Краткий анализ основ геометрий 8 страница

Но это цветочки. Ягодки, похоже, надо искать в тех же школьных учебниках. Вернемся к уже упомянутому определению пространства из учебника геометрии А. Колмогорова - «множество всех точек называют пространством» и зададимся вопросами: А какое пространство образует введенное аксиоматически понятие множество точек? Как множество не связанных между собой точек (одно качество) может образовать новую систему - пространство (другое качество)? И какое физическое свойство сохраняет это пространство? Опираясь на вышеуказанное определение, нам на эти вопросы ответить, не удалось. Интересно, а смогут ли ответить на них авторы учебника? Трудно сказать, но вряд ли, а все потому, что абстрагирование к пространству проводилось не от предмета, а от точки, не являющейся предметом.

Существенное влияние на результаты абстрагирования оказывает и понимание самих свойств, отнесение их к реальному или идеальному объекту. Обычно разделение на геометрические и физические свойства происходит на интуитивном уровне. Логически обоснованное разделение их в математической литературе нам не встречалось. Представление же о том, что любая геометрическая фигура должна обладать, и обладает даже тогда, когда это не определяется никакими геометрическими символами, хотя бы одним физическим свойством, еще не устоялось. А то, что природные и формальные геометрические свойства качественно различаются между собой, похоже, не отображено ни в математике, ни в физике. И по этой причине они на равных основаниях фигурируют в естественных науках. Но разве можно уравнять, например, свойства камня, лежащего на поверхности и точки, отображающей его на листе бумаги.

И потому, для корректного определения тел и абстракций от них, необходимо различать свойства телесные и геометрические и понимать, что появление в геометрии, в дополнение к изображенным статическим фигурам, только одного качественного физического свойства, например, времени, сразу же (как это будет показано далее) превращает статическую геометрию в динамический раздел механики.

Основные различия между физическими свойствами и свойствами статических геометрий заключаются в том, что все физические свойства характеризуют определенные особенности природных тел, их качественную сторону, которая в физике закрепляется размерностью. Геометрические (формальные) свойства не являются качественными и потому не имеют «самостоятельной» размерности оставаясь формальными представлениями фигур. И как бескачественные (безразмерностные) элементы последних так же формально напоминают какое-то идеализированное отображение бескачественных тел. Они могут сопровождаться одним искусственным качеством - метричностью, которая как размерное свойство обусловливает им значимость параметра и численную определенность, но тоже, только искусственной величины - метра. К тому же свойством метричности может обладать только один геометрический элемент - длина. Метричность это отображение пропорционирования протяженности, но не протяженность. Сама по себе метричность не является качественной характеристикой и образуется как эталон длины, «отталкиваясь» либо от естественного измерителя (парижский меридиан), либо от измерителя случайного (длина башмака короля, например, или царский локоть, но не российский). И по этой причине геометрическая единица измерения длины не может являться отображением качества и во всех процессах измерения не имеет размерности. Длина же, как и другие геометрические фигуры, образованные аксиоматически, считается в математике понятием неопределяемым.

Здесь следует остановиться несколько подробнее на неопределяемых понятиях. Впервые вопрос о том, что среди понятий, которые человек давал предметам и явлениям реального мира, должны находиться и такие, которые всегда остаются неопределяемыми, как уже это упоминалось, был поставлен Аристотелем. И неопределяемые понятия являются теми исходными пунктами - понятиями, опираясь на которые и может развиваться процесс познания. Греки полагали, что такими исходными понятиями должны быть математические понятия: число, точка, прямая, плоскость и т.д. Именно они не являются природной данностью, требуют определения, находят применение за пределами своей данности и становятся основой математики. И эти определения даются аксиомами.

Но Евклид, зная учение Аристотеля и его логику, «требующую» описания определения через известные понятия, где в качестве исходных понятий приходится брать неопределяемые, тем не менее, дал определение всем геометрическим понятиям. Можно полагать, что на интуитивном уровне он чувствовал, что неопределяемые понятия не имеют отношения к математике. Очень важно и то обстоятельство, что на протяжении двух тысячелетий после Аристотеля никто из математиков, следующих за Евклидом, не почувствовал необходимости в неопределяемых понятиях в математике и, в частности, в геометрии. Только в ХIХ веке математики, похоже, спохватились опираясь на того же Аристотеля, предположили необходимость обоснования в науке неопределяемых понятий и, заблуждаясь, «потянули одеяло на себя», посчитали, что неопределяемые понятия лежат в основе математики.

Мы полагаем, что это предположение математиков, пришедшее от греков, было ошибочным потому, что в древности произошла незаметная подмена истинно неопределяемых понятий на математические понятия, определяемые абстрагированием от тел и их качеств. Это и естественно, ведь древние греки не имели представления о том, что все качества тел являются размерностными величинами и потому свойства делятся по своему качеству на размерностные и безразмерностные. Похоже, что все математические понятия получаются как однозначное следствие абстрагирования от понятий физических, от понятий принадлежащих природным объектам. Если это так, то под вопросом оказывается вообще необходимость введение в математике аксиоматических методов.

Однако не все физические понятия можно однозначно определить в применении к природным явлениям или телам. И полностью неопределяемыми из них являются качественные понятия, те самые понятия, которые и составляют размерность физических величин. (Нельзя исключить, что именно их интуитивно чувствовал Аристотель, обосновывая необходимость существования неопределяемых понятий.) Это, например, протяженность, объем, масса, энергия и т.д. Каждое из этих понятий может определяться только через другие аналогичные понятия-свойства, также не имеющие независимого определения. И у этой цепочки нет такого логического конца, который бы выводил нас наружу, позволяя получить внешнее определение хотя бы одного свойства.

Не случайно, в физике со времен Аристотеля и до сих пор не имеет точного определения ни одно качественное свойство. И среди них даже такие общеупотребимые и вроде бы не единожды определяемые понятия, как масса, энергия, время, сила и т.д., дискуссии о физическом значении которых и попытки их определения не прекращаются по нескольку веков. Поэтому природные свойства - качества и являются неопределяемыми понятиями. Мы просто даем им название и находим их размерность, а уже от них и тел переходим к свойствам как физическим, так и математическим, которые и становятся свойствами формальными, вполне определяемыми свойствами. И потому,сами по себе формальные математические свойства не могут быть неопределяемыми. Они всегда определяются исходя из качественных свойств тел.Они - формальные отображения качеств тел

Формальные математические, как и геометрические свойства и числа вроде бы не «претендуют» на «обладание» качеством до тех пор, пока не возникает вопрос «Сколько?». Тот самый вопрос, для ответа, на который, и существует математика. Этот вопрос сразу же требует дополнения; «Сколько – чего?» А за этим «чего» стоит тот не менее формальный измеритель-эталон, который и влечет за собою появление количества какого-то качества, например, размерной протяженности длиною в королевский башмак. Именно размерность башмака и привносит, в данном случае, безразмерностному, т.е. не природному, формальному математическому свойству«длина» качество протяженности вне зависимости от того, согласен ли с этим математик или он категорически против качественной составляющей. Без этой явной или неявной составляющей ответа на вопрос «Сколько?» добиться невозможно. (Особое положение занимает градуировка круга, которая, хотя и не имеет общепризнанной размерности, все же при определенных взаимозависимостях выступает как размерностная величина. [6]) Сами же по себе (без вопроса «Сколько?»), геометрические свойства являются формальными структурными отображениями очертаний реальных физических объектов или их конфигураций, а последние, в конечном случае, опять же сводятся к протяженности и метричности.

И хотя метричность формально есть геометрический измеритель длины, а протяженность не характеризует длину расстояния, хотя и употребляется в понимании длины, она, (метричность), используется при измерении расстояния как качественное отображение физического свойства протяженности. И вот в этом случае возникает вопрос, а одно ли свойство многофакторной протяженности проявляет себя в длине?

Многофакторность протяженности включает в неявной форме следующие качественные свойства:

1. протяженность по высоте,

2. протяженность по ширине, формальные

3. протяженность по длине, геометрические

4. протяженность, аналог плоскости, свойства

5. протяженность, аналог объема,

1. протяженность как отображение плотности, качественные

2. протяженность как отображение телесности свойства.

Каждое из этих свойств, одно из качественных характеристик тела, но часть из них 1¸5 могут рассматриваться и как бескачественные (не имеющие физической размерности) геометрические свойства. При рассмотрении природы протяженности следует особо отметить плотностную и телесную характеристику двойственности пространства 1¸2. Однако сама протяженность воспринимается субъектом не столько как качество телесности, сколько как геометрическое свойство длины. И вот эта двойственность восприятия протяженности, интуитивно ощущаемая каждым человеком, и повергала математиков к стремлению освободиться от использования протяженности как двойственности в определениях геометрических свойств.

Особому «преследованию» подвергалось неявное понимание протяженности как телесности и совокупность объем-плотность. Эта совокупность, при использовании в геометрии в качестве элемента пространства как бы отображала телесность пространства. Но телесность пространства, исходя из логики бытия, должна препятствовать перемещению тел. А эмпирика многовековых наблюдений показывала, что никакого препятствия перемещению в открытом пространстве, например, в космосе - не наблюдается. Да и логика бытия требовала, чтобы пространство не препятствовало движению тел. И этому бытийному требованию удовлетворяло только односвойственное понятие пустого, невещественного пространства, не имеющего никаких качественных свойств, если не считать свойство пустоты. Именно это обстоятельство, наряду с многофакторностью и привело к явному удалению понятия протяженность из геометрии. Но удалось ли удалить его полностью?

Наиболее воспринимаемым свойством протяженности есть отображение им свойства геометрической длины. Длина то свойство, которое отсутствует в природе как бескачественная длительность линии, но наличествует при описании природы как качественное отображение протяженности. И в теории размерности качество протяженности отображаемая геометрическим свойством длины, например, R (радиус), имея единичную размерность (метр), тем не менее, есть произведение двух качеств-размерностей - скорости v на время Т_пр, п - безразмерностный коэффициент равный 1:

R = nv Т_пр. (2.3)

Это настолько удивительное уравнение (2.3), что в публикациях тщательно избегаются упоминания о нем и его невозможно встретить практически ни в одном учебнике, ни в одном научном труде. Можно сказать, что в физике это простое уравнение отсутствует, хотя аналогичное уравнению (2.3)

R = v/w, (2.4)

имеется почти во всех учебниках по физике. В этом уравнении:

w = 1/ Т_пр. (2.5)

Заменив в (2.4) w ее значением из (2.5), получаем необъяснимое уравнение (2.3). Однако данная подстановка находится под неявным запретом. Запрет же обусловливается отсутствием понимания физической сути расстояния, а, следовательно, и пространства. И потому пространство в физике неявно строится с опорой и на геометрическую длину, и, неопределенно, на протяженность. Переходя к статической геометрии и строя на основе формального свойства длины геометрическое пространство математики, отказавшись от свойства протяженности, сохранили в качестве единицы измерения ту же самую величину метр, в котором в неявном виде заложены не только протяженность с ее телесностью и объемностью, но и движение и время. Таким образом, в геометрии в неявном виде остались те физические качества, которые формально были удалены из нее постулативно. И наиболее заметное из них - протяженность. И пока в геометрии существует метричность, там наличествует и протяженность, а вместе с ней и телесность (т.е. отсутствие пустоты). Даже в тех проективных геометриях, в которых как бы отсутствует качественное свойство метричности - протяженность, а с ней и телесность, поскольку эти геометрии основываются на пропорционировании неметрических отрезков, от неявного присутствия протяженности избавиться не удается, так как они, эти геометрии, базируются на пропорционировании длин, а, следовательно, на неявном пропорционировании протяженностей.

Следует обратить внимание и на то, что в геометрии Римана под протяженностью понимается именно длина и ее используют как элемент образования пространства (исходя, по-видимому, из того, что куб длины становится объемом). Протяженности «образуют» трехмерное геометрическое пространство «как частный случай трижды протяженной величины». Эти «трижды протяженные величины» мыслятся как пространственная координатная система, причем каждая из бесконечных координатных осей как бы является самостоятельной протяженностью, не связанной с другими осями - протяженностями. И только единая для всех осей метричность обеспечивает их взаимосвязь. И потому предполагается, что именно координатно-плоскостная система отображает объем мыслимого пустого физического пространства, и на ее основе можно строить геометрические фигуры, символизирующие не только идеальные объемы, но и объемы реального пространства.

Если в одном направлении одна протяженность, в другом направлении другая протяженность в третьем - третья и т.д. сами друг с другом не связаны, и качественно не отличаются друг от друга, оставаясь независимыми (по Риману), то они и не образуют пространства и не имеют к нему вообще никакого отношения. Они только определяют некоторое направление для субъекта, изучающего пространство в том объеме, в котором находится субъект или которое изучается им. Связь между плотностными качествами объема осуществляется не направлениями протяженности, не координатными осями и даже не измерительными инструментами, а степенной последовательностью пространственных образований. Пространство, а, следовательно, и тело, образуется многостепенной связностью телесных качеств. Только степень протяженности (определенная некоторой качественной метрической формой и составляющая размерность) изменяет качество и плотностной вид пространства.

Сама по себе протяженность в любом направлении не отображает пространства. Она просто свидетельствует о его постоянном плотностном существовании. Но и само пространство не есть протяженность, хотя в сознании и отображается последней. Пространство это телесность, это внешние габариты тела определенной, количественно бесчисленной совокупности свойств (телесность даже устремленная в бесконечность по нашему представлению, поскольку бесконечность как качество в природе отсутствует). Она - форма отображения очень длинной протяженности, включающей в себя суммарную протяженность многих тел. С возрастанием количественной протяженности в любом направлении следует ожидать изменение качественной совокупности свойств, а вместе с ними и эквипотенциальных границ существования одной пространственной плотности тела и перехода к другой плотности, к другому пространству тела иного качества. И этот переход происходит скачком, полностью меняя свойства вновь образовавшего пространства, создавая тем самым эффект квантованности пространства. Впрочем, этот эффект «присутствует» только в реальном пространстве и не имеет отношения к статической геометрии, в которой наличие плотностного пространства может подразумеваться только за размерностью протяженности и постулируется однородность и изотропность телесности до тех пор, пока геометрия остается статичной.

Однако протяженность как физическое качество, отображаемая метричностью, не есть длина в трех направлениях. Она - самостоятельное (в понимании – отличное от остальных), единственное свойство природы так же как единственными являются все природные свойства. Протяженность в различном направлении отображается различными качествами. И поэтому протяженность как отображение площади в природе есть не площадь, а свойство-качество имеющее свою размерность м², и трехмерный объем – м³ – свойство, и последующие; четырехмерный объем − м⁴, пятимерный м⁵ … n-мерный объем − мⁿ протяженности, каждый остается единственным и телесным свойством пространства. Естественно, что такое понимание пространственности и объемности отличается от принятых на сегодня пониманий бестелесного пространства и не включает в себя координатную составляющую, так же, как и природа не имеет координат и выделенных направлений, однако это не значит, что в природе отсутствуют выделенные объемы. Можно полагать, что каждая точка пространства принадлежит выделенному объему, является целым, ибо обладает своей количественной величиной каждого из бесчисленных качеств.

Теперь, имея представления о том, какие качественные свойства отображают окружающее нас реальное пространство, попробуем абстрагироваться от него к геометрическому пространству, но прежде отметим одно очень важное обстоятельство, которое оказывает большое влияние на понимание самого реального внешнего пространства. Оно заключается в том, что и реальное пространство (природа), существование которого не вызовет сомнения, само ощущается нашими органами чувств не как объективная реальность во всей совокупности принадлежащих ей качественных свойств, а как самая настоящая абстракция. Телесная субстанция для себя (то есть не изучаемая субъектом и находящаяся вне его) абстракцией не является и в каждом своем теле обладает всей совокупностью бесчисленных природных свойств. Но человек, как живой организм, имеет ограниченное число органов чувств (имеется всего шесть органов чувств, включая и такое неопределенное, как интуиция), воспринимающих часть свойств внешних, телесных объектов. И чувства доносят до его сознания совокупность ограниченного количества свойств и качеств вещественного мира, воспринимаемых ощущениями. И потому человек своими ощущениями воспринимает абстрактный вещественный мир.

Конечно человек как физическое тело обладает тем же бесчисленным набором свойств, что и природа, и этими свойствами в той или иной степени взаимодействует со свойствами окружающих тел и не исключено, что в какой-то мере воспринимает от них воздействия. И возможно, что-то и ощущает в виде интуитивных отображений, но эти взаимодействия как осмысленные отображения в своей большей части не ощущаются. Невоспринимаемые свойства не фиксируются в мышлении, явно не анализируются и, следовательно, отсекаются нашими чувствами, превращая тем самым в ощущениях человека окружающую реальность в некоторую абстракцию с неопределенным количеством отсекаемых свойств. Физические, химические и другие эксперименты, выявляют в природе многие из тех свойств, которые не ощущаются и не отображаются человеческими органами. Они-то, вместе с ощущаемыми свойствами, становятся той эмпирической основой, которую называют внешней реальностью. А выявленные качественные свойства, в существовании которых уже нет никаких сомнений, – становятся носителями теперь уже физической, реальности.

Вот от этой, уже однажды неявно абстрагированной нашими ощущениями динамической, физической реальности и следует перейти, путем дальнейшего абстрагирования, к геометрическому пространству. К такому пространству, которое обладает только одним природным качеством, отображающим всю телесность внешней реальности. И таким качеством является протяженность. Абстрагируясь от пространства тела к пространству геометрической протяженности, мы должны мысленно отстранить (убрать из рассмотрения) от тела как целого все известные нам физические свойства, полагая к тому же, что неизвестные свойства не отображаются на геометрическом пространстве.

Мысленно убирая отдельные свойства или «превращая» некоторые из них в идеальные, мы получаем геометрическую протяженность с одной стороны как отображение формального (бескачественного) геометрического свойства длины в трех направлениях, за которой в неявной форме просматривается качественная протяженность, а с другой в той же протяженности безразмерная телесность как истинный идеал физического пространства. То есть в геометрическом пространстве, как отображении физического пространства, неявно присутствует одно размерностное качество - протяженность и безразмерностной свойство - телесность. И потому, безразмерностной геометрическое пространство включает в себя все образуемые в различных геометриях фигуры и является единственным геометрическим пространством, поскольку только одно геометрическое пространство можно получить, абстрагируясь от реального телесного пространства. Это обстоятельство подсказывает, что в идеальном телесном геометрическом пространстве может образовываться только одна геометрия – динамическая (о которой далее), а остальные, включая евклидову, неевклидовы и проективные геометрии, есть прямое следствие независимого аксиоматического индуктивного абстрагирования и становятся, при «замораживании» тех или иных следов движения тел-точек, «производными» от динамической геометрии. И хотя все они кажутся отличными друг от друга, взаимно противоречивыми и даже противоречащими евклидовой геометрии, тем не менее, они являются различными группами преобразований одной и той же статической евклидовой геометрии.

Вернемся еще раз к отдельному, отметив, что отдельное обладает всем тем комплексом свойств, которым обладает целое (тело). И, как об этом уже говорилось, из всего комплекса свойств в результате абстрагирования в геометрии остается только одно свойство - «протяженность». Оно-то и приобретает качество формального отдельного. Это отдельное имеет размерность в динамической геометрии, не имеет ее в статических геометриях, и оба качества могут присутствовать в полудинамических геометриях. Во всех трех случаях протяженность сохраняет за собой два основных качества:

- протяженность как отображение самого пространства - расстояние между фигурами и длина фигур;

- протяженность как отображение вещественности (очертания фигур и их раскраска).

Таким образом, в различных геометриях протяженность выступает как формальное отдельное (геометрическое целое), как элемент, образующий геометрическое пространство и обусловливающий геометриям возможность идеального фигурного отображения структуры и количественных отношений предметов окружающего мира.

Теперь рассмотрим основную аксиому статической геометрии - аксиому о параллельных в формулировке Евклида.

2.4. Статика и динамика пятой

аксиомы Евклида

Созданные в III веке до нашей эры сочинения Евклида под названием «Начала» до ХIХ-го века составляли основу всех геометрических знаний. В них геометрия излагалась как небольшое количество априорных аксиом, из которых логическим путем выводятся все теоремы геометрии. Аксиомы в количестве девяти составляют ее основу, а пять первых, определяют метод аксиоматизации и сформулированы Евклидом в следующем виде [22]:

«Чтобы от каждой точке к каждой точке можно провести прямую линию.

И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать до прямой.

И чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.

И чтобы прямые углы были друг другу равны.

И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние, односторонние углы, составляющие меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых.»

(Дословный перевод пятого постулата Евклида; «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых [3].)

Из определения сразу следует, что пятая аксиома в формулировке Евклида по содержанию статична, но динамику в нее вносит возможность их неограниченного продолжения до пересечения. Она резко отличается от первых четырех. Можно было полагать, что это не аксиома, а теорема. Однако многочисленные попытки представить ее теоремой оказались безуспешными. Достаточно четкое логическое обоснование теоремы отыскать не удавалось. К тому же это логическое обоснование и не очень-то требовалось в рамках евклидовой геометрии. Не требовалось потому, что в основу ее была положена многовековая эмпирика многочисленных поколений древних геометров и единая метричность всех геометрических фигур. И в геометрических доказательствах главенствующая роль принадлежала очертанию и измерению. Слабость логического обоснования отсутствия пересечения параллельных на значительных расстояниях (на бесконечности), компенсировалось просто и доказательно параллельным переносом на бесконечность мерного отрезка, равного расстоянию между прямыми. Наглядным образом параллельного переноса могли служить следы колес прямолинейно движущейся колесницы. Иное было непредставимо для греков. Отметим, что образующий луч «соединяющий» точки двух параллельных прямых, функцию которого выполняет ось колесницы, имеет очень большое значение для теории. Его отсутствие в евклидовой геометрии способствовало, по-видимому, появлению противоречивых «неевклидовых» геометрий.

Да и сейчас мы не сможем логически доказать древним грекам, что колеса тепловоза, движущегося миллионы-миллиарды лет по рельсам бесконечной протяженности, где-то там на бесконечности поменяются местами и правое колесо побежит по левому рельсу, а левое - по правому. Однако именно такое понимание и следует из логики геометрических представлений пересечения параллельных на бесконечности. То есть там, где мы не наблюдаем условий движения и не представляем, в каком пространстве оно происходит. Но можно ли полагать, что данное представление истинно?

Проанализируем граничные условия существования первых пяти аксиом исходя из того, что геометрия Евклида отображает актуальную бесконечность, по своей природе статична, и существует как данность. Статичность геометрии предполагает, что в определении первичных элементов и аксиом некорректно использовать механическое движение точек, линий или фигур в пространстве, это понимал еще Евклид. И, потому, недопустимо использование движения этих же элементов на бесконечности.

Статичность актуальной геометрии предполагает также, что все ее элементы как бы уже имеются в скрытом виде (как бы виртуальном) в любом месте пространства и их не нужно проводить. При построении или рассмотрении геометрических фигур и их взаимосвязей - эти фигуры как бы обнаруживаются, проявляются или воспроизводятся в количестве и формах необходимых для рассмотрения и снова исчезают из поля зрения после окончания рассмотрения. Все линии проявляются (воспроизводятся), углы обнаруживаются, а точки «движутся» по уже наличествующим невидимым контурам, воспроизводя их, и никакого реального перемещения элементов фигур на плоскости или в пространстве не происходит, так же, как невозможно и механическое перемещение тел в евклидовом пространстве. Поэтому всякое движение в геометрии Евклида безотносительно к сущностям реального мира и происходит вне времени, только мысленно, являясь формальным математическим преобразованием.

Однако формулировки первой, второй и пятой аксиом нарушают это условие. И если в первых двух аксиомах перемещение мыслится как реальное движение в ограниченном пространстве, не выходящее на бесконечность, а потому находящееся в рамках математических преобразований и не приводящее к двойственности (к невозможности движения в статическом пространстве), то движение на бесконечность в пятой аксиоме автоматически вызывает возникновение внутреннего противоречия между статическим характером геометрии Евклида и динамической структурой потенциального бесконечного пространства, в котором только и возможно механическое движение.

Здесь следует еще раз вернуться к потенциальной бесконечности. Как уже говорилось, ее основные свойства - неопределенность и незавершенность на бесконечности. Свойства неопределенность и незавершенность не находят отображения в количественных величинах и потому не могут быть использованы в математике. Будучи свойствами динамическими, связанными с неопределенными формами и количествами движения, они по природе своей неопределенности не могут «входить» в систему математических преобразований, и, следовательно, не могут отображать движение в математике. Математические преобразования недействительны на бесконечности, поскольку производятся только с конечными элементами геометрии. Таким образом, и в этом случае мы сталкиваемся с дихотомией конечного и бесконечного, покоя и движения. И если собственная формулировка аксиомы Евклидом затушевывает эту дихотомию, то сложившаяся в последующем ее дефиниция достаточно определенно выражает ее.