Краткий анализ основ геометрий 2 страница

Но сами для себя и того множества, в которое эти числа входят, они обладают и качеством и, как уже упоминалось, индивидуальностью (иначе не видать бы им этого множества) будучи даже безразмерностными. Только их качественность имеет характер формального группового различия и не сразу определяется. К тому же количественная величина числа не считается индивидуальностью, поскольку можно написать бесчисленное множество чисел тождественных по количественной величине. (Например, в квантовой механике постулируется тождественность всех фотонов и электронов. Однако это не мешает физикам считать, к примеру, электрон не формальным образованием, а частицей, то есть индивидуальностью. Тем не менее, формальное тождество количественных величин многих чисел лишает на сегодня данные числа индивидуальности.)

Познакомимся с «обезличенными» числами бесконечного натурального ряда, названного Гегелем «дурным» за его «кажущуюся» бескачественность. Основное свойство чисел натурального ряда заключается в том, что операции сложения, вычитания и умножения с ними обусловливают появление тоже целых чисел. Рассмотрим элементы этого ряда и выясним, являются ли его члены качественными или бескачественными числами:

0; 1; 2; 3; 4; 5; … …25; 26; …

или

0 1 2 3 4… …25 26 …

Прежде всего, фиксируется то обстоятельство, что каждое число - целое, отделенное от другого целого точкой с запятой, запятой или некоторым пространственным промежутком. Это настолько привычно, что не вызывает никаких вопросов. А между тем вопрос присутствует: Зачем отделять числа друг от друга, если они и количественно, и качественно обезличены?

Оказывается если их не отделять, то бесконечного ряда просто не будет. Появляется не ряд, а что-то бесформенное и неопределенное. Поняв это, делаем первый вывод: чтобы иметь дело с определенными числами необходимо нужное количество цифр некоторым образом отделять от другого количества цифр (т.е. использовать геометрию). Эта известная всем с первого класса немудрящая процедура в диалектике является процессом наделения тела-целого качеством отдельного. По аналогии с выделением отдельного из целого констатируем: каждое математическое число само по себе обладает формальным качеством отдельного и уравнивается этим качеством со всеми другими числами. И как отдельное оно не имеет размерности.

Данное отдельное становится хотя и формальным (не имеющим размерности), но действенным качеством, объединяющим каждое число со всеми остальными числами. Каждое число - математическое целое. Такое же целое в математике, как материальное тело целое в природе. В нем неявно заложены свойства всех чисел математики. Оно, данное число, - «срез» в определенном месте бесконечного числового поля, представление чисел данного места. Вместилище всего множества чисел, проявленное через одно число. Оно математическое целое, выраженное посредством цифр или определенных знаков. Количество этих цифр и их численные величины - индивидуальность числа, его количественное свойство.

Отдельность - единое свойство всех абстрактных математических чисел. Через него у множества чисел появляется общее качество - отдельное, превращающее каждое число в математическое целое. А само число становится отдельным числом только тогда, когда оно отделено от другого числа некоторым подобием пространства или знаком, отображающим пространственность (прослеживается аналогия с разделением тел), и имеет свою индивидуальную численную величину.

Надо полагать, что математическое целое не то же самое, что телесное целое. Оно есть формальное «образование» и определяет только отдельность формы числа (поскольку не имеет размерности), можно сказать формальную отдельность одного, составленного из цифр числа, от другого. В этом случае, численная величина отдельности становится ее другой качественной определенностью, оставаясь также и ее индивидуальной величиной. И потому уже невозможно считать численную величину одной отдельности бескачественной относительно численной величины другой отдельности. Отсюда следует второй вывод: формальное безразмерностное количество приобретает в отдельном своеобразное значение качества, то есть, образует единое для всех чисел количественное (численное) качество, оставаясь индивидуальным для данной отдельности, для данного числа. Рассуждая онтологически, перед нами элемент своеобразного «превращения» численной (количественной) величины числа в его качественную составляющую, ту самую составляющую, которая и обусловливает существование закона перехода количественных изменений в качественные. Именно единое для всех чисел качество - «количественная величина числа» и определяет возможность проведения различных математических операций с числами.

Проведем еще одну операцию с рядом натуральных чисел. Не будем убирать точку с запятой, а уберем через число одну точку сверху. Например:

0,1; 2,3; 4,5; …; 25,26; … ® ¥ .

Получается осмысленный ряд. Но это уже не ряд целых чисел, а ряд чисел дробных. Причем в данном ряду не окажется ни одного целого числа. Однако все числа ряда обладают качеством отдельного и по этому качеству едины сами по себе и с целыми числами. Но у них появилось и новое качество, - качество дробности. И это новое качество делает целые и дробные отдельности качественно несопоставимыми между собой. Качественно различными числами по формальной количественной качественности.

Если качество целого единственно (в том смысле, что ряд заполнен только целыми числами), то качество дробного количества - множественно (дробные числа проявляют множество различных, формальных качеств). Но именно целые числа «порождают» большое разнообразие чисел дробных. И потому, без целого не получается дробного.

Целые числа тоже образуют множество. Например, множество различных, последовательных чисел натурального ряда, проявляющихся в процессе добавления к величине предыдущего числа количественной единицы. Процесс добавления единицы нарушает качественную однородность натурального ряда, образуя два новых качественно различных вида чисел:

- четные числа;

- нечетные числа.

Это хорошо известное качественное разделение целых чисел в арифметике и заложено в основу одного важнейшего гносеологического понятия - «противоположности». Обратим внимание: понятия «четное» и «нечетное» не несут никакого противоречия. Они противоположности, понимаемые как:

- четное одно количество,

- нечетное другое количество.

И ничего более. Это не логические противоположности типа да - нет, или «+», и «-», обусловливающие возникновение именно логического противоречия, хотя они по внутреннему смыслу тоже не противоречивы. Это те количественные противоположности, которые составляют сущность диалектического закона противоположностей. В таком понимании противоположности отсутствует даже намек на противоречия. Противоположностью оказывается различие чисел по численной величине, по количественному качеству. И только.

Без чисел, входящих в натуральный ряд, невозможно представить никаких целых чисел. При этом их разнородность начинается не с четных и нечетных чисел, а с первых двух цифр ряда 0 и 1, значительно отличающихся по своим свойствам от других чисел ряда.

Нуль и «ничто», и «все». Нуль - число особого качества. Единственное число в натуральном ряду, обусловливающее проведение таких математических операций, которые не могут проводиться ни с одним другим числом. Оно не относится ни к четным, ни к нечетным числам. Оно само по себе число.

Единица тоже качественно особое число и как начало счета натурального ряда чисел, и как число, не подвергающееся степенному «воздействию», и как делитель или сомножитель других чисел и т.д. Оно целое, основа качественного отдельного всех чисел. Предтеча различия целых, дробных и других «необычных» чисел.

Однако в математике на сегодня понятия о качественном различии между целыми и дробными числами отсутствует. И потому последовательный натуральный ряд целых чисел не считается полным, поскольку между любой парой целых чисел как бы можно расположить сколь угодно большое количество чисел дробных.

Эта удивительная логика почему-то забывает, что в промежутке между любыми двумя целыми числами находится не только множество простых дробных чисел, но и не меньшее количество тоже дробных иррациональных чисел. И стоит оказаться в этом промежутке хотя бы одному иррациональному числу, то его будет достаточно, чтобы прервать последовательность любой пары чисел, демонстрируя тем самым качественное отличие дробных чисел от целых, и бессмысленность утверждения о возможности существования между целыми числами даже одного дробного числа. Новое качество - свойство иррациональности, обусловливает невозможность завершения вычисления чисел и требует, как будет показано далее, осмысленного использования их в уравнениях, особенно при возможности сокращения на иррациональные числа.

Данный пример демонстрирует нахождение среди конечных, дробных чисел (дробление которых заканчивается на некоторой операции), чисел иного качества, вычисление точной величины которых не заканчивается за бесконечный промежуток времени. Да и сами целые числа легко и незаметно включаются в состав дробных простым добавлением «бесконечного» количества нулей после запятой или делением целого числа на единицу. Например, 25/1. (Это обстоятельство и спровоцировало представление о возможности расположения между целыми числами бесчисленного количества дробных чисел.) Каждое дробное число, как и целое, является индивидуальным по своему количественному качеству и единым со всеми другими числами по качеству «отдельного».

Но качественное разнообразие математических величин не заканчивается делением их на четные и нечетные, целые и дробные. Вслед за ними появляются числа соизмеримые и несоизмеримые, иррациональные и трансцендентные, мнимые и комплексные, гиперкомплексные и … т.д., демонстрируя формальную многокачественность самих математических величин. И, следовательно, возможность проведения математических операций с ними не только по качеству отдельного (которое у некоторых видов чисел может, по-видимому, оказаться несколько иным), но и по другим качествам.

Таким образом, каждое математическое число обладает, по меньшей мере, двумя формальными диалектическими свойствами-качествами (формальными, поскольку они не имеют размерности и качественно не связаны между собой), превращающими их в отдельности и индивидуальности:

Качественное свойство, - отображающее отдельное;

Количественное свойство, - индивидуальная величина числа.

Убедившись в том, что в математике отсутствуют «голые» числа, познакомимся в самой общей форме с теми процессами, которые носят название математические операции.

Математические операции с числами - это всегда качественные процессы даже тогда, когда они проводятся с «бескачественными» числами. И они протекают, как это показано выше, в полном соответствии с законом отрицания отрицания. Но те же самые процессы являются одновременно и процессами перехода количественных изменений в качественные. Покажем это на примере простого сложения:

2 + 2 = 4.

Два тождественных однокачественных по отдельности и по численной качественности целых числа при сложении образовали целое, отдельное того же качества, но другой по признаку отдельности численной величины, количественной качественности. Новую отдельность, не равную ни одной из двух слагаемых отдельностей, и ничем не напоминающую эти отдельности. И, следовательно, количественно иную отдельность. Отдельность иного количественного качества. То, что она имеет иное качество, нам не заметно уже потому, что мы не считаем количественную величину качественным показателем, поскольку считаем ее обезличенной безразмерностной и не обладающей вещественным качеством. Но обезличенность не может являться основанием для постулирования отсутствия качеств. Математические качества хотя и имеют формальный характер, но их формальность не противоречит диалектическим законам, и более того обуславливает математическим операциям возможность строгого соблюдения законов диалектики. И уже поэтому изменение количественной величины любого числа само обусловливает изменение того или иного качества. Особенно это заметно на операциях со степенями. Возьмем, например, целое число 2 и извлечем из него квадратный корень.

Ö2 = 1,414213562… .

До извлечения квадратного корня имелось два формальных качества: целое - как отдельность и целое число - как количество. В результате извлечения корня получили: сохранение одного качества - целого, как отдельности. И появление другого количественного качества - дробности. Но эта дробность, как бы не является «правильной» дробностью, она несоизмерима ни с другими дробями, ни с другими числами, поскольку обладает еще одним дополнительным, формальным качеством - иррациональностью. Данное качество выделяет иррациональные числа не только из целых чисел, но и из дробных. Оно обуславливает им свойство численной нескончаемости, а, следовательно, и невозможность проведения точных математических операций ни с целыми, ни с дробными, ни с иррациональными числами.

Получение новой количественной величины при извлечении квадратного корня из числа 2, породило новое формальное качество, отличающееся от всех остальных математических качеств. И так же, в полном соответствии с законами диалектики, проявлялись другие формальные математические качества, вызывая изумление своей «несуразностью» и, понятной всем математикам, ненадобностью. И математики, начиная с Пифагора, прилагали массу усилий для борьбы, в течение десятилетий и столетий, с этими «несуразностями», не замечая, что противоборствуют законам диалектики.

Представление о том, как с древнейших времен кардинально решаются проблемы осознания новых открытий в науке, и в частности в математике, дает нахождение иррациональных чисел пифагорейцами, описанное в [3]: «Открытие несоизмеримых соотношений легенда приписывает Гиппазию из Метапонта (V век до н.э.). По преданию, в тот момент, когда Гиппазий пришел к этому открытию, пифагорейцы находились в открытом море, - и они выбросили Гиппазия за борт, обвинив его в том, что он привнес в мироздание элемент, противоречивший пифагорейскому учению о сводимости всех явлений природы к целым числам или их отношениям».

Если даже этот случай является легендой, то это очень показательная легенда, демонстрирующая наглядно, как тяжело воспринимается учеными все то, что вносит элемент нового в уже устоявшуюся научную парадигму.

Естественно, что закон перехода количественных изменений в качественные действует во всей математике включая геометрию. Покажем это на простом геометрическом примере. Допустим, на плоскости проведена прямая А (рис. 15), и нам неизвестно какими свойствами обладает пространство этой плоскости. Пока прямая одна, никаких вопросов не возникает. Прямая А – одно, пока неизвестное качество. Проведем еще одну прямую Б. Две прямые – это уже другое качество. Нам еще неизвестно, что это за качество и как оно связано с прямыми А и Б. Чтобы определить новое качество, необходимо определиться с постановкой задачи. Говорить о постановке задачи без представления о том, какая и для чего нужна определенность, бессмысленно, поскольку у предмета бесчисленное количество качеств. Определенность сводит их к нескольким или даже к одному. Определенность достигается изменением количества рассматриваемых качеств.

Так вот, две прямые на плоскости (в зависимости от их взаимного расположения и пространства, в котором они находятся) могут оказаться параллельными либо в статической геометрии, либо в геометрии динамической. Определенность – это и есть условие проявления того качества, к которому относится рассматриваемое

Рис.15.

явление (фигура), а параллельность то новое качество, которое проявилось при добавлении на плоскости к одной прямой другой. Добавление нового количества в материальном мире принципиально, и всегда вызывает изменение качества.

Другое дело, заметно ли нам изменение или незаметно. Но оно всегда есть и всегда определяет нарождающееся новое качество предмета.

Перейдем к еще одному закону диалектики, закону единства противоположностей. Его очень часто и, похоже, ошибочно называют законом единства и борьбы противоположностей. Ошибка начинается с понимания термина «противоположность». Самое распространенное понимание термина включает понятия: контраст, антитеза, полярность и даже антипод, т.е. как бы в определенной степени противоречие. Но в математике не встречаются антиподы. В математике имеются числа и действия, которые хотя и противоположны по своему характеру, но определяются без всякого противоречия как одно и другое. Например, «+» и «-» : одно это плюс, другое это минус. Логические «да» или «нет» тоже обладают таким же качеством: да - это одно, нет - это другое.

Наконец, как было показано выше, последовательные четные и нечетные числа натурального ряда, которые естественно не являются противоположностями, и различаются только на единицу, тем не менее, определяются логически как противоположности. И можно сделать вывод, что противоположность это не противоречие, а две стороны одного и того же количественного качества: одно и другое.

Противоположность это не противоречие, а другое. То же самое, но другое. То же самое по качеству отдельности, но другое по количественному качеству. Математическая противоположность это численное отличие одной отдельности от другой. Количественная характеристика отдельного, или его другое качество. То самое, что отличает по величине одно число от другого. Противоположность это то, что исключает тождественность. Противоположность это изменение.

Понимание противоположности как существования полюсов у отдельного и их резкого противостояния вплоть до противоречия это не диалектика, это покушение на диалектику. Противоположность, понимаемая как противостояние, как противоборство, между качествами «отдельностей», отсутствует и не может возникнуть. Ибо это не количественное качество. Оно безразмерностная отдельность, подобная всем другим отдельностям и не изменяющаяся до определенного состояния с изменением своей количественной величины. Противоположности одной отдельности в математике не антагонистичны, они одно и то же, но разного численного количества.

Что-то приближающееся к противоречию, а скорее к безразличию, по-видимому, возникает в математике при неодинаковом изменении количественной величины каждой отдельности. Например, числа 4 и 3 - отдельности, сопоставимые между собой по количественному качеству. Допустим, число 3 возрастает и достигает величины 3×10⁷ или другой величины. Оно становится несопоставимым с числом 4, хотя оба они продолжают обладать одинаковым качеством отдельности, и никакого противоречия между ними не возникает. Дальнейшее возрастание числа 3×10⁷ переводит, его по количественной величине, в ранг бесконечности ¥. Число 3×10⁷ в новом ранге ¥, становится неопределенным по численной величине и, следовательно, хотя и остается той же самой отдельностью, переходит в новое количественное качество. Качество, полностью несопоставимое с числом 4 и потому ему не противоположное, а безразличное, поскольку ни в одной математической операции они

В вещественной природе, в отличие от математики, все качества взаимосвязаны. Однако, качество отдельного не является свойством или составной частью остальных качеств тел и не взаимосвязано с ними. Оно отображает только телесную безразмерностную самость - целое. Сами качества вещественных тел остаются неизменными до тех пор, пока существует сложившаяся взаимосвязь между ними. При изменении условий существования вещественных систем, так же как и в математике, происходит изменение численной величины каждого их свойства, постепенно перестраивающее эти взаимосвязи. Поскольку перестройка взаимосвязей происходит в условиях нелинейного изменения численных величин всех свойств (нелинейная деформация свойств), то наступает момент, когда некоторое свойство (свойства) разрушается, вызывая перестройку связей между всеми остальными свойствами. Происходит качественный скачок, количество переходит в качество. И возникает другое целое, другое вещество, имеющее другую количественную величину параметров и иную форму взаимосвязи всех свойств, иное качество. Вещество с иной численной величиной качеств, и может оказаться противоположным ранее существовавшему, возможно даже «антагонистичным» ему.

Таким образом, состояние, сопоставимое по одному качеству в формальной системе качеств, не может привести к противоречию, а только к противоположности. Противоречие возникает при несопоставимых численных величинах различных материальных качеств. Противоречия всегда вызываются разными величинами качеств. Противоположности - одинаковые качества, но разные численные количества свойств тел. Отсюда в материальной природе не может быть тождественных элементов. Постоянное численное изменение отдельного свойства тела (системы) - путь к противоречию.

Качество противоположности даже в математике может обусловливать стремление к изменению. Допустим, что имеется два последовательных числа 4 и 5. С первого же взгляда ясно, что это последовательные числа натурального ряда. В то же время они различны между собой количественно и как бы противополагаются друг другу (четное и нечетное), представляя собой количественные противоположности. Однако эти противоположности вызывают не противопоставления или противоборство, а понуждение к развитию ряда. И мы, интуитивно, не задумываясь, представляем, что слева от 4 может находиться только 3, а справа от 5 только 6. И понимаем, что этими, еще отсутствующими числами, ряд не заканчивается. Числовой путь только начинается и конца ему не предвидится. Это числовое единство отдельного, противоположного только по количественной величине, и вызывает внутреннее побуждение к развитию и к движению.

И можно констатировать: законы диалектики не нарушаются ни в одном разделе математики. Именно это обстоятельство и обусловливает математике поражающую всех универсальность и точность при использовании ее в естественных науках.

А теперь, переходя от математики чисел к геометрии, рассмотрим понятие «бесконечность» как то, что определяет пространственную протяженность (распространенность) природы и входит в качестве одной из базовых составляющих в геометрию.

1.6. Идеология пространственной

бесконечности.

Понятие «бесконечность» - ¥ - зародилось, скорее всего, при осмысливании последовательности натурального числового ряда. Последовательность натурального числового ряда – очень интересная вещь. Слово «по… следовать», или следовать ПО чему либо, недвусмысленно указывает на движение. Скажем, я двигаюсь по поверхности Земли и втыкаю колышки с табличкой (рис. 16).

Здесь колышки (цифры) неподвижны, а я двигаюсь с мешком колышков. Так вот, то, что воткнуто, пребывает неподвижным, а то, что в мешке, двигается со мной. В сущности, числовой ряд – это процесс, который начинается от точки, в которой мы в данный момент находимся. Все поставленные цифры - колышки относятся к другому классу – к классу неподвижных объектов. И поэтому никакой бесконечности ни дурной, ни хорошей нет. Есть две вещи:

а) ограниченное и точно известное число неподвижных объектов (мы их поставили);

б) есть процесс, который конечен в силу дискретности, создаваемой колышком «n» и колышком «n+1».

Рис. 16

Строго говоря, идея бесконечности возникает в уме, который не фиксирует, что фактически совершаются два маятникоподобных движения, а именно: «рывками» движение в сторону возрастания ряда и быстрое и непрерывное мысленное возвращение в начальную точку 1. Последнее позволяет сохранить и возобновить в памяти начало процесса, ибо только начало обеспечивает бесконечность движения от него. Иначе мы в любой отрезок времени (через час, через год, через миллион лет) будем иметь дело с двумя колышками n и n +1.

Общий вывод: Дискретное, то есть конечное (отграниченное) по определению, никогда не образует бесконечность – ни как движение, ни как процесс, ни как нахождение рядом, ни как отображение пространства.

Бесконечность возникает лишь как обратная сторона безначальности, о которой мы ничего сказать не можем, так как все, с чем мы имеем дело, конечно (дискретно, отдельно), а, следовательно, начально. Безначальное – это непознаваемое целое.

Вся наша космогония, да и все остальное, использующее понятие ¥ в физике и математике, – есть не более чем игра ума, построенная на иллюзии, что конечное отличается от бесконечного только тем, что в одном случае мы видим границу, а во втором она скрыта во мраке. И здесь забывается, что конечное это одно качество, бесконечное – другое, к тому же неизвестное, качество. А потому некорректно говорить о бесконечности природы или мира. Мир безграничен (т.е. и безначален и бесконечен одновременно) – поэтому нет никаких оснований для переноса любых умственных (или наблюдаемых в опытах) построений с граничными (дискретными, отдельными, конечными) объектами на него. Отсюда и все математические трюки с Вселенной, которая становится хоть и бесконечной, но ограниченной.

Для демонстрации непонимания бесконечности приведем пример о возрасте Вселенной из Клайна [3]:

«Начиная с Аристотеля, математики проводили различия между актуальной бесконечностью объектов и потенциальной бесконечностью. Чтобы пояснить эти понятия, рассмотрим возраст Вселенной. Если предположить, что Вселенная возникла в какой-то момент времени, в далеком прошлом, и будет существовать вечно, то ее возраст потенциально бесконечен: в любой момент времени возраст Вселенной конечен, но он продолжает возрастать и, в конце концов, превзойдет любое число лет. Множество (положительных) целых чисел также потенциально бесконечно: оборвав счет, например, на миллионе, мы всегда можем затем прибавить к нему 1, 2, и т.д. Но если Вселенная существовала в прошлом всегда, то ее возраст в любой момент времени актуально бесконечен. Аналогично множество целых чисел, рассматриваемое в «готовом виде» как существующая совокупность, актуально бесконечно».

Этот пример очень показательно демонстрирует непонимание качества бесконечности:

- Если Вселенная возникла, то она не может существовать вечно, так как вечно – это существовать всегда.

- Если же Вселенная существует всегда, то она не имеет возраста, так как растет только то, что ранее возникло, то есть, что движется от … к … , и, следовательно, конечно.

Отсюда бесконечное множество целых чисел в «готовом» виде существовать не может даже мысленно, поскольку для своего существования оно требует числа, с которого начинается отсчет. То есть наличия границы.

Поскольку бесконечное как безграничное качественно отличается от конечного, и неизвестно в чем заключается это отличие, математические операции с бесконечностью по правилам логики неправомерны. Единственное качество, которое известно о бесконечности, это безграничность, одновременное существование бесконечности и безначальности (полностью отсутствуют колышки, как и числа). Но если сущность бесконечного – безграничность, то ставится под сомнение корректность целого сонма математических теорем и даже разделов, например, теории бесконечных множеств Кантора, и, в частности, идеи взаимно однозначного соответствия между множествами. Взаимно однозначное соответствие предполагает, что на всем протяжении безграничного числового поля качество определяемого пространства и чисел, его заполняющих, остается неизменным. То есть опирается на формальную бескачественность чисел самих по себе. Покажем это еще на одном примере из того же Клайна [3]:

«Основная идея сводилась к установлению взаимно однозначного соответствия между множествами. Так, 5 книгам и 5 шарам можно сопоставить одно и то же число 5 потому, что книги и шары можно разбить на пары, каждая из которых содержит по одной и только по одной книге и по одному и только по одному, шару. Аналогичное разбиение на пары Кантор применил, устанавливая взаимно однозначное соответствие между элементами бесконечных множеств. Например, взаимно однозначное соответствие между положительными целыми числами и четными числами можно установить, объединив те и другие в пары: