Краткий анализ основ геометрий 7 страница

Причина этому обстоятельству, как я полагаю, заключается в том, что общая концепция многократно протяженных величин, к которым относятся пространственные величины, оставалась вовсе не разработанной. В связи с этим я поставил перед собой задачу, - исходя из общего понятия о величине, сконструировать понятие многократно протяженной величины. Мы придем к заключению, что в многократно протяженной величине возможны различные мероопределения и что пространство есть не что иное, как частный случай трижды протяженной величины. Необходимым следствием отсюда явится то, что предложения геометрии не выводятся из общих свойств протяженных величин и что, напротив, те свойства, которые выделяют пространство из других мыслимых трижды протяженных величин, могут быть почерпнуты не иначе как из опыта. В таком случае возникает задача установить, из каких простейших допущений вытекают метрические свойства пространства…».

Из этого отрывка следует, что протяженность не является основанием для выявлении сути понятия «пространство». Пространство существует как одно из рядовых свойств, не отображающих конструкцию пространства, и остается неявным геометрическим свойством (просим читателя обратить на это особое внимание), не влияющим на фигуры в ней, к тому же не зависящую качественно от того, сколько и в каких направлениях этих протяженностей находится. Именно постулируемая независимость протяженностей от пространства по разным направлениям и становится основой метричности римановой геометрии. Метричность, в свою очередь, оказывается формальным геометрическим обстоятельством, призванным искусственно объединить эти направления в пространство. А поскольку протяженность признавалась второстепенным понятием, становилось возможным обойтись при «конструировании» пространства n – кратно протяженной величины простой заменой протяженности длиной (направлением перемещения).

Если исходная посылка Римана предполагает заданным заранее (кем или чем?) понятие пространства и «предложения геометрии не выводятся из общих свойств протяженных величин» (т.е. из свойств тел). А «пространство есть не что иное, как частный случай трижды протяженной величины», то никакой связи математического предмета «геометрия» с реальным окружающим нас пространством не просматривается. (Это становится особенно заметно при рассмотрении пространства Пуанкаре). Ибо из всех геометрических свойств, которые сами по себе в природе отсутствуют и действительно формализуются в голове исследователя природы, только протяженность является свойством, характеризующим параметры природы, отображающим основное пространственное качество физических тел. Все остальные фигуры геометрии есть форма осмысления исследователем тех предметов опыта, которые поставляют ему его ощущения.

Протяженность в ее общеупотребительном понимании не есть длина, а только может употребляться в значении длины. Протяженность это понятие многофакторное, могущее, в зависимости от смысла, выражать соответственно и длину, и высоту, и ширину и даже пространственную плотность. То есть отображать в едином понятии телесность и размеры определяемого предмета. Предмет, имеющий протяженность, вне зависимости от того упоминается об одной или трех из них, - телесен, а значит, сам по себе имеет их более трех. И эта телесность есть первичное, главное свойство протяженности, отображаемое в научных исследованиях размерностью, не зависящей от метричности. Метричность может обозначаться в метрах, футах, локтях или лаптях, что второстепенно и отразится только на изменении наименований понятия определенной размерности. Размерность же есть качество (свойство) предмета и потому за любой размерностью всегда стоит определенный объект-тело. Первичное, - то с чего должно начинаться изучение геометрии. Но Риман изложил свое представление о протяженности, как о второстепенном, несущественном свойстве, и последователи незамедлительно довели его мысль до конца. Следующим логическим шагом стало избавления от протяженности, как от основного качества пространства и формальной замены его длинами геометрических фигур. (Основанием для «избавления» стала евклидова геометрия, в которой отсутствует понятие «протяженность».) И, похоже, первым на это обстоятельство риманова формуляра обратил внимание В. Клиффорд. В небольшой статье-резюме «О пространственной теории материи» он пишет [20], уже не упоминая о протяженности:

«Риман показал, что, как существуют разного рода линии и поверхности, так существуют и разного рода пространства трех измерений и что мы можем лишь опытным путем установить, какого рода то пространство, в котором мы живем. В частности в рамках опытов на поверхности листа бумаги верны аксиомы геометрии на плоскости, но мы знаем, что в действительности лист испещрен множеством малых рубчиков и бороздок, на которых (поскольку полная кривизна не равна нулю) эти аксиомы несправедливы».

И хотя в названии статьи звучит слово «материя», в содержании ее материя уже отсутствует (если не считать не имеющие отношения к геометрии и сбивающие с толку «малые рубчики и бороздки»), поскольку обсуждаются только соотношения элементов геометрических фигур, не имеющих никакого отношения к материи, а не принципы их построения. А само понятие «протяженность», основное геометрическое свойство материи, уже благополучно выпало из набора геометрических свойств. И выпало не случайно.

Великий французский математик начала ХХ века А. Пуанкаре немало времени посвятил обоснованию гносеологических основ математических наук и изложению их в достаточно популярной форме. Его работа «Наука и гипотеза» специально посвящена рассмотрению философских оснований математики, а один из разделов книги так и называется «Пространство» [10]. Поскольку выводы, изложенные в данном разделе, наиболее полно отображают математические представления пространства и остаются достаточно актуальными для современного понимания этой проблемы, познакомимся с набором свойств, определяющих понятие «геометрическое пространство».

Начнем с того, что математика для А. Пуанкаре «продукт свободной деятельности нашего ума», который, при описании мира, «налагает на него два граничных понятия»:

- первое - понятие математической величины;

- второе - понятие пространства».

Отсюда следует, что понятие «пространство» - основное понятие математики. И далее он задается вопросами о происхождении геометрии и отвечает на них. Коротко процитируем это место:

«Откуда происходят первоначальные принципы геометрии? Предписываются ли они логикой? Лобачевский, создав неевклидовы геометрии, показал, что нет. Не открываем ли мы пространство при помощи наших чувств? Тоже нет, так как то пространство, которому могут научить нас наши чувства, абсолютно отлично от пространства геометра. Проистекает ли вообще геометрия из опыта? Глубокое исследование показывает нам, что нет.(?? - Авт.) Мы заключаем отсюда, что принципы суть положения условные: но они не произвольны, и если бы мы были перенесены в другой мир (я называю его неевклидовым миром и стараюсь изобразить его), то мы остановились бы на других положениях». (п/ж курсив наш. – Авт.).

Отметим, что опыт у Пуанкаре (как и у Римана и у Клиффорда) есть ощущения и потому реальное пространство для него отсутствует, но существует «чисто визуальное пространство» и образуемое человеческими ощущениями «пространство представления». Опустив из рассмотрения математические величины и «пространство представлений», остановимся на понимании им свойств геометрического пространства, тем более, что это понимание, в общем, сохраняется в математике до настоящего времени.

Вот некоторые из наиболее существенных его свойств:

- Оно непрерывно.

- Оно бесконечно.

- Оно имеет три измерения. (Добавим. Независимые измерения, по Риману это не протяженности, а длины, основа метричности. - Авт.)

- Оно однородно, т.е. все его точки тождественны между собой.

- Оно изотропно, т.е. все прямые, которые проходят через одну и ту же точку, тождественны между собой.

(Известно, что тела не обладают однородностью и изотропностью. Эти свойства можно примыслить только пустоте и, следовательно, пространство не телесно, а потому пусто. Последнее, по-видимому, для Пуанкаре было неприемлемо. Уйти от пустоты можно только в релятивизм, и, как будет показано далее, он это и делает. – Авт.). Все перечисленные свойства (кроме третьего), предписываемые пространству, отсутствуют у физических тел, и потому их объемы не считаются некоторыми пространствами.

Пуанкаре не доводит определение свойств до качественного вывода видимо потому, что вывод этот противоречит набору указанных свойств и отрицает наличие аналогичного геометрического пространства. Приведем и его:

- Оно пусто, невещественно, поскольку не является телом, а потому не имеет протяженности (бескачественно) и, следовательно, его аналоги отсутствуют в природе.

Само же противоречивое, пустое геометрическое пространство Пуанкаре становится, по этим свойствам, субстанцией, равной материи по своей значимости, но не подобной ей, ничем с ней не связанной, не зависящей от нее и не отображающей ни одно (кроме формальной геометрической длины - бескачественной бесконечности) из ее свойств. То есть таким пространством, которое ни в природе, ни в геометрии не существует.

Но и это не все. Следует добавить, что три независимых измерения обусловливают отсутствие взаимосвязи между элементами фигур, измышляемых в данной геометрии, определяют статический характер всего пространства, отсутствие в нем общей метричности, времени, невозможность никакого движения, никаких перемещений. Они запрещены статичностью образовавшегося «пространства» и отсутствием времени.

Поскольку А. Пуанкаре постулирует, что эти пять плюс одно свойств принадлежат именно евклидовой геометрии, а математики убеждены (Пуанкаре же это прямо утверждает), что люди проживают именно в евклидовом пространстве, то, зная данные свойства, мы должны усомниться не только в возможности проживания в нем, или в возможности простого перемещения тел или фигур в этом пространстве, но даже в существовании такого пространства.

Противоречивость геометрического пространства Пуанкаре на этом не заканчивается. Мир его ощущений играет с ним злую шутку, превращая реальное вещественное и, следовательно, абсолютное пространство - абсолютный мир, в мир относительный, в мир несуществующий, в мир теней собственных ощущений. (Напомним, что для И. Ньютона пространство абсолютно и для него вопрос об относительном или абсолютном пространстве есть не частный математический или механический вопрос, а принципиальный вопрос, определяющий базу всей механики и геометрии как наук о свойствах природы.) И что удивительно, совершая при этом недопустимые даже для школьника, физические ошибки. Еще более удивительно то, что ни один математик (это понятно), и ни один физик (а это уже непонятно), даже в почтительнейшей форме (во всяком случае, нам не встречались), не отметил их наличие у мэтра. (Последнее свидетельствует о том, что сказанное им, для физиков, истина, не подлежащая обсуждению. В конце работы[10]три известных советских физика разбирают идеалистические ошибки, допущенные автором, но даже не заикаются о, вызванных философской позицией Пуанкаре, физических ошибках, а, следовательно, и они разделяют с ним эти ошибки. Для них он тоже мэтр.)

Работа Пуанкаре «Наука и метод» появилась в 1908 году, в том же году, когда была опубликована книга В.И. Ленина [21] критикующая этот метод. И следует отметить, что эта критика полностью справедлива, разве что полемически резковата. Ничего лучшего по гносеологическому обоснованию физических явлений до сего времени ни у одного философа или физика нам не встречалось. А теперь вернемся к Пуанкаре:

Глава I книги II работы [10]озаглавлена «Относительность пространства». Приведем из нее достаточно большую цитату:

«Совершенно невозможно представить себе пространство пустым. (Понятно. Пространство вещественно, поскольку не пусто. Не пустое пространство абсолютно. Перед нами чистейший материализм, если, конечно, ограничиться рассмотрением одной этой фразы. Но далее, через одно предложение следует совершенно иное. – Авт.) Все наши усилия представить себе чистое пространство, из которого были бы исключены изменчивые образы материальных предметов, могут заканчиваться только тем, что мы составляем себе, например, представление, в котором сильно окрашенные поверхности заменены линиями со слабой окраской; и идти в этом направлении до конца нет возможности без того, чтобы все не уничтожалось, не свелось на нет. Отсюда и возникает неустранимая относительность пространства. (А это уже идеализм. Материя сведена на нет. Осталась одна пустота. Пространство стало относительным. Мы пришли к релятивизму. Но продолжим цитату. – Авт.)

Если кто говорит об абсолютном пространстве, то он употребляет слово, лишенное смысла. Эту истину высказывали уже давно все, кто размышлял по этому вопросу, но ее слишком часто забывают и по сей день.

Я нахожусь в определенной точке Парижа, скажем на площади Пантеона, и говорю: «я возвращусь сюда завтра». Если меня спросить: «разумеете ли вы, что возвратитесь в ту же точку пространства», то я буду, склонен ответить «да!»; и все же я буду не прав, ибо в течение этого времени Земля будет двигаться, унося с собой и площадь Пантеона, которая пробежит, таким образом, свыше двух миллионов километров. Если же я пожелал бы учесть это обстоятельство и выразиться точнее, то это все-таки ни к чему бы не привело; в самом деле, эти два миллиона километров Земля пробежала относительно Солнца (и здесь можно уточнить: не относительно Солнца, а по орбите вокруг Солнца, но эти уточнения нюансы, не играющие роли в главном. - Авт.); но Солнце перемещается относительно Млечного Пути, а Млечный Путь в свою очередь, несомненно, имеет движение, скорости которого мы можем и не знать.

Таким образом, мы совершенно не знаем, и не будем знать никогда, на какое собственно расстояние перемещалась площадь Пантеона в течение суток. Все, что я хотел сказать, сводится, таким образом, к следующему: «завтра я снова увижу купол и фасад Пантеона», и если бы не было Пантеона, то моя фраза потеряла бы всякий смысл - пространство свелось бы на нет.

Это одна из наиболее тривиальных форм идеи относительности пространства; но есть и другая точка зрения, которую особенно отстаивал Дельбеф. Вообразим себе, что за одну ночь все размеры во Вселенной возросли в тысячу раз. Мир остался бы подобен самому себе, если разуметь под подобием то, что указано в третьей книге «Геометрии». Все сведется к тому, что предмет, имевший миллиметр, возрастет до метра. Постель, на которой я лежал, и само мое тело возрастут в одной и той же пропорции (надо быть релятивистом, чтобы в это поверить – Авт.). Что же почувствую я на следующее утро, проснувшись после такого поразительного превращения? Я попросту ничего не замечу. Самые точные измерения не будут в состоянии ни в малейшей мере обнаружить этот поразительный переворот, ибо метры, которыми я буду пользоваться, изменятся в совершенно том же отношении, что и предметы, которые я буду измерять. В действительности переворот существует только для тех, которые рассуждают так, как будто пространство было абсолютным. Если бы я стал на минуту рассуждать, как они, то лишь для того, чтобы обнаружить, что их точка зрения содержит противоречие. В действительности было бы лучше сказать, что ввиду относительности пространства не произошло, собственно говоря, ничего, и именно поэтому мы ничего не заметили».

Рассмотрим поочередно оба примера.

Пуанкаре, стоя на площади Пантеона, принимает за пространство не площадь - пространство тела Земли, не пространство собственного тела. (Он не относит их к пространству. Если посчитать относительными их объемы–пространства, получим абсурд – их несуществование.) За пространство он принимает точку на орбите Земли, в которой в данный момент находится площадь Пантеона, и утверждает, что именно она, эта точка, остается на месте, на следующий день и именно от нее площадь удалится на два миллиона км. Утверждение это достаточно спорное и исходит из предположения о том, что пространство пусто и отсутствующая в таком пространстве точка (повторимся, - в пустоте нет точек, как нет и пространства) не меняет своего положения относительно удаленных звезд. А Земля и его собственное тело не обладают пространством. Но в [2] (как и в предыдущем разделе настоящей работы) показано, что пространство телесно и, следовательно, - абсолютно, и все точки данного пространства на расстоянии 149,6 млн. км движутся по орбите вместе с абсолютным пространством Земли. Таким образом, утверждение Пуанкаре об относительности всякого пространства более чем сомнительны.

Теперь о втором мысленном эксперименте - возрастании размеров Вселенной в тысячу раз. Можно только поразиться той легкости, с которой многоопытный физик - теоретик Пуанкаре поверил на слово (не проверив) утверждению некоего Дельфеба o том, что «Самые точные измерения …» (и см. выше), тем более, что на проверку этого утверждения достаточно было потратить пять минут. Потратим их и убедимся, что и в этом примере Пуанкаре неубедителен.

Прежде всего, вспомним, что тела имеют не одно свойство – длину, а множество и их качественные взаимосвязи не являются линейными. Нелинейность же взаимосвязей приводит к тому, что изменение количественной величины одного из свойств (например, по Пуанкаре, - длины) вызывает различные количественные изменения других качественных свойств и, следовательно, надо ожидать, что часть из количественных величин-свойств изменится линейно, а другая часть нелинейно, и определить эту рассогласованность приборно и расчетами, конечно, не составит труда. Покажем это на примере изменения веса человека на новой Земле. Предположим, что его вес равен F = 80 кг, а масс m = 82 г. Параметры Земли: М = 5,98∙10²⁷г., R = 6,378∙10⁸см, g = 9,81∙10² см/сек. Если предположить, что эти параметры возросли всего в 10 раз, имеем: R₁ = 6,378×10⁹ см, G = 6,67∙10^-8 см³/гс² не изменятся, М = 5,98∙10³⁰ г, и зная их, определим, чему равны, g₁ и вес F₁:

GM₁ = R₁²g₁

g₁ = GM₁ ∕ R₁² = 9,81∙10³ см/сек^2.

F₁= mg₁ = 800 кг.

Результаты достаточно красноречивы и потому не будем продолжать и комментировать их. Таким образом, утверждения Пуанкаре об относительности пространства не совсем корректны. Отсюда также возникают сомнения в корректности тех пяти свойств, которые приписываются им пространству.

Возможно, нам возразят: - Пуанкаре описывает не реальное пространство, в котором мы проживаем, а абстракцию от реального пространства. (Тогда зачем же утверждать во всей математической и физической литературе, включая учебники, что люди проживают в пространстве Евклида? – Авт.) Абстракцию, у которой сохранена только та часть свойств (противоречивая? – Авт.), которая и указана у Пуанкаре. Но, «образуя» геометрическое пространство, Пуанкаре как раз и отталкивался не от некоторой реальности, а от тех отдельных ощущений, которые регистрируются нашими органами чувств в пространстве внешних восприятий, от которых абстрагироваться просто невозможно. Из них можно что-то «сконструировать». И отталкиваясь от ощущений, Пуанкаре и конструирует пространство.

Опираясь на ощущения Пуанкаре, а вместе с ним и другие математики, не замечают, что их собственные тела, как и все физические объекты, образуют свое собственное пространство (обычно называемое объемом), по своим свойствам ничем не напоминающее вышеописанное геометрическое пространство (по-видимому, поэтому его и не считают собственным пространством тел.). Для изучения вне нас существующего пространства вовсе не было необходимости указывать пальцем на предметы во внешнем пространстве или проводить аккомодацию глазного яблока для их отчетливого восприятия. Надо было просто понять, что объемы всех тел образуют собой собственное пространство каждого тела, а другое, внешнее, пространство есть просто расстояние между плотными телами, образованное телами другой плотности.

И нельзя сказать, чтобы тот же Пуанкаре не замечал объема своего тела. Оно фигурирует у него почти по всем работам входящим в сборник «О науке»[10], но фигурирует как твердое тело, как носитель координат, наконец, как физический объем, но никоим образом, не как пространство. Достаточно было разобраться с тем пространством, которое образует наше тело и уже от него, явного вещественного пространства, абстрагироваться к получению геометрического пространства. (Поскольку, похоже, ни один идеалист, ни один человек, ни один математик не сомневаются в существовании своего тела, и, следовательно, в реальном существовании пространства, образуемого его телом, так же как и в том, что от его тела начинается другое, внешнее пространство. То, которое Пуанкаре называет «пространство представления», или «полное визуальное пространство».)

Но нет, такой путь не нашел проявления в обосновании пространства у Пуанкаре. По какой-то странной, молчаливой договоренности (конвенционализм Пуанкаре?) предполагается, что физическое пустое пространство существует само по себе, а вещественные тела занимают, своим объемом, место в этом пространстве, как бы не имея своего собственного пространства. И не имея именно потому, что их собственные реальные свойства не соответствуют постулируемым, перечисленным выше, общепринятым свойствам геометрического пространства.

Это очень удивительное обстоятельство приводит к не менее поразительным результатам. Исходя из него, космос в околоземной области - физическое пространство, поскольку как бы отвечает перечисленным свойствам, приписываемым пространству. (Хотя четвертое и пятое свойства только постулируются. Однородность, и изотропность космического пространства не доказана. Да и первые два свойства - сомнительны.) А вот объемы Солнца, (как и звезд и галактик), Земли, а вместе с ними и объемы любого тела, например, глыб гранита, булыжника, животного, растения… и далее молекул, атомов, электронов… и, конечно же, человека - пространствами не считаются. Нигде нет очевидных запретов для определения объема любого тела его пространством, но объем таковым пространством не считается и потому получается некая физическая несуразица. Тела-пространства заполняют другое пустое пространство, не являющееся телом по определению. И по тому же определению пространство не является целым и может быть только одним, внешним по отношению ко всем заключенным в него телам, не связанным с ними. Тем, из которого построено мнимое, геометрическое пространство, т.е. пустым всеобщим объемом. Тем, которое само не является телом, но обладает функцией субстанции отличной от тел-субстанций, и заполняется другими телами, не взаимодействующими с данным пространством и не зависящими от него. Тем, которое бесконечно во всех направлениях. Неявно подразумевается так же, что в одном месте не могут быть два пространства. И потому получается, что тела не обладают свойствами пространства, а геометрическое пространство не имеет никаких свойств, включая свойство телесности – протяженности. Мы получили тот же вывод, к которому сводились и свойства пространства Пуанкаре. Но без протяженности не может быть представлено никакое пространства. И потому круг замкнулся. Пространство непрерывно, бесконечно, пусто и не протяженно (именно то, которое абсолютизировал Ньютон). В результате имеем нонсенс под названием - «геометрическое пространство».

Но ведь не пустое пространство, а именно вещественные тела обладают единственным свойством, характеризующим пространство - протяженностью. Тем свойством, которое отсутствует (но всегда неявно подразумевается) в геометрическом пространстве и которого уже достаточно как для понимания, так и для «построения» пространства.

То, что качество «протяженность» - первое, на что обращает внимание человек при взгляде на любое тело, - несомненно. То, что это качество невозможно отнять у предмета (тела) тоже понятно, поскольку если нет протяженности, нет и предмета. Не случайно одно из некорректных определений точки гласит: «Точка – тело, не имеющее протяженности» - т.е. тело, не имеющее свойств тела. Но то, что может существовать геометрическое пространство, не имеющее свойства протяженности - математический факт, присутствующий в современной интерпретации и геометрии Евклида, и геометрии Лобачевского, и геометрии Римана, да и в других геометриях.

Отсутствие протяженности как качественной категории пространства привело к тому, что ее место было «занято» приписываемыми пространству метрическими свойствами, а вместе с ним разнообразным математическим многообразием. К тому же отсутствие внефигурного пространства в статических геометриях является естественным следствием их статичности. Реальное, вне нас существующее пространство, есть то, что обеспечивает механическое перемещение тел в любом направлении при обязательном взаимодействии с пространством. Невозможность механического перемещения, а вместе с ним и взаимодействия с реальным пространством, это тот фактор, который обусловливает отсутствие геометрического пространства. Нет, взаимодействие тел в движении - нет и пространства.

Однако отсутствие пространства как отображения телесности в статических геометриях еще не значит, что они не содержат в себе формализованных абстрактных пространств. Перечень таких пространств достаточно велик и опирается в основном на координатную систему и числовые многообразия. Да и движение как формальное, вневременное математическое преобразование, в этих геометриях присутствует. Но мы эти факторы рассматривать не будем, поскольку они обеспечивают только формальные связи между элементами геометрических фигур.

2.3. Телесное геометрическое

пространство

Итак, у нас имеется некоторое представление об окружающем реальном пространстве, как о множестве тел различной плотности, обладающих бесчисленным количеством равнозначных, качественных свойств. Причем все свойства-качества - обязательная принадлежность каждого тела, его атрибуты, и сознание человека отличает их по определению, а при научном рассмотрении только по размерности. Сама по себе реальность внешнего мира есть целое и не имеет ни частей, ни свойств, ни размеров (длины и объема), ни цветовой гаммы, ни тем более геометрии. Она просто единая, телесная субстанция - целое. Для науки это и есть «вне нас существующая физическая реальность, данная нам в ощущениях» [21]. Геометрия же - схематическое отображение одного из качеств физической реальности. Форма отображения реальности полученная посредством абстрагирование от всех (кроме двух) свойств окружающего мира и от вещественного пространства как от свойства мира.

Однако человек как живой субъект природы, чтобы ориентироваться в реальном пространстве и выжить, должен различать как отдельные предметы (тела), так и их части-доли и качества, и расстояния, и объемы и т.д., выделяя их из реальности и вводя для каждого из них определения и понятия. Без этого бытие человека просто невозможно. Это на первой стадии развития.

На второй стадии развития человек начинает абстрагироваться от реальных свойств и тел природы. Вычленяет их и разделяет на виды, классы, формы и т.д., рассматривая последние как группы идеальных объектов, сопоставляя и сравнивая их между собой, определяя возможности использования с целью приспособления их и себя к более удобному сосуществованию. Эта потребность приспособления к сосуществованию с природой на определенном этапе обусловливает появление науки и как следствие дальнейшего «расчленение» природных объектов и абстрагирование их свойств от реальности.

Но само абстрагирование, поскольку отсутствует методология процесса, носит случайный характер и зависит от того, какие свойства и качества определяются субъектом как основные для отображения предмета, от которого он абстрагируется. Предмет абстрагирования по разному будет восприматься людьми особенно в том случае, когда различие самого понятия «свойство» для тел и фигур однозначно не определено.

Так абстрагирование от тел к геометрическим фигурам можно проводить, основываясь на их первичности, и производить мысленным отвлечением от конкретных свойств и признаков объектов, несущественных для определяемой фигуры. При этом для образуемого идеала оставляются те свойства, которые соответствуют представлению о нем, до конца сохраняя за ним самое существенное (естественно, с точки зрения субъекта производящего абстрагирование) для определяемого предмета природное свойство. А можно этот процесс проводить по-другому. Абстрагироваться от предмета в идеальную точку, лишив данный предмет сразу всех физических свойств. И из этой уже идеальной точки, не обладающей ни одним качеством, той же аксиоматизацией возвращаться к построению идеала тела, основанному не на качественных природных, а на идеальных геометрических свойствах. Кажется, что оба эти процесса приведут к одному и тому же результату, и в том и в другом случае мы имеем одинаковые по форме фигуры. Но это впечатление обманчиво.

В первом случае мы в результате абстрагирования получили идеал с сохранением как минимум одного, самого необходимого для определения данного предмета физического (качественного) свойства и, возвращаясь к предмету от идеала, идем по пути «нанизывания» тех свойств, от которых отвлекались в процессе абстрагирования.

Во втором случае мы не знаем, от каких свойств абстрагировались (хотя понятно, что и второй случай тоже является абстрагированием), но нам неизвестно какие свойства мы «растеряли» при этом абстрагировании, ибо у нас в полученном идеале не осталось ни одного физического свойства. И хотя мы, в самом предмете их определяем, нам неизвестно, сохранилось ли хоть одно из них в полученной фигуре и какое? В частности такая идеальная фигура, как точка, при некоторых определениях не сохраняет ни одного физического свойства и аксиоматизируясь в другие фигуры переносит на них бескачественные формальные свойства. И «возвращаясь» от точки к аксиоматическому, как нам кажется, отображению тела геометрической фигурой, мы автоматически лишаем эту фигуру того физического свойства, которое отражает сущность изображаемого идеала. Тем не менее, остается впечатление, что геометрическая фигура обладает, хотя бы внешне, некоторыми свойствами того тела, которое изображает. Но это впечатление иллюзорно, а поскольку при аксиоматическом абстрагировании ни одно из физических свойств не было выделено основным, то возникает проблема с определением, какое же природное свойство присуще именно этой фигуре? Если, например, спросить у математика, какие природные свойства сохранили при абстрагировании такие фигуры, как круг или квадрат, то не всякий из них сможет сразу ответить на этот вопрос. Более того, не исключено, что найдутся меж ними и такие специалисты, которые вообще на такой вопрос ответа не найдут.