Итерационные методы решения систем уравнений установившегося режима

Общая характеристика методов

Методы решения систем уравнений - прямые (точные) и итерационные (приближенные). Прямые применяются для решения систем линейных урав-нений, итерационные - для решения систем линейных и нелинейных уравне-ний.

Нелинейные уравнения установившегося режима формируются, если в узлах сети задана постоянная мощность(нагрузка или генерация).

Суть итерационных методов: задается некоторое начальное прибли-жение неизвестных U⁽⁰⁾, которое постепенно уточняется в ходе выполнения ряда однотипных шагов вычислений (итераций). Если итерационный про-цесс сходится, то получаем искомое решение U^(*) с заданной точностью.

Итерациями называются многократно повторяющиеся однотипные ша-ги вычислений.

Основные характеристики итерационных методов:

1. Условия сходимости к решению, при которых происходит приближе-ние к искомому решению U^(*), либо удаление от него;

2. Скорость сходимости. Характеризуется количеством итераций n, необ-ходимых для достижения решения с заданной точностью, или законом изменения вектора погрешности при переходе от итерации к итерации;

2.3. Характер сходимости. Сходимость – апе-риодическая или колебательная.

Возможно влияние на скорость сходимос-ти за счет введения дополнительных коэффици-ентов;

4. Необходимость хранения в памяти ЭВМ всех коэффициентов систем уравнений. Удобство программирования, простота алгоритмов и т.д.

Рассматриваем систему нелинейных уравнений установившегося режи-ма. В матричной форме она имеет вид:

(1)

В развернутой форме такая система уравнений может быть представлена в следующем виде:

(2)

Преобразуем систему (2) квиду, пригодному для решения ее итераци-онными методами. Для этого каждое уравнение системы решим относитель-но одной из неизвестных величин U_i:

(3)

Любое i-ое уравнение этой системы можно записать в общем виде:

(4)

Если задать начальные приближения неизвестных U⁽⁰⁾, подставить их в правую часть уравнений (4) и выполнить необходимые вычисления, опреде-лим следующее приближение неизвестных U⁽¹⁾ и т.д. Такая после-довательность действий соответствует методу простой итерации. Тогда (4) в итерационной форме:

(4а)

В матричной форме система (3) может быть записана следующим образом:

здесь - вектор неизвестных напряжений;

D - вектор свободных членов, ;

С - матрица коэффициентов при неизвестных, .

В итерационном виде система (5) принимает вид:

. (6)

Здесь к – номер приближения неизвестных.

Общий алгоритм итерационных методов решения СНАУ установившегося режима

1) Задание начальных приближений вектора неизвестных U⁽⁰⁾=U_ном.

Как правило, в качестве начальных приближений напряжений задают номи-нальные напряжения узлов U_ном.В некоторых случаях, в качестве начальных приближений напряжений принимают значения, полученные в предыдущих близких расчетах для данной схемы;

2) Задание точности расчета E, предельного количества итераций n_пред.,

начального значения счетчика итераций к=0 и других параметров расчета;

3) Выполнение итерации в соответствии с формулой (6):

;

4) Контроль завершения итерационного процесса:

Если условие не выполняется, то изменяем счетчик итераций (к=к+1) и возвращаемся к пункту (3). Повторяем расчет при новых приближениях неизвестных.

Если условие выполняется для всех значений U_i, то итерационный процесс завершается, найденные на последней итерации приближения неизвестных U^(k+1) принимаются в качестве искомых значений с заданной точностью.

Итерационные методы дают последовательность приближенных значе-ний неизвестных, сходящуюся к точному решению. Это означает, что су-ществует предел последовательности:

(7)

здесь U^{(* )} - точное решение при .

Таким образом, точное решение может быть получено лишь в резуль-тате бесконечного итерационного процесса. Всякий вектор U^(k), полученный на к-ой итерации, является приближенным решением системы уравнений.

Вектор погрешности этого приближенного решения:

(8)

Так как точное решение U^(*) заранее неизвестно, то о погрешности судят по разности значений на смежных итерациях (к+1) и к, то есть по вектору поправок:

(9)

Если для всех і, то итерационный процесс завершается.

Такой подход к контролю завершения итерационного процесса - не единственный и не очень надежный, так как возможно такое незначительное изменение приближений от итерации к итерации даже вдали от решения.

Более строгим и надежным способом контроля завершения итераци-онных процессов является контроль невязок уравнений. Невязка уравнения – разность между левой и правой частями уравнения. Её значение получаем при подстановке в уравнения системы (2) очередного приближения неиз-вестных. Например, для 1-го уравнения:

. (10)

Для УУР невязка уравнения соответствует расчетному небалансу тока (мощ-ности) в узле. При подстановке точных значений неизвестных U₁^(*),U₂^(*),…,U_n^(*) невязки будут равны нулю:

.

То есть если итерационный процесс сошелся, то невязки близки к нулю. И чем дальше приближение U_i^(k) от точного решения, тем больше величина не-вязок. В общем случае вектор невязок можно определить:

(11)

Итерационный процесс сошелся, если выполняются условия завершения итерационного процесса:

(12)

Это условие является более надежным критерием окончания итерационного процесса.

Достаточным условием сходимости итерационного процесса для урав-нений установившегося режима является:

, i ≠ j .

Т.о. условие сходимости определяется только соотношением элементов матрицы проводимостей Y . В ней диагональные элементы У_іі (собственные проводимости узлов) неравны нулю. Как правило, диагональные элементы матрицы проводимостей больше или равны суммы недиагональных элемен-тов. Т.е. при правильном формировании матрицы, это условие сходимости выполняется всегда.

Два вида сходимости итерационных процессов:

1. Экспоненциальный (апериодический):

2. Колебательный

Итерационный процесс может быть так же несходящимся (приб-лижения не приближаются и не удаляются от решения), либо рас-ходящимся (значения приближе-ний удаляются от точного реше-ния).

В случае не сходящихся или расходящихся итерационных процессов, нужно проверять правильность расчетов параметров схемы замещения, правильность расчета элементов и формирования матрицы проводимос-тей, анализировать величины токов и мощностей в заданных узлах.