Краткий анализ основ геометрий 3 страница

1 2 3 4 5 …

2 4 6 8 10 …

Каждому целому числу при этом соответствует ровно одно четное число (равное удвоенному целому), а каждому четному числу соответствует ровно одно целое число (равное половине четного). Следовательно, в каждом из двух бесконечных множеств - целых чисел и множества четных чисел – элементов столько же, сколько и в другом множестве. Установленное соответствие (то, что все множество целых чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с частью этого множества) казалось неразумным предшественникам Кантора и заставляло их отвергать все попытки рассмотрения бесконечных множеств. Но это не испугало Кантора».

Предшественники Кантора интуитивно чувствовали, что за понятием бесконечности, может оказаться нечто неопределенное и неизвестное, что и заставляло их сомневаться в возможности объединения бесконечного множества чисел в единое множество даже во взаимно однозначном соответствии. Но объединение оказывается невозможным в первую очередь потому, что сами числа обладают формальными качествами. Мы об этом можем и не догадываться, но числа-то этого никогда «не забывают». И в указанном примере во взаимно однозначное соответствие ставятся цифры числовой последовательности натурального ряда, не имеющие качества (смешаны четные и нечетные числа), числам четным, то есть имеющим одинаковое качество, и получаем сапоги всмятку. Это одно. Другое же заключатся в том, что в безначальности-бесконечности мы произвольным образом устанавливаем начало – 1 в первом ряду и 2 во втором, что несопоставимо, поскольку неизвестно, к какой отдельности принадлежит первое нечетное число и второе – четное число. А это уже совсем иное «взаимно однозначное» соответствие, не имеющее никакого отношения к бесконечным множествам. И получается, что «бесконечное множество» Кантора очередная иллюзия, мешок, в отверстие которого сыплется все, что попало (в основном цифры как значки или числа как величины). Возможны два варианта:

1. Мешок не имеет дна (не является множеством как объектом) и как был пустым, так пустым и остается в любой момент «заполнения»

2. Мешка нет вообще, – есть только воображаемое отверстие и «вещественные числа», которые берутся снизу и суются в отверстие сверху.

И то и другое не имеет отношения к понятию бесконечности.

Опираясь на бескачественность математических понятий, Кантор установил невозможное - взаимно однозначное соответствие между точками прямой, плоскости и n-мерного пространства. При этом игнорировалось, что каждый из этих протяженных объектов обладает самостоятельным качеством, различной размерностью и потому не может находиться во взаимно однозначном соответствии друг другу. А их качественное различие, как и качественное различие целых и дробных чисел, не может образовывать взаимно однозначного соответствия.

Но вернемся к математике и вспомним, что понятие бесконечности в современной науке в первую очередь является понятием математическим. По-видимому, исторически свое начало оно ведет из древних Индии, Египта и Греции. Мыслилось оно и как реальное вещественное пространство, бесконечное вширь (в смысле отсутствия внешних границ, безграничное наружу). И как пространство каждого места, бесконечное «вглубь» (в смысле бесконечной делимости, безграничное внутрь). В свою очередь качественная бесконечность мыслилась двояко: как движение, нескончаемый процесс, постоянное становление (потенциальная бесконечность) или как нечто мысленно данное, имеющееся пустое бытие (актуальная бесконечность). Опуская иные определения бесконечности из-за их недостаточной диалектической обоснованности, рассмотрим оставшееся в науке деление, опять же на две части, понятия «бесконечность». И эта своего рода дихотомия тоже не является случайностью. Она - следствие диалектического обобщения категорий покоя и движения и распространение этого обобщения за границы окружающего мира. При этом потенциальная вещественная бесконечность (протяженность) символизирует непрерывность движения, его постоянную незавершенность, неопределенность и неисчерпаемость в любой области пространства как вглубь, так и наружу. Бесконечность же актуальная в свою очередь мыслится (именно мыслится, поскольку не имеет никакого отношения к реальной бесконечности) как пустота с плавающими в ней отдельными телами, как статическая данность, существующая повсеместно в виде некоторых структур и проявляющаяся в самых различных, вещественных объектах в безграничной области пустого пространства. Но проявляющаяся не как всеобщая, зримая субстанция, не как взаимосвязанная с пространством сущность, а как вкрапинки единой картины, как элементы неподвижной мозаики, выхваченные без связей из общей системы актуальной бесконечности, представители единой, мыслимой абсолютно абстрактной структуры мира (основа абстрактной статической геометрии).

Можно предполагать, что отображение и актуальной, и потенциальной бесконечности в геометрии есть следствие, с одной стороны логики отображаемого предмета и своеобразия реального мира, а с другой - влияние на восприятие этого мира особенностей ощущения человека. Поэтому при рассмотрении геометрической бесконечности приходится интегрировать эти области на актуальные и на потенциальные аспекты проблемы. Попробуем определить диалектику качеств, которые следует ожидать и в актуальной мыслимой, и в потенциальной бесконечности. Рассмотрение начнем с достаточно изученной, но это не значит, что с более понятной, не имеющей четких границ в математике, актуальной бесконечности.

Актуальная геометрическая бесконечность - метрическое трехмерное пустое (следовательно, только мыслимое), изотропное, однородное пространство - понимается как самостоятельная субстанция, наполненная статической (тоже мыслимой) материей - точками, структурированной по иерархии равнозначных бесконечностей. Она воспринимается внешним наблюдателем как фон, как метрическое, трехмерное изотропное пространство. Пространство как субстанция точек и фигур безгранично, непрерывно и бесконечно по длине, но не обладает протяженностью, образует однородную и изотропную нематериальную систему (пустую вместимость). Время, как и пространство, самостоятельная субстанция, а потому в актуальной геометрической бесконечности отсутствует. При теоретическом описании предметов актуальной бесконечности материальные объекты заменяются точками, связи иногда линиями, а чаще опускаются, что может приводить к распадению взаимосвязей системы. Прямые и точки равнозначны и взаимообратимы во всем бесконечном пространстве. Движение точек фиктивно, мыслимо, нереально и как бы воспроизводит (проявляет) элементы уже наличествующей структуры, но воспроизводит не как результат движения, а как проявление уже имеющихся, но скрытых в этой области данных фигур и элементов. Движения, как изменения положения точки (фигуры) относительно пространства или других фигур, в актуальной геометрии не существует. Проявление, отображаясь траекториями, происходит без взаимодействия с пространством, т.е. по инерции.

Актуальная бесконечность геометрически представляется как вневременной набор в определенном порядке некоторого множества протяженных (безграничных) равнозначных и непрерывных структур, не имеющих конца и как бы налагающихся друг на друга. Качественные различия между структурами отсутствуют. Переход от одной бесконечности к другой осуществляется скачком (и трудно представим). Метричность (при ее использовании) ни в фиктивном (мыслимом) движении, ни в переходе по количественной величине не меняется. Реальное движение в актуальной бесконечности неосуществимо. Каждая из «возникающих» в ней геометрий описывает параметры одной или нескольких структур.

Отсутствие качественных свойств и связей между геометрическими структурами обусловливает возможность теоретического рассмотрения четырех и более мерных, актуальных бесконечностей, хотя эмпирического подтверждения этому не наблюдается, и нет ясности в понимании того, что же определяет пространственную мерность, так же как и нет подтверждения замкнутости или искривленности пространства. Фиктивная замкнутость или искривленность - следствие теоретического применения методов определения кривизны Гаусса и варьирования граничными условиями, предполагает возможность существования безграничного, но конечного пространства, и не является элементом актуальной бесконечности, а некорректным смешиванием плоскостности (одного качества) с протяженностью (другого качества), к тому же относящегося не к актуальному, а к потенциальному пространству.

Здесь следует отметить ошибочность введения в геометрию Риманом понятия «безграничного» пространства как некоторого аналога понятию «бесконечного». Безграничное, по Риману, понимается не как поверхность некоторой ничем не ограниченной бесконечной протяженности, а как поверхность конечной протяженности, не имеющей границ. В качестве примера указывается на поверхность сферы, которая не имеет границ, но, тем не менее, конечна по численной величине. Здесь имеет место путаница в понятиях. Она вызвана отсутствием в современной геометрии понятия «качество» и игнорированием протяженности как качественного свойства. Понятие протяженность предполагает одним из своих свойств, структурную безграничность во всех направлениях от любого центра или рассматриваемой точки. Т.е. то качество, которым не может обладать сферическая плоскость - другое качество. И потому понятие сферическая безграничность не является аналогом понятия бесконечность. Оно всегда отграничение одного объема от другого. Всегда конечное для определенного направления протяженности, кроме параллельного. (Для сферы - ограничение протяженности во всех направлениях, если исходить из ее центра, т.е. ограничение бесконечности.)

Введение в некоторое геометрическое пространство актуальной бесконечности несобственных точек, прямых и абсолюта, нарушает равнозначность геометрических элементов, деформирует актуальность и привносит в данные статические геометрии отдельные качества потенциальной бесконечности. И это вполне естественно. Актуальная и потенциальная геометрии, похоже, неразрывны в формальном мышлении и в своих отображениях, но не в природе.

Все геометрии, кроме статической геометрии Евклида, как и возможно вся математика, построены с использованием как свойств актуальной, так и потенциальной бесконечности. Однако в них значительно преобладают свойства актуальной бесконечности. Изучение свойств потенциальной бесконечности только начинается и потому охарактеризовать их значительно сложнее, да и геометрия, имеющая своим базисом потенциальную бесконечность, только создается. Рассмотрим некоторые из свойств, которые проявляются в потенциальной бесконечности.

Прежде всего, потенциальная бесконечность предполагает материальность (телесность) пространства и его бесконечное самодвижение. Самодвижение как атрибут материи включает и движение тел относительно самих себя (пульсация) и перемещение их относительно друг друга и пространства. Именно повсеместное нескончаемое движение является символом потенциальной бесконечности. И его полностью отображает девиз, использованный капитаном Немо: «Подвижное в подвижном». Но не только движение.

Материальность и безграничность, понимаемые как бесконечность внутрь и наружу, предполагают наличие качественной иерархической, разграниченной между собой ранговой, ячеистой, взаимосвязанной структуры бесконечностей так, что каждый их уровень дискретен сам для себя и состоит из взаимосвязанных динамических ячеек. Но для «верхнего» ранга эта дискретность проявляется как непрерывность. То есть, как дискретность не различается. Эта непроявляемость дискретности - следствие несводимости одинаковых по мощности (одно качество), но различных по взаимодействию рангов (другое качество).

Пространство потенциальной бесконечности образуется определенным образом структурированной материей и обладает всеми свойствами материальных тел. Искривленность поверхности тел и пространства в смысле Римана, как и Эйнштейна, отсутствует. Свойства тел, включая время, бесчисленны, взаимосвязаны, взаимозависимы и принадлежат всем телам во всем бесконечном пространстве, как и самому пространству.

Тела движутся в вещественном пространстве, взаимодействуя с пространством и изменяя скорость в результате взаимодействия, с одновременным изменением количественных величин своих свойств. Само пространство повсюду неоднородно и анизотропно как вглубь, так и наружу. Его анизотропность проявляется в самодвижении, в существовании напряженностей различных полей, в наличии многоплотностных образований в каждой области пространства.

Потенциальная бесконечность многоплотностна (многомерна). Каждая мерность связана со всеми свойствами тел, образующих пространство, и обусловлена соответствующей плотностью. Введение методом Римана большого количества взаимно независимых мерностей возможно только мысленно и только в актуальном пространстве. Оно не отображает качественных различий в протяженностях и приводит к разрушению взаимосвязи между свойствами пространства.

При переходе к геометрии потенциальной бесконечности следует учитывать, что сложившееся понимание первичных элементов: точки, прямой, плоскости вряд ли применимо в рамках потенциальной бесконечности. Так, точка в потенциальной геометрии представляет собой бесконечную внутрь и отграниченную от внешнего пространства поверхностью сферу определенного ранга (короче - точка это сфера, не имеющая центра). Ее ранг не сопоставим с рангом окружающего пространства. Напряженные точки одного ранга при сближении «отталкиваются», а при раздвигании «притягиваются». То есть обладают физическими свойствами. Поэтому точки одного ранга не могут «выстраиваться» в линию «впритык». Обязательно между ними должно оставаться опять же несоизмеримое по рангу пространство, содержащее нейтральную зону одинаковой с другой точкой напряженности. Точки же различных рангов несовместимы и не могут «соседствовать» друг с другом. Движение точек (в смысле перемещения) сопровождается их качественным и количественным изменениями, а параметры движения определяются напряженностью внешнего поля. Метричность, в смысле существования жесткого неизменного во всех областях пространства единого эталонного метра, отсутствует (следствие анизотропности пространства). Движение твердого тела (метра) в любом направлении (кроме эквипотенциальной поверхности) сопровождается изменением его объема, и, следовательно, протяженности (конечно в сопоставлении со статическим состоянием). Геометрическая линия в потенциальном пространстве - условность. Она может быть проведена от поверхности одной точки до поверхности другой. За этой поверхностью линия стремится в бесконечность к недостижимому центру точки, и потому ее длина тоже бесконечна, а точка - всегда разрыв линии. Линией можно полагать след траектории движущейся точки. А поскольку точка в анизотропном пространстве не может двигаться с постоянной скоростью, то «искривление» линии и будет отражать эту реальность.

Движение и самодвижение тел-точек их силовая деформация (динамика) такая же равноправная категория геометрии, как и покой. Однако отображать движение в геометрии сложнее еще и потому, что именно покой как статичность - основная категория, определяющая структуру существующих геометрических соотношений (инвариантов) и одновременно динамичность как инвариантное отображение их бесконечности.

Таким образом, представление актуальной и потенциальной бесконечности имеет как общие свойства, связанные с самой бесконечностью, с ее неопределенностью, и безграничностью, так и различные свойства, характеризуемые для актуальности статичностью бесконечности, а для потенциальности - напряженностью, инвариантным «движением», становлением. Так, актуальную бесконечность наиболее полно отображает евклидова геометрия, а основные положения геометрии, отражающей потенциальную бесконечность, будут изложены ниже. Все остальные геометрии включают в себя в различных пропорциях свойства как актуальной, так и потенциальной бесконечности.

Однако оба вида бесконечности, - актуальная и потенциальная обладают одним общим качеством, которое, как это ни удивительно, до сих пор пропущено в философской литературе, делая ущербным и односторонним само понимание термина «бесконечность».

Рассмотрим, что же, в соответствии с диалектической логикой, означает само понятие «бесконечность», исходя не из понимания безграничной протяженности или пространственной распространенности, а из того, какой термин отображает противоположное понятие.

Общепринято и в учебниках по философии зафиксировано, что антиподом понятия «бесконечное» является понятие «конечное». Но понятие «конечное» предполагает существование у бесконечного «начала». Однако бесконечное потому и бесконечное, что не имеет ни начала, ни конца. Да и само «конечное» существует не потому, что имеется его «антипод» бесконечное, а потому, что существует более явный антипод «начальное». Понятие «конечное» антипод понятию «начальное», по структуре самой логики. Там, где появляется «конечное» почти всегда можно найти «начальное», но практически никогда «бесконечное», разве что в философской литературе. Так как «бесконечное» не имеет ни начала, ни конца, то и быть прямым антиподом конечного оно не может по определению. А поскольку в бесконечном «начало» и «конец» отсутствуют, то антиподом его может быть только термин «безначальное»

Понятие «бесконечное» по диалектике - это одновременно «безначальное».

Безначальное как антипод бесконечного логически отрицает существование конечного. Там где есть бесконечное, конечного быть не может.

По-другому говоря, у бесконечного ни в одной точке пространства не может быть начала. Бесконечный мир по определению не имеет ни конца, ни начала.

В сущности термин «бесконечное» это проявление антропоцентризма. Субъект всегда «движется» в бесконечность от себя, как от начала, как бы становясь центром мира. Не имея представления о безначальном, мы при бытийном логическом мышлении не можем выйти на понятие «конечное» и вынуждены вводить этот термин «руками», опираясь на эмпирику каждодневного и постоянного общения с конечными вещами. Вводить конечное, логически ошибочно понимаемое как противопоставление бесконечному. О понятии «конечное» философы уже были информированы хорошо, хотя и получили эту информацию, «перепрыгнув» через безначальное.

И, в общем-то, можно было бы и дальше обходиться без термина «безначальное». Но, не имея его, мы не в состоянии объяснить существование конечного в бесконечном. И более того, необъяснимым оказывается то обстоятельство, что бесконечное образуется вещами только конечными, поскольку у данных антиподов отсутствует переход от конечного к бесконечному. При наличии безначального возникает возможность такого перехода. И элементом перехода становится точка, тело другого ранга относительно бесконечного. То есть то, что по своему рангу не сопоставимо ни с чем и не имеет ни начала, ни конца (то, что ни начальное, ни конечное). Точка-тело, возникшая в бесконечности, сама по себе ни начало, ни конец и существует как бы как «неподвижное» образование. Но в природе неподвижность отсутствует и потому, пульсируя в унисон с окружающим пространством, точка приобретает движение. И в момент минимума и максимума пульсации у точки проявляются начало и конец. Безначальное становится начальным, а начальное, это то же, что и конечное. Так проявляет себя конечное в бесконечном. Так структура бесконечного образуется структурами конечными. Так может появляться выделенная точка на бесконечности в любой области этой самой бесконечности. Базисная точка, точка от которой начинается конечное в бесконечном.

Повторимся. Рассуждая о бесконечности и конечности на бытийно-логическом уровне, мы упираемся в скрытое противоречие отсутствия либо бесконечности, либо конечности вещей. Если у бесконечного отсутствует начало, то отсутствует и конец. Получается, что в природе нет ничего конечного. И, следовательно, нет никаких конечных вещей и нас с вами - конечных, рассуждающих о бесконечности. И снова перед нами антиномия и эта антиномия логически не преодолевается. Ее просто пропустили, постулировав самостоятельное существование конечного и бесконечного. Но мы-то существуем, доказывая это даже своими рассуждениями, и тем самым каким-то образом совершаем алогизм, разрешая противоречие. Каким же образом?

Мы уже констатировали, что бесконечное есть безначальное и вся природа не имеет ни начала, ни конца. Если этот тезис правомерен, то правомерен и противоположный тезис: каждая точка пространства есть начальная точка конечного, она же и конечная точка бесконечного. А из этой посылки вытекает одно из основных положений диалектики: Любая точка пространства и конечна, и бесконечна, и начальна, и безначальна. Все и конечно, и бесконечно. Каждая точка (тело) пространства индивидуальна. Тождественные точки (тела) в нем отсутствуют». Конечное и бесконечное в точке есть результат позиции наблюдателя (субъекта). Наблюдатель вне точки (тела) фиксирует ее конечность. «Переместившись» внутрь - фиксирует ее бесконечность.

Но, имея представление о безначальном и начальном, мы встаем перед проблемой: Как определиться в бесконечности с безначальной точкой? Иначе говоря, как выяснить в какой точке бесконечного пространства мы находимся? Ведь если каждая точка пространства индивидуальна, то мы, находясь на ней, должны всегда иметь возможность определить место своего нахождения, определиться с индивидуальностью этого места. Именно это и следует из диалектики начального и безначального. Естественно, что до постановки такого вопроса ответа на него не было. И современная математика такого ответа не дает. Поэтому оставим этот вопрос и перейдем к качественным аспектам математики.

1.7. Качественные аспекты математики

Природа, обозреваемая научными методами, состоит из отдельностей и потому главное внимание науки неявно и неосмысленно обращается на понятие «отдельного» и его отображение в основах математических символов, чисел, фигур.

В материальном мире отдельность это всегда тело, сохраняющее все материальные свойства (да иначе его невозможно и выделить из окружающего фона). Эта отдельность фиксируется мыслящим субъектом и бессознательно переносится на любое искусственное отображение и на объем, и на рисунок, и на индекс, и на букву, цифру или знак. Качество «отдельность» уравнивает в мышлении все окружающее: и предметы, и индексы, числа, знаки и становится основным отображением материальных предметов и их искусственных образов. Все, что не является отдельным, не воспринимается и потому не существует. Математики в своей индексации опираются именно на это главное для субъекта качество природы – отдельность. Все отграниченное от окружающей среды или фона, наделяется, в неявном виде, качеством отдельного. Операцияперенесения свойстваотдельного на все выделяемое и придает данному свойству всеобщий характер.

Таким образом, искусственные отображения предметов реального мира – индексы, символы, цифры и т.д. приобретают объективное содержание формального качества отдельного. Предметы и тела - естественные отдельности – целые. Индексы, числа, символы – «воображаемые» отдельности, символические отдельности. Без наличия качества «отдельность» появление математики было невозможным.Качество «отдельность» становится «проводником» исполнения законов диалектики в так называемых точных науках, становится первым и основным качеством отображения природы в мыслительном аппарате субъекта.

Отдельность не является абстракцией. Отдельность предметов и тел это внешнее отграничение формы от других отдельных в Целом, но не выделенных их из Целого. Это целое другого ранга. Оно носитель материального качества и как таковое обуславливает возможность логических операций с искусственными образованьями. Искусственные отдельности становятся как бы самостоятельными объектами, выделенными порождениями мышления (измышленными, потерявшими связь со свойствами природы), как бы априорными продуктами чистой человеческой логики. Именно это обстоятельство навело Канта, не имевшего представления об отдельном, на мысль, что «… все утверждения математики не являются неотъемлемыми признаками физического мира, а создаются человеческим разумом». И не только Канта, но и множество других философов и особенно математиков. Вот как сформулировал это кредо второй Ньютон Англии математик и физик Уильям Гамильтон: «Такие чисто математические науки, как алгебра и геометрия, являющиеся науками чистого разума, не подкрепляемые опытом и не получающие от него помощи, изолированными от всех внешних и случайных явлений…. Вместе с тем это идеи, рожденные внутри нас, обладание которыми в сколь нибудь ощутимой степени есть следствие нашей врожденной способности, проявление человеческого начала».

«Математик, – присоединяясь к ним, утверждает крупнейший математик Гильберт - творит понятия и аксиомы априорно» и «математика пользуется такими идеальными объектами, которые возникают при отвлечении от всех свойств материальных предметов, кроме количественных и им подобных отношений, пространственных и им подобных форм». Эти утверждения являются следствием отношения к математике как к умозрительной, количественной науке, не имеющей никаких связей с природными качествами. Существует, например, устоявшееся мнение, что «математика отвлекается от качественных особенностей объектов…». «Математика отвлекается …» не в большей мере, чем любая другая наука. Только количественное сопровождение математических операций, на которых концентрируется внимание в математике, вуалирует и отодвигает на второй план все те свойства, которые непосредственно не связаны с числами или индексами. И обусловлено это отсутствием представления о том, что все выделенные из окружающего фона природные и искусственные элементы обладают общим для всех их материальным качеством отдельного. Априорно ничего не творится. Утверждение об априорности математического творения игнорирует отдельность. Но без отдельности любое математическое понятие просто не существует. Математики всегда оперируют с отдельностями материального мира, с их свойствами, отличающимися от свойств окружающих тел только формальным характером (например, кажущейся безразмерностью) отображения отдельностей определенной формой символов или чисел. Качественные аспекты математики начинаются с понимания отдельного и его места в математических отношениях.

Отдельность и в математике не абстракция. Она отображает Целое в логических взаимосвязях индексов математики. И потому взаимосвязи искусственных отдельностей следуют законам существования Целого.

Ни одно искусственное понятие не может быть полной абстракцией, абстракцией в которой ничего нет из материального мира, поскольку в ней всегда отображается одно реальное природное свойство - отдельность. Привлечение в математическое понятие даже одного объективного свойства природы (точнее опора в любом понятии на свойство природы) а тем более на основное – отдельность, обусловливает математическим операциям с индексами и числами отображение определенной, скрытой от субъекта формы природных отношений. Отношений, обусловленных взаимодействием между телами. Другое дело, что это свойство методами аксиоматизации выхолащивается до полного исчезновения в понятийной форме. (Например, аксиоматика Гильберта, или, определение понятия «точка»: точка – тело не имеющее протяженности. Но и в этом случае сохраняется представление об отдельности точки.) Именно отдельность каждой фигуры или символа придает геометрии, как и всей математике, способность отображать формы реального мира. Отдельность это единственная природная форма, которая сохраняется при любых способах абстрагирования от реальности и потому остается в неявном виде во всех операциях математической логики, обусловливая возможность отображения реальных природных процессов. И как следствие, математические символы, сведенные в абстрактные уравнения различных разделов математики, всегда «помнят» по структурам этих уравнений о своей «принадлежности» тому или иному свойству или качеству материальных тел. Именно качество «отдельность», сохраняющее смысл целого и действующее как целое, обусловливает такую форму абстрактной памяти. А потому, подчастую, оказывается неожиданным появление в результате расчетов некоторых чисел или фигур, которые не закладывались и даже не предполагались в рассматриваемой системе уравнений.

Математик не воспринял первичности отдельности и перешел на логику бескачественного количества, не заметив, что вместе с количеством как отображением реальности в математическую логику вошло и формальное качество, качество самих формальных фигур, чисел, символов. Так математика превратилась в особую рассудочную науку, имеющую свой предмет, - число и фигуру. При этом не было замечено главное для этих предметов - отдельность. Забвение отдельности как целого, как основы всех предметов и обусловило появление аксиоматических методов сначала в математике, а затем и в других науках. Введение индексов, отвлекая от конкретного количественного содержания чисел, тем не менее, не отвлекает их от отдельности. Символ всегда сохраняет качество отдельности. Так незаметно произошел переход от предметов как отдельностей к классической концепции, забывающей об отдельности в математике и рассматривающей в качестве своего предмета числа и фигуры.

Символические отдельности не обладают всей гаммой свойств, присущих природным образованиям и потому несопоставимы как системы (они по совокупности свойств не равнозначны), но, будучи искусственно отделенными от среды и, обладая минимальным количеством природных свойств, символические отдельности становятся едиными понятиями с естественными отдельностями. Искусственное выделение обусловливает проявление в них свойств формальных, отображающих неявным образом некоторые аналоги природных свойств, позволяющих проводить с символами математики операции по законам диалектики.