Лобачевского и Римана 2 страница

И чтобы точка “падала” по ветви эллипса, скорость ее падения должна изменяться и в горизонтальном и в вертикальном направлении и изменяться нелинейно. То есть так же, как меняется, например, траектория комет, движущихся в направлении Солнца. Это свидетельствует о том, что пространство плоскости в котором “движется” точка не пусто, имеет неявную переменную напряженность, изменяющуюся по высоте так же, как изменяется напряженность гравитационного поля Солнца в Солнечной системе.

Эта изменяющаяся напряженность обусловливает искривление траектории падающей точке P¢. А виртуальная точка О в этом случае символизирует собой то место, где должен находиться один из центров притяжения эллипса. Но его там нет. Роль центра в данном движении фиктивно выполняет прямая АВ. Фиктивно потому, что прямая АВ, наличествуя в фигуре на бумаге и в головах исследователей, но в уравнениях и в пространстве точки P¢ отсутствует. Она, точка P¢, «чувствует» (память формы) только точку D¢ и как бы взаимодействует с ней по лучу Л¢ (в общем символизирующем центральное притяжение тел). И граничные условия формулы, соединяющей концы луча, обусловливают обеим точкам при начале движения точки P¢ совместное движение в направлении точки Р, где горизонтальная скорость движения по эллиптической кривой будет максимальной. И прямая АВ, проявляется в этом случае в виде следа от движения точки D. Точка Р - место перехода от ветви эллиптической к ветви гиперболической (т.е. меняется качество движения) и в ней напряженность нейтральной зоны между точками Р и D сравнивается, а после прохождения ее притяжение заменяется отталкиванием, характер движения меняется. Точку Р приходится «силой» подгонять к D, а вместе с изменением характера движения меняется и траектория с эллиптической на гиперболическую. При отсутствии нейтральной точки Р уравнение просто не будет давать гиперболического решения.

“Принудительное” движение по гиперболической ветви Рр (рис. 28) будет сопровождаться замедлением как горизонтальной, так и вертикальной скорости, но никогда не приведет к “соединению” точек P и D потому, что “ранг” напряженности этих точек-тел сравнялся в точке Р и только граничные условия уравнения обусловливают их все замедляющееся сближение. Возрастающая плотность нейтральной зоны между ними может привести к тому, что в какой-то момент (этот момент в настоящее время в уравнении движения точек, похоже, отсутствует за ненадобностью), который может быть обозначен, например, буквой Г, сжатие сменится отталкиванием и ситуация начнет зеркально повторяться. В точке Р₁ появится восходящая в направлении А ветвь гиперболы, а далее эллиптическая полуветвь аналогичная полуветви qРq¢ рис. 27 (только таким образом могут одновременно проявлять себя кривые р и q, и, следовательно, представление об их пересечение в одной точке возможно лишь в статике, т.е. без движения). Все это в том случае, если мы требуем бесконечного движения Р во времени вдоль прямой АВ. Естественно также, что при отсутствии точки Г точки Р и D будут бесконечно сближаться, но никогда не сольются (не пересекутся). То есть оказываются параллельными.

Таким образом, «параллельные» Лобачевского есть следы траектории движения двух взаимодействующих в различных условиях и направлениях тел, «состыкованные» в точке Р (рис. 27) в области равенства их напряженностей и образовавшие эквидистанту. Если же Р – ближайшая к прямой АВ точка следа траектории и после нее траектория начинает удаляться от прямой АВ, образуя «седловину», то данная кривая не имеет разрыва в точке Р. И полуэллипсы Р¢¢Р и РР¢ образуют основную фигуру статической геометрии Лобачевского.

Ситуация с движением “прямых”− следов движущихся точек-тел p и q через Р в эллиптической римановой геометрии практически аналогична предыдущей и отличается только тем, что точка Р является наиболее удаленной от АВ точкой образующихся следов, а “прямые” по обе стороны от нее по уравнению не имеют возможности “подниматься” над точкой Р и потому расходятся в разные стороны с медленным приближением к АВ, сразу демонстрируя таким образом, что точка Р является точкой разрыва, поскольку для получения двух полудуг приходится двигаться в противоположных направлениях. Т.е. совершать качественно различные движения. Коротко опишем получаемые фигуры.

Предположим, что точка Р находится на некотором расстоянии от точки Д. Ранг обоих точек одинаков и они движутся в одном направлении но граничные условия уравнения “заставляют” их сближаться таким образом, что одна из них Д перемещается вдоль прямой АВ, а другая приближается к ней (рис. 29). Разница между рис. 27 и рис. 29в том, что граничные условия движения точки р¢:

в первом случае (на рис. 27) обусловливают точке прохождение одной части траектории р¢Р как бы повторяя естественное падение тела на другое (точнее вдоль другого, фиктивно отображенного прямой АВ) с возрастающей горизонтальной скоростью из бесконечности к точке Р, а второй части Рр по искусственной траектории, когда граничные условия “заставляют” точку (тело) Р двигаться приближаясь к точке (телу) Д по гиперболической траектории.

во втором случае(рис. 29) точка Р является наиболее удаленной от точки Д и принудительное движение в любом направлении приближает ее к точке Д.

Поэтому длина линии АВ в обоих направления неопределенно конечна. Однако для точки Р она с обеих сторон как бы устремлена в бесконечность, поскольку точки Д и Р в своем движении никогда не пересекутся и не сольются. Это естественное следствие одноранговости тел-точек не было замечено в римановой геометрии и потому предполагается, что обе точки пересекаются, замыкая прямую АВ с обеих сторон, и образуя, тем самым, полуэллипс с большой осью. Однако это заблуждение. Ни слияние точек Р и Д, ни их пересечения не происходит. И образуемый двумя разорванными дугами полуэллипс так же параллелен прямой АВ, как параллельны ему эквидистанта Лобачевского и вторая прямая Евклида, поскольку о параллельности можно судить только по одному признаку - пересекаются ли две прямые между собой или нет (слияние их друг с другом в одну, то же пересечение).

Поэтому в движении Р ® А и в движении Р ® В конфигурация следа точки будет оставаться эллиптической, а коэффициент эллиптичности определяться скоростью принудительного движения. Но поскольку точка Р и точка Д никогда не сольются то будет проявляться только контур полуэллипса не доходящий до прямой АВ. Иначе говоря полуконтур с разрывами по главной оси и в точке Р, к тому же внутри его остается, как неотъемлемый элемент фигуры, прямая-ось АВ, и как уже говорилось, выдернуть эту ось математическими методами невозможно. По этой причине ни полный круг, ни полный эллипс вращением вокруг оси АВ траектории полуэллипса, в римановой геометрии построить невозможно, не говоря уже о том, чтобы построить сферу или эллипсоид. А, следовательно, для названия римановой геометрии геометрией эллиптической было не больше оснований, чем для названия геометрии Лобачевского геометрией гиперболической.

Теперь построим на одном рисунке фигуру, вмещающую все три параллельных, проходящих через одну точку Р (рис. 30) и отметим, что все они в такой конфигурации не сводимы друг с другом, но “гиперболический” след, образованный траекториями q¢Р и Рр справа и слева над точкой Р, точками-телами в относительно свободном падении, по форме траектории весьма напоминает фигуру риманово эллипса, находящегося ниже Р и “опрокинутого” относительно евклидовой параллельной. И на интуитивном уровне становится понятно, что это не просто родственные фигуры, а родственные по взаимодействию в механическом движении с чем-то таким, что определяется структурой плотностного пространства. Именно форма взаимодействия тел в движении и само движение роднит эти фигуры. (Родство их с параллельной Евклида А`В` не просматривается даже на интуитивном уровне. Параллельная А`В` самодостаточна, изначально статична, в движении не проявляется и потому не родственна движущимся телам.)

Итак, основой, объединяющей геометрии Лобачевского и Римана, является не статическая эллиптичность или гиперболичность, а механическое движение линии в телесном пространстве, образующее искривление указанных фигур. Движение, которое ранее не было замечено. Введение в геометрию всего одного качества - механического движения, превращает статическую геометрию Евклида, в полудинамическую неевклидову геометрию. (Противоречивость геометрий Лобачевского и Римана в статической постановке, как уже упоминалось, была обусловлена тем, что кривизна поверхностей статических фигур рассматривалась исходя из римановой теории кривизны, а не как следствие определенных взаимодействий вызываемых движением тел в пространстве, поскольку о возможности движения и взаимодействия с пространством в статической геометрии не может и речи быть).

Полудинамическая геометрия истинно неевклидова геометрия не потому, что ее параллельные гиперболические и эллиптические - это фигурные частности евклидовой геометрии, не имеющие к ней отношения. А потому, что вводит в математику новое качество - механическое движение, которое отсутствует и у Евклида, и у Лобачевского, и у Римана, и во всех статических геометриях. (И, вообще, противопоставление геометрий Лобачевского и Римана геометрии Евклида было очередным математическим заблуждением. Они – раздел геометрии Евклида.). Видимые эллиптические и гиперболические конфигурации, именно как статические фигуры, остаются фигурами евклидовой геометрии, точнее входят в разные группы преобразований евклидовой геометрии. (Преобразование не отображает механического движения. Механическое движение всегда изменение качества, и отображается инвариантами гомотетии. Преобразование же не меняет качества, и потому не может полностью «передавать» функции движения. Преобразование – формальная математическая операция, обусловливающая изменение количественных или пространственных пропорций.)

Динамические составляющие статико-динамической геометрии определяют ее неевклидовость. Ее частичную, принадлежность к реальному физическому миру, к миру тел и механических движений. Ее полудинамичность и представляет собой начало перехода от геометрии к физике. Следует помнить, что в неевклидовых полудинамических геометриях всегда имеются две составляющие: движущиеся фигуры–точки, или прямые, и неподвижные фигуры–точки. Исчезновение одной из этих составляющих сразу же меняет качество появившейся геометрии, превращая ее либо в статическую, либо в динамическую. И потому движение в статико-динамических геометриях не равноценно отражает движение тел (точек) реального мира. Оно своего рода гибрид. Гибрид, в котором явно присутствуют две составляющие:

механическое движение, - сопровождаемое деформацией как элемент реальности, как качество, отображающее динамические свойства реального телесного пространства;

статичность как элемент мысленной неподвижности, как элемент фигур евклидовой геометрии в актуальной бесконечности.

Но и сама статичность тоже присутствует в двух видах;

как имеющаяся в неявном виде в пространстве фигура, которая проявляется в своей статичности только на период ее рассмотрения;

как возникающее в результате “замораживания” следы движущихся точек (фигур).

И только после «замораживания» всех проявившихся фигур получившаяся данность относится к статической геометрии Евклида.

Итак, в структуре геометрий начало проявляться некоторое «ранжирование» от статических геометрий, которых много, к геометрии динамической (ибо уже из логики понятно, что за полудинамической геометрией следует ожидать наличие геометрии динамической), которая, похоже, существует в единственном числе. Это ранжирование изменяет представление о самих геометриях, об их элементах и отображениях в них природных явлений. Намечается следующая градация геометрий:

- геометрии статические - Евклида, Лобачевского, Римана, и все другие геометрии, использующие аппарат математического преобразования;

- геометрии полудинамические или неевклидовы геометрии, допускающие существование неподвижных и механически движущихся фигур;

- геометрия динамическая (пока в качестве логического продолжения ранжирования), все объекты которой находятся в движении по инвариантам гомотетии.

Неевклидова геометрия (как было показано, она полудинамическая, или статико-динамическая) это одновременно и механическое движение и статика. Это процесс взаимозависимости подвижных и неподвижных фигур. Процесс движения, переходящий с пространственного перемещения определенной фигуры (фигур) относительно других (с динамики) и заканчивающийся остановкой движущихся фигур (или запечатления следа от них). То есть евклидовой статикой. В результате движения получившаяся следовая комбинация пропорционально деформированных фигур “останавливается” и переходит из полудинамической геометрии в геометрию статическую.

Наличие механического движения и возможность описания его в терминах геометрии вызывает вопрос: А можно ли сформулировать аксиому о параллельных полностью в динамической постановке? Если это возможно, то появляется возможность построения теории динамической геометрии и найденная выше градация геометрий получит математическое обоснование. Попробуем сформулировать такую аксиому.

2.7. Динамика аксиомы о параллельных

Существование евклидовой и неевклидовых геометрий опирается, как уже упоминалось, на три определения аксиомы о параллельных. Все три аксиомы базируются на использовании как свойств актуальной, так и потенциальной бесконечности и предполагают бесконечное движение «прямой» линии через точку параллельно другой бесконечной линии, неявно исходя из того, что движение в этом случае является математическим преобразованием.

Однако имеются аргументы, которые ставят под сомнение возможность проведения математического преобразования на бесконечности:

не доказано, что движение бесконечной с одного конца линии на бесконечность может описываться математическим преобразованием;

при рассмотрении движения прямой через точку (например слева направо) необходимо сначала установить параллельность левого бесконечного, прямолинейного отрезка существующей линии, которая движется через точку (доказать его параллельность слева, т.е. доказать то, что провозглашается аксиомой) и дополнительно доказать, что она пройдет через указанную точку (аксиома это предполагает);

следует доказать, что бесконечную прямую можно двигать в плоскости, не разрывая ее;

также доказать, что бесконечная прямая не изменяет своих размеров по длине (не изменяется количество элементов преобразования);

доказать, что движется прямая, а не точка-пилот (первая правая точка линии). Если движется точка-пилот, то происходит не преобразование, а «наращивание» следа (заполнение новыми точками);

если же отсутствует левый отрезок бесконечной длины или он представлен конечным отрезком, то через точку движется не прямая линия, а сама точка-пилот (конечный отрезок можно представить точкой), которая в своем движении на бесконечность, и образует траекторию, заполняемую новыми точками;

появление новых точек по следу движения точки-пилота будет свидетельствовать о том, что в неевклидовых геометриях наличествует не математическое преобразование, а механическое движение точки в анизотропном пространстве (в пространстве с изменяемой плотностью);

механическое движение точки в анизотропном пространстве, с возникновением новых точек, сопровождается «взаимодействием» ее с пространством, появлением времени и скорости;

взаимодействие движущейся точки-пилота с анизотропным пространством и вызывает ее отклонение от прямолинейного направления, обеспечивая геометриям Лобачевского и Римана искривление «прямых». Угол отклонения свидетельствует о характере взаимодействий и скорости движения точки.

Данные аргументы также вызывают недоверие к однозначно статическому пониманию математической формализации геометрий Лобачевского и Римана. К тому, что эти геометрии описывают движение только как математическое преобразование фигур. Недоверие возникает и потому, что, похоже, отсутствует в неевклидовых статических геометриях возможность определения аксиомы о параллельных в статической постановке. Тогда как для геометрии Евклида, как показано выше, такую формулировку предложить достаточно просто. И возникает вопрос: А возможно ли геометрическое описание бесконечного механического движения? Или иначе: Можно ли сформулировать аксиому о параллельных в динамической постановке?

Динамическая постановка осуществима в том случае, если удастся отобразить математически бесконечность механического движения в пространстве. Именно это качество - движение, которое остается незавершенным на бесконечности, является основным свойством потенциальной бесконечности. Это качество и должно быть отражено в динамической постановке. Но как выразить бесконечное движение в бесконечном пространстве, если математика не отличает качественно различные бесконечные пространства без определенных количественных величин и потому не может оперировать с ними. Положение кажется безвыходным. Однако выход из него имеется, и он подсказывается, например, необычной структурой древнерусских соизмерительных инструментов - саженей.

Древнерусские сажени имеют много особенностей, отсутствующих у других измерительных инструментов (подробнее в [23]). Одна из них - способ образования из сажени более мелких частей. Большинство известных инструментов делится при этом на несколько равных долей (метр, например, на десять дециметров или сто сантиметров, фут на двенадцать дюймов и т.д.). Сажени же делились методом раздвоения: сажень пополам - полсажени, полсажени пополам - четверть сажени или локоть, локоть пополам - пол-локтя или пядь и т.д. до вершка, на котором деление заканчивалось. Но могло бы и не заканчиваться, а продолжаться и далее в бесконечность, поскольку это деление невозможно завершить. Оно бесконечно. И получается, что отрезок, вроде бы имеющий конечную длину, оказывается в последовательном делении пополам бесконечным. Бесконечное «вложилось» в конечное. Но вложилось не как длина, а как нескончаемый процесс, переводя который в движение во времени, можно получить необходимую нам математическую модель бесконечного механического движения.

Если предположить, что от одного конца сажени к другому движется с постоянным замедлением точка таким образом, что в первую секунду она проходит полсажени, в следующую секунду - локоть, в третью пядь и т.д., то данная точка в своем движении в бесконечность не сможет достичь другого конца сажени за бесконечный промежуток времени. «Конечное» пространство для движущейся по закону минусового ускорения точки оказывается бесконечным.

Если теперь соединить две сажени одним концом под углом друг к другу и «пустить» с другого конца каждой сажени точки в движении к месту соединения по закону минусового ускорения, то эти точки никогда не сольются в одну. Воспользуемся этим обстоятельством и сформулируем динамическую аксиому о параллельных:

- Следы-прямые (АА и А¢А¢), образованные движущимися к единому центру из разных областей пространства точками и не достигающие этого центра за бесконечный промежуток времени, - параллельны(рис. 31)

В этой аксиоме предполагается, что прямые, образуемые движущимися точками, совместно стремятся к единому центру, который может находиться в любой точке пространства, но оставаться недостижимым, поскольку свойства напряженности (анизотропности) пространства изменяются и своим изменением замедляют их движение (точно так же, как это происходит в температурной сфере А. Пуанкаре). Каждый последующий шаг для них оказывается меньше предыдущего, и поэтому расстояние до центра О не может быть пройдено даже за бесконечный промежуток времени. То есть эти движущиеся прямые никогда не встретятся, а значит − не пересекутся и, следовательно, они параллельны (рис.31). Геометрия, основанная на данной аксиоме, является неевклидовой динамической геометрией.

Анизотропность пространства (возрастание плотности и напряжен- ности пространства при движении к некоему плотностному центру) отображается в форме невидимых эквипотенциальных плотностных сфер вокруг точки-центра (на рис. 31 изображены пунктиром), и тела (точки) движутся к нему в «падении», оставляя след-траекторию с тождественной плотностной деформацией всех своих точек.

Динамически параллельные следы-прямые от движущихся к единому центру точек, с прекращением движения (с «замораживанием»), становятся двумя линиями в статике. При их продолжении, они пересекаются, и в статической геометрии образуется угол. Так начинается переход от динамической геометрии к статической, а анизотропное пространство превращается, при отсутствии в нем механического движения, в пространство изотропное - мыслимое.

Надо отметить, что до сих пор отсутствует четкое представление и о такой древней фигуре, как угол, о его образовании и измерении. Нам кажется, что наиболее точное представление об угле и его измерении изложено у А. Митрохина [6]. Он констатирует:

«…образованию места пересечения предшествует наличие двух непараллельных линий или плоскостей, поэтому правильнее будет говорить не об измерении угла, а об измерении степени непараллельности, величины раскрытия или раствора линий и плоскостей. И далее: Сам угол не подлежит измерению, измерить можно только не параллельность, раскрытие (раствор) двух линий или плоскостей».