Обращение матрицы коэффициентов системы уравнений установившегося режима

Ранее рассмотренные методы решения СЛАУ позволяют определить ре-шение системы, записанной в виде

Ax=B => . (1)

Часто требуется многократное решение систем уравнений установив-шегося режима при неизменной схеме электрической сети и её параметров и различных наборах заданных значений токов в узлах. Это означает, что мат-рица проводимостей Y остается неизменной, а изменяющимися являются зна-чения вектора свободных членов I. В этом случае решение системы уравне-ний (1) целесообразно искать в виде

, (2)

то есть матрица проводимостей обращается один раз, а решение системы уравнений при изменяющихся значениях элементов вектора І сводится к многократному умножению матрицы Y^-1 на новый вектор I.

Обращение матрицы проводимостей требует большого объема вычисле-ний. Существует различные методы обращения матрицы.

Обращение матриц методом упорядоченного исключения неизвестных

В соответствии с определением обратной матрицы - прямая матрица А, будучи умноженной на обратную матрицу А^-1, дает единичную матрицу Е, можно записать:

Если исходная матрица : ,

искомая обратная матрица: ,

тогда их произведение:

Перемножая строки матрицы А поочередно на столбцы матрицы А^-1, получаем n систем линейных уравнений, в каждой из которых в правой части будут элементы соответствующего столбца единичной матрицы, а неизвест-ными – элементы соответствующего столбца обратной матрицы.

При умножении первой строки матрицы А на первый столбец матрицы А^-1, получаем в правой части первый элемент 1-го столбца единичной матри-цы. Он равен 1. Умножив вторую строку матрицы А на 1-й столбец матрицы А^-1 получаем 2 –й элемент 1 – го столбца единичной матрицы (он равен 0) и т.д. Перемножив все n строк исходной матрицы А на 1- й столбец матрицы А^-1, получаем систему уравнений, в правой части которой – элементы 1–го столбца единичной матрицы, неизвестные – элементы 1–го столбца обрат-ной матрицы x_і1( і = 1, ... n ):

Решив эту систему уравнений, определим элементы первого столбца ис-комой обратной матрицы.

Вторую систему уравнений получим умножением матрицы А на второй столбец обратной матрицы. В полученной системе уравнений: в правой части – элементы 2–го столбца единичной матрицы, неизвестные – 2–й стол-бец обратной матрицы x_i₂( I = 1, … ,n):

Решив эту систему уравнений, найдем элементы второго столбца обрат-ной матрицы.

Перемножаем т.о. матрицу А на остальные столбцы матрицы А^-1. При умножении на последний столбец , получаем систему уравнений и решаем её:

В результате получили n независимых систем линейных уравнений с n неизвестными (элементы столбцов искомой обратной матрицы). Каждая система состоит из n уравнений. Решая их любым из известных методов, определим элементы обратной матрицы.

Метод прост алгоритмически, но требует большого объёма вычислений.

Решение систем линейных уравнений методом двойной фактори-

Зации

Решение ищем в виде:

Двойная факторизация - представление обратной матрицы в виде про-изведения элементарных верхних и нижних треугольных матриц, в которых не равны нулю элементы только одной строки или одного столбца. Такие матрицы называются факторными.

Произведение факторных матриц дает обратную матрицу.

Рассмотрим структуру факторных матриц:

1) Левая факторная матрица на к-м шаге факторизации L_k.

1
	1
		L_kk
		…	1
		L_nk		1

Элементарная нижняя треугольная матри-ца, в которой диагональные элементы рав-ны 1, в к-ом столбце диагональные и все поддиагональные элементы не равны ну-лю. Все остальные элементы матрицы рав-ны нулю. Таких матриц может быть n.

Элементы этой матрицы определяются по формулам:

2) Правая факторная матрица R_к.

1
	1
		1	r_r,k+1	...r_k,_n
			1
				1

Это элементарная верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.

В к-ой строке элементы, лежащие правее диаго-нали, не равны нулю. Все остальные элементы матрицы

равны нулю.

Таких матриц может быть n-1. Элементы мат-рицы R вычисляются по формуле:

k=1…n, j=k+1…n, i=k+1…n.

Теорема:

Для квадратной матрицы А размерностью существует n левых и (n-1) правых факторных матриц, таких, что их произведение дает обратную мат-рицу:

Здесь: А – исходная матрица; L – левые факторные матрицы, полученные на 1, 2, …, n шагах факторизации; R – правые факторные матрицы.

Существует эффективные алгоритмы перемножения факторных матриц, в которых нулевые элементы и единицы на диагонали не хранятся, а подразу-меваются в ходе вычислений. В памяти хранятся и участвуют в вычислениях только значащие элементы матриц.

Алгоритм факторизации:

1) Выбор очередного ведущего элемента а_кк, определяющего опорную

строку и опорный столбец;

2) На основе элементов опорной строки и опорного столбца

пересчитываются все остальные элементы матрицы по формуле:

R₂

R₁

(5)

3) Пересчитываем элементы опорного столбца

по формуле (1);

4) Пересчитываем элементы опорной строки по

формуле (3);

5) Пересчитываем ведущий элемент по формуле (2)

L₁… L_к … L_n

L₁

В результате этого получаем очередные (к-е) L_k и R_k факторные матрицы. Их значащие элементы расположены в опорном столбце (L_k) и в опорной строке (R_к). Единицы на главной диагонали и нулевые элементы этих матриц подра-зумеваются;

6) Если таким образом получены n левых и (n-1) правая факторная мат-рица, то переходим к пункту 7, иначе - возврат к пункту 1;

В результате все поле матрицы будет заполнено элементами факторных мат-риц L и R. Полученная матрица называется факторизованной;

7) Расчет обратной матрицы А^-1 перемножением факторных матриц по формуле (4);

8) Решение системы уравнений по формуле: .

Примечания:

1. Метод использует простые преобразования;

1.2. Объем занимаемой памяти ЭВМ зависит от степени разрежен-ности матрицы и последовательности выбора ведущих элемен-тов;

1.3. Возможность реализации серии расчётов режимов при меняющихся значениях элементов вектора І и неизменной матрице проводимостей Y.

Примеры:

Решение системы:

Решаем СЛАУ методом Гаусса. Прямой ход – 2 шага исключения неиз-вестных:

1-й шаг

Умножаем 2-е уравнение на -2 и складываем его с 1-м. При этом исключается х₁ из 2-го уравнения.

Умножаем 1-е уравнение на 5, а 3-е на -2 и складываем их. Исключается х₁из 3-го уравнения.

2-й шаг

Умножаем 2-е уравнение на -2 и складываем его

с 3-м. При этом исключается х₂из 3-го уравне- ния.

Получили эквивалентную систему уравнений с треугольной матрицей коэффициентов.

Обратный ход:

Из последнего уравнения находим х₃. Подставляем его во 2-е уравнение и из него находим х₂. Подставляем х₂ и х₃ в 1-е уравнение и определяем х₁.

Для проверки подставляем х_{1 ,}х_2,х₃в исходную систему.

Решаем СЛАУ методом Жордана

Нужно выполнить 3 шага исключения неизвестных.

В результате их исходная прямоугольная матрица коэффициентов преоб-разуется в единичную.

1-й шаг. Делим 1-е уравнение на коэффициент при х₁, т.е. 2. и исключаем х₁ из уравнений 2 и 3. Получаем эквивалентную СЛАУ:

2-й шаг. Делим 2-е уравнение на коэффициент при х₂ , т.е. 7 и исключаем х₂из уравнений 1 и 3. Получаем эквивалентную систему:

3-й шаг. Делим 3-е уравнение на коэффициент при х₃, т.е. -5.7 и исклю-чаем неизвестную х₃из уравнений 1 и 2. Получаем эквивалентную систе-му уравнений с единичной матрицей коэффициентов:

=> Результат решения СЛАУ очевиден: х₁= х₂ = х₃=1.

Т.е. искомые значения неизвестных равны правым частям уравнений сис-темы, полученным после n-го шага исключения неизвестных.

Решаем СЛАУ методом LU - факторизации

Для разложения матрицы коэффициентов на две треугольные – реализуем алгоритм Краута.

Выбираем опорный элемент. Он равен 2. Делим на него элементы опорной (1-й) строки. Опорный столбец (1-й) оставляем без изменений. Пересчитываем остальные элементы матрицы. Это 1-й шаг факторизации.

Снова выбираем опорный элемент. Он равен -7. Делим на него элемент опорной (2-й) строки. Опорный столбец (2-й) оставляем без изменений. Пересчитываем остальные элементы матрицы. Это 2-й шаг факторизации.

Из полученной матрицы выделяем нижнюю треугольную матрицу L (включающую и диагональные элементы) и верхнюю треугольную матрицу U (с единицами на диагонали). Их перемножение дает исходную матрицу коэффициентов.