным, самым красивым по форме. Золотая пропорция (0,618034... :1) выдерживается здесь с точностью до 0,0065 процента (0,617647:1).

Фото 30. Ареолы (скопления колючек) кактуса Mammillaria lanata располагаются строго по спиралям.

Фото 31а. Тот же кактус, снятый сбоку. На этом небольшом участке его поверхности хорошо видны прямые линии, но которым располагаются ареолы. На предыдущей фотографии они имели вид спиралей.

Фото 31б. Растровая сетка в точности воспроизводит прямые линии, изображенные на фото 31а. «Сконструирована» в соответствии с золотым сечением.

Если смотреть на тот же кактус со стороны (фото 31а), то обнаруживается, что спирали на сравнительно небольшом участке поверхности кактуса выглядят как прямые линии, идущие по диагонали сверху вниз и слева направо или снизу вверх и справа налево. На фото 31б отображена построенная мною растровая сетка, в точности передающая диагональное расположение прямых оригинала. Хорошо видно, что прямые, идущие в одном направлении, имеют меньший наклон, чем прямые, идущие в противоположном направлении. При атом линии с различным наклоном располагаются на сетке так, что если вдоль горизонтальной прямой, проведенной от точки 0/0, начать считать диагонали, то в целом окажется что на 0,618... диагональ, наклоненную вправо, приходится одна диагональ с левым наклоном. Читатель вправе задать вопрос: а так ли это на самом деле? Ведь не может быть дробных прямых, которые могли бы быть сосчитаны. Но на рисунке отчетливо видно, что вначале примерно на две диагонали, имеющие наклон вправо, приходятся три, наклоненные влево (2:3=0,666), затем приблизительно на три с наклоном вправо – пять, имеющих наклон влево (5:8=0,625), и т. д. При этом точка пересечения диагоналей будет лежать тем ближе к горизонтальной прямой, чем точнее оказывается приближение к числу 0,618...

Если можно было бы дать аналогичную панорамную развертку растровой сетки, которая охватила бы целиком все растение, то обнаружилось бы, что на 21 диагональ с правым наклоном приходится 34 диагонали, у которых наклон в левую сторону, и что конечная точка нашей развертки точно совпала бы с ее началом (точка 0/0). Созданная таким образом сеть линий оказывается в эстетическом отношении столь же оптимальной, как и прямоугольник, построенный по принципу золотого сечения. Комплекс линий, имеющих вполне определенный и в то же время различный наклон, придает полю изображения эмоциональное внутреннее напряжение и одновременно строгую уравновешенность. Эти принципы композиционного построения художественного произведения присущи многим полотнам старых мастеров живописи.

Мы наложили растровую сетку на репродукцию картины Тициана «Вакх и Ариадна» (фото 32). Все основные линии перспективы совпадают с растром. Даже множество второстепенных для сюжета деталей и форм художник поместил в то поле внутреннего напряжения, на котором и построена вся картина. Обратите внимание на виднеющийся на горизонте небольшой холм в правой стороне полотна рядом с церковной колокольней, на ветви большого дерева, на очертание кучевого облака, лежащего под созвездием, на задние лапы и линию живота крупной дикой кошки, на направление оси опрокинутой вазы, на воздетую правую руку сатира в венке из виноградных лоз в правом углу холста и, наконец, на поднятую ногу лошади.

Фото 32. Растровая сетка наложена на картину Тициана «Вакх и Ариадна». Принципы золотого сечения лежат в основе многих произведений художников прошлого.

Тому, кто посчитает это делом случая или полагает, что картина Тициана является исключением, мы рекомендуем перенести растровую сетку на прозрачную бумагу и затем наложить ее на репродукции некоторых художественных полотен. Он будет изумлен тем, насколько часто композиции картин станут повторять динамику золотого сечения вплоть до ее зеркального отражения.

Такие произведения, как «Ливийская сивилла» Микеланджело, «Поклонение пастухов» Тинторетто, «Мадонна с длинной шеей» Пармиджанино, «Азия» Тьеполо (зеркальное отражение!), «Вакханалия» Пуссена, «Драка крестьян при игре в карты» Брауэра или «Праздник любви» Ватто (зеркальное отражение!), – это немногие примеры, которые лишь подтверждают общую закономерность.

Во все времена художники, осознанно или неосознанно, учились постигать законы эстетического восприятия, наблюдая природу. Живописцев всегда пленяла простая и одновременно рациональная геометрия форм биологического роста.