ИЗМЕРЯЕМОЕ ДВИЖЕНИЕ 4 страница

До совершенства эту теорию довели шотландский математик Джеймс Кларк Максвелл и австрийский физик Людвиг Больцман в 1859 году и за несколько последующих лет. Итогом их математического подхода (в условия которого входило, что молекулы газа движутся по прямой в случайно выбранных направлениях и сталкиваются друг с другом и со стенками камеры с абсолютной упругостью, не теряя при столкновении энергии) стало установление связи скорости движения молекул с температурой газа.

Представьте себе, что две молекулы газа столкнулись. Они отскакивают в разные стороны, изменив после столкновения направление движения и, вероятнее всего, скорость. Однако суммарный импульс системы остается при этом постоянным (см. главу 3), так что скорости, которые обе частицы могут иметь после столкновения, далеко не произвольны.

Но даже в этом случае распределение скоростей частиц после столкновения может быть различным. Если, к примеру, быстро движущаяся молекула сталкивается с медленно движущейся, то может получиться так, что медленная остановится, а быстрая отлетит в сторону еще быстрее, чем раньше, обладая всем суммарным импульсом обеих молекул до столкновения. Возможно также (причем куда более вероятно), что в результате скорости обеих молекул изменятся в сторону усреднения – быстро движущаяся молекула станет двигаться медленнее, а медленно движущаяся – быстрее.

Это можно наблюдать на примере бильярдных шаров. Во времена Максвелла атомы и молекулы так и представляли в виде сверхмалых бильярдных шаров. Сейчас их представляют уже не так; на самом деле сейчас уже известно, что строение их настолько сложно, что их невозможно представить в виде чего бы то ни было нам знакомого, не покривив при этом душой. Однако для описаний в рамках кинетической теории газов аналогии с бильярдными шарами вполне достаточно.

Предсказать, как именно перераспределятся скорости двух конкретных молекул после их столкновения, невозможно. Однако в отношении бессчетного множества квинтиллионов столкновений (а именно столько их и происходит каждую секунду в любом объеме газа, достаточно большом, чтобы его можно было увидеть) вполне допустимо использовать статистические методы для установления среднестатистического распределения скоростей. С их помощью можно показать, что молекулы любого заданного объема газа имеют некую «наиболее вероятную» скорость, к которой в той или иной степени тяготеют все молекулы этого объема. В любой отдельно взятый момент времени одни молекулы будут двигаться чуть (или значительно) быстрее этой «наиболее вероятной» скорости, другие – чуть (или значительно) медленнее.

^{Рис. 5. Скорость молекул и температура}

Довольно сложное математическое выражение, получившее название «статистический закон распределения Максвелла–Больцмана» (рис. 5) в честь разработавших его ученых, позволило подсчитать процентное соотношение молекул любого заданного объема газа, относящихся к группам с различным значением скорости (при условии, что известны температура газа и масса составляющих его молекул). Если изобразить эту формулу в виде графика отношения скорости к процентному соотношению обладающих данной скоростью молекул, то получим плавную кривую, достигающую пика на значении равном «наиболее вероятной» скорости, а затем – так же плавно снижающуюся.

Теперь можно провести прямую связь между температурой и движением молекул газа. В любом газе, при любой температуре скорость отдельных молекул может принимать значения от нуля до крайне высокой. Однако наиболее вероятная скорость оказалась находящейся в прямой пропорции к квадратному корню от абсолютного значения температуры. По мере повышения температуры наиболее вероятная скорость молекул газа увеличивается. Если абсолютная температура возрастает в четыре раза, то наиболее вероятная скорость молекул – в два.

Так что для любого отдельного газа температура является величиной, тесно привязанной к наиболее вероятной скорости молекул. Однако для того, чтобы корректно обобщить это правило для любых газов, надо принять в расчет массу молекул этого газа. При любой заданной температуре, согласно формуле Максвелла–Больцмана, наиболее вероятная скорость обратно пропорциональна квадратному корню этой массы. Чем массивнее молекулы, тем медленнее они движутся. Молекула кислорода в шестнадцать раз массивнее молекулы водорода, поэтому молекула водорода движется в четыре раза (четыре – квадратный корень из шестнадцати) быстрее, чем молекула кислорода при любой заданной температуре.

Но кинетическая энергия, как уже объяснялось в главе 3, равняется произведению половины массы на квадрат скорости, и вкупе со всеми только что приведенными данными мы получаем, что при любой заданной температуре средняя кинетическая энергия молекул всех газов одинакова. Молекулы одного газа могут быть массивнее молекул другого, но тогда они обладают меньшей скоростью; если же их масса меньше, то и скорость их соответственно выше. Так или иначе, произведение массы на квадрат скорости будет во всех случаях одинаково. А поскольку скорость увеличивается пропорционально квадратному корню температуры, то и кинетическая энергия, пропорциональная квадрату скорости, является прямо пропорциональной температуре (см. рис. 5).

То есть можно сказать, что словом «температура» мы называем среднюю кинетическую энергию молекул, из которых состоит газ.

Оказалось, что это отношение справедливо для всех веществ, не только для газов. Точнее, для жидкостей и твердых тел сильно отличаются только условия. Молекулы, составляющие газ, находятся далеко друг от друга и движутся независимо. В жидкостях молекулы находятся в постоянном контакте и могут лишь скользить друг по другу, а в твердых телах – вообще жестко закреплены в общей структуре и даже скользить не могут. Тем не менее молекулы жидкостей начинают скользить друг по другу, а молекулы твердых тел – вибрировать на своих жестко установленных местах с большей энергией по мере возрастания температуры.

Аналогичным образом по мере понижения температуры все вещества теряют энергию, и при абсолютном нуле энергетическое содержание всех веществ сводится к минимуму. Собственно, до последнего времени принято было считать, что этот минимум равен нулю, но современная теория говорит о том, что даже при абсолютном нуле в веществе остается некий неизвлекаемый минимум энергии. Это объясняет, в частности, странные свойства гелия при температурах близких к абсолютному нулю.

Теперь давайте представим, что некий объем горячего газа вошел в соприкосновение с другим объемом холодного газа. Кинетическая энергия молекул горячего газа в среднем выше, чем молекул холодного газа. При столкновении двух молекул из разных объемов, скорее всего, кинетическая энергия «горячей» молекулы будет больше, чем «холодной», несмотря на то что вполне возможны и противоположные сочетания. Если вас смущает последняя оговорка, представьте себе такую аналогию: уровень жизни в США выше, чем уровень жизни, скажем, в Египте, так что наугад выбранный американец с преобладающей вероятностью окажется богаче наугад выбранного египтянина, хотя, конечно, в Египте можно найти людей, которые будут богаче многих американцев.

Точно таким же образом, не исключено, что в результате столкновения «горячая» молекула получит еще больше энергии за счет «холодной» молекулы и станет еще «горячее». (Понятно, почему я взял слова «холодная» и «горячая» в кавычки, – потому что отдельная молекула в принципе не может быть ни холодной, ни горячей, эти понятия применимы только в целом к системам, состоящим из огромного числа молекул.) Однако с большей вероятностью «горячая» молекула энергию потеряет, а «холодная» – получит, и обе останутся с неким усредненным количеством энергии, а значит – и температуры.

При большом количестве столкновений лишь единицы приведут к увеличению разности энергий участвовавших в них молекул, а подавляющее большинство – к уменьшению этой разности. Вероятность того, что при единичном столкновении «горячая» молекула приобретет энергию, а «холодная» – потеряет, мала, но вероятность того, что такая случайность повторится многократно, еще меньше.

Следовательно, в ходе множества случайных столкновений средняя кинетическая энергия молекул, а значит и температура, горячего газа (как и любого другого горячего предмета) уменьшится при контакте с холодным газом (или любым другим холодным предметом), а температура холодного, – наоборот, увеличится. Тепло будет перетекать от горячего предмета к холодному, пока средняя кинетическая энергия всех молекул обоих предметов не приобретет некое общее усредненное значение.

В чем отличия такого представления от старой теории тепла, как нематериального тока? Согласно старой теории, тепло перетекало от объектов с высокой температурой к объектам с низкой, повинуясь второму закону термодинамики, не подразумевающему ни исключений, ни модификаций. Согласно же кинетической теории, поток тепла есть среднестатистический результат случайных столкновений, который теоретически может оказаться и иным, так что второй закон термодинамики больше не может считаться абсолютно неизбежным. В принципе не исключено такое стечение обстоятельств, что множество «горячих» молекул наберут энергию из «холодных» и тепло перетечет, таким образом, из холодного предмета к горячему. То есть кинетическая теория не считает невероятным, что вода в чайнике, поставленном на огонь, не закипит, а замерзнет и огонь станет еще жарче.

Вероятность такого события (просчитанная на основе уравнений Максвелла) настолько ничтожно мала, что даже если бы вся Вселенная состояла только из стоящих на огне чайников, то шансов дождаться, чтобы хоть один из них замерз за все время существования Вселенной, у нас все равно не было бы практически никаких.

Разница между неизменным потоком тепла и потоком, испытывающим постоянные колебания, с философской точки зрения, конечно, огромна, но с практической настолько незначительна, что Максвеллу пришлось специально изобретать способ ее хоть как‑то подчеркнуть. Поэтому он придумал крошечное существо, которое с заслонкой сидит на трубе, соединяющей две камеры с газом, температура в которых сначала одинакова. Существо, выдуманное Максвеллом, занималось следующим: когда к трубе подлетала из правой камеры быстро движущаяся молекула, оно пропускало ее через трубу, а медленные – не пропускала. Из левой же камеры оно, наоборот, пропускало все медленные молекулы, а быстрые – нет. Таким образом, в левой камере собирались быстро движущиеся молекулы, и сама камера нагревалась, а в правой – медленно движущиеся, и камера остывала. Таким образом, тепло перетекало бы из холодной камеры в горячую, что для старой теории тепла было неприемлемо, а для кинетической – вполне допустимо. Это воображаемое существо было названо «демоном Максвелла», и с тех пор этот «демон» известен как идеальный борец с энтропией.

Впрочем, подобные демоны водятся не только в наших фантазиях. В реальной жизни тоже существует некий аналог «демона Максвелла». Среднестатистические свойства молекул столь близки к неизменным только потому, что при обычных обстоятельствах мы имеем дело с телами, состоящими из огромного количества молекул. По мере уменьшения количества молекул в системе шансы наткнуться на заметное отклонение от среднестатистической вероятности возрастают. Когда речь идет о действительно малых количествах, ровное единообразие полностью пропадает.

В качестве такого примера можно назвать наблюдение, которое произвел в 1827 году шотландский ботаник Роберт Броун, отметивший, что цветочная пыльца, будучи распыленной в воде, как‑то странно шевелится то в одном, то в другом направлении, очевидно, случайным образом. Сначала он решил, что пыльца движется сама, поскольку в ней скрыта живая сила, но вскоре обнаружилось, что подобным образом шевелятся и любые другие маленькие предметы (например, распыленные красители). В честь первооткрывателя это явление было названо «броуновским движением».

Примерно в 1890 году Больцман продемонстрировал, что броуновское движение можно объяснить с помощью кинетической теории. Он отметил, что любой находящийся в воде предмет со всех сторон подвергается бомбардировке молекулами окружающей его воды. Статистически количество ударов, получаемых им с одной стороны, будет уравновешиваться количеством ударов, получаемых с другой, и в итоге предмет будет оставаться неподвижным.

Понятно, что точно равным количество ударов с обеих сторон не будет, но при обычных обстоятельствах это не важно, разница будет незначительна. Если с одной стороны предмет получил квинтиллион ударов, а с другой в этот же момент – квинтиллион и двенадцать, то такое неравенство останется незамеченным. Однако при уменьшении размеров находящегося в воде тела общее число ударяющих по его площади одновременно молекул тоже уменьшится, и то же самое небольшое неравенство станет ощутимее. Если взять настолько маленькое тело, что одновременно в него будут ударять лишь сто молекул с одной стороны и сто двенадцать – с другой, эти двенадцать ударов разницы, незаметные в первом случае, теперь могут оказать вполне реальное воздействие. Больцман продемонстрировал, что применительно к очень малым телам случайное движение молекул, при котором возникает перевес ударного воздействия то в одну, то в другую сторону, вполне может привести к поведению характеризуемому броуновским движением.

Таким образом, мы имеем дело со своего рода демоном Максвелла, шевелящим тела, которым по прежней теории предназначено было пребывать в неподвижном состоянии. Поскольку движения частиц строго хаотичны, то никакой направленности в долгосрочной перспективе в отношении крупных тел в них просматриваться не может.

В 1905 году Альберт Эйнштейн разработал точную математическую модель броуновского движения, а в ходе точных экспериментов 20‑х и 30‑х годов XX века были измерены даже скорости движения молекул в газах, и оказалось, что их распределение в точности соответствует расчетам кинетической теории.

Энтропию тоже можно рассматривать в свете кинетической теории. Однако сначала разберемся в значениях слов «порядок» и «хаос».

Интуитивно мы называем «порядком» любое положение вещей, в котором присутствует некая математическая или логическая закономерность. Если же никакой системы в положении вещей вычленить невозможно, мы называем это хаосом.

Можно сказать так: порядок – это когда одну часть системы можно отличить от другой, а хаос – когда четкой границы нельзя провести нигде. Чем более четки различия между частями системы, тем более она упорядоченна.

Часто используемым примером упорядоченной системы является колода карт, где все карты сгруппированы по мастям и карты каждой масти расположены по старшинству. Заранее известно, что первая карта – пиковый туз, вторая – пиковый король и так далее по всем остальным мастям. Можно точно определить порядковый номер любой карты в колоде.

Если же разбивка колоды по мастям сохраняется, но в пределах каждой масти карты не расположены по старшинству, такая система уже менее упорядоченна. В отношении любой пиковой карты можно сказать только то, что она находится «где‑то в первой четверти колоды», но точнее определить ее местонахождение уже невозможно.

Если же колода хорошо перетасована, то вообще ничего невозможно сказать ни об одной из карт. В этом случае мы имеем дело со «случайным распределением», то есть с хаосом.

Теперь давайте представим себе ситуацию возрастающей энтропии, например перехода тепла от горячего тела к холодному (это классический пример увеличения энтропии). По мере перетекания тепла горячее тело охлаждается, а холодное – нагревается, пока оба они не будут иметь некую среднюю температуру.

Во время этого процесса увеличивается не только энтропия, но и хаос. В частности, до начала теплопередачи оба тела (горячее и холодное) легко отличить друг от друга хотя бы по их температуре, если даже они и являются совершенно одинаковыми во всех остальных отношениях. По мере перетекания тепла от одного к другому разница между ними становится все меньше и в конце концов исчезает полностью.

Опять же, если свести вместе объем кислорода и объем водорода, температура и давление в которых равны, то они перемешаются, пока общий объем не будет содержать равномерную смесь обоих газов. Поскольку это спонтанный процесс, значит, при нем происходит возрастание энтропии. И поскольку в результате два легко различимых объекта становятся неразличимы, то, значит, хаос при этом тоже возрастает.

На самом деле в каждом конкретном случае можно провести параллели между возрастанием энтропии и возрастанием хаоса. Энтропия и хаос – это аналогичные явления.

Поскольку все спонтанные процессы подразумевают увеличение энтропии, то, значит, они подразумевают и увеличение хаоса. Странно было бы ждать, что тепло будет само по себе переходить от холодного тела к горячему, а смесь газов – сама по себе рассортировываться на составляющие.

Это утверждение справедливо и в отношении самого первого из наших примеров – колоды карт. Сложенная упорядоченным образом колода сама по себе, конечно, не перетасуется, но это лишь потому, что она вообще не будет подвергаться никаким изменениям. Но предположим, что мы создадим некие условия, при которых колода будет подвергаться неким изменениям, причем таким, которые будут определяться исключительно случайным образом. Например, если мы сбросим карты с крыши дома на мостовую. Тогда колода разлетится на отдельные карты. Если теперь эти карты собрать, не глядя на их достоинство, то в результате мы получим совершенно случайную последовательность, несмотря на то что начинали они свой полет в строгом порядке. Таким образом, мы имеем очередной спонтанный процесс, в котором возрастают и энтропия, и хаос.

Перетасовывание карт – тоже пример спонтанного процесса (в том смысле, что карты при нем распределяются случайным образом), при котором возрастают как энтропия, так и хаос. На самом деле честное перетасовывание карт случайным образом – обязательное условие для честной игры в карты.

Для того чтобы перевести колоду карт обратно из хаотичного в упорядоченное состояние, необходимо сесть и разложить ее, уделяя внимание каждой карте (то есть, в терминологии нашей первой главы, необходимо «совершить усилие», уменьшая энтропию). Глупо было бы ждать, что колода вдруг придет в упорядоченное состояние сама собой, если ее долго перетасовывать или подбрасывать в воздух.

Точнее, существует ненулевая вероятность, что перетасовывание колоды может привести к образованию где‑то в ней коротенькой упорядоченной последовательности или даже длинной – ведь бывает же, что при сдаче на руках у одного играющего оказывается тринадцать пик. Это явление того же порядка, что и замерзание воды в поставленном на огонь котелке. Разница лишь в масштабах вероятности – увидеть на руках тринадцать пиковых карт вполне возможно лишь потому, что их в колоде всего пятьдесят две. Если бы карт в колоде было столько же, сколько молекул в котелке с водой, то и шансы вытащить случайным образом четверть из них так, чтобы все вытянутые карты оказались одной масти, были бы такими же ничтожными, как и увидеть замерзающую воду в котелке.

Из всех форм энергии тепло больше всех тяготеет к хаосу. То есть вещества, отличающиеся друг от друга только тепловым содержанием, труднее различить, чем вещества, отличающиеся количеством излучаемого света или положением в гравитационном или электромагнитном поле. Следовательно, во всех спонтанных процессах, где используется нетепловая энергия, часть энергии всегда переходит в тепло, что само по себе является примером возрастания энтропии.

По той же логике, все содержащееся в системе тепло никогда не может быть полностью переведено в нетепловую энергию, поскольку такой процесс подразумевал бы уменьшение энтропии. В действительности же если часть тепла переводится в другую форму энергии, то энтропия в оставшейся части возрастает настолько, что более чем компенсирует свое снижение, получившееся в процессе перехода тепловой энергии в нетепловую.

Таким образом, очевидно, что кинетическая теория газов, разработанная во второй половине XIX века, удовлетворительным образом объясняет термодинамические явления, зафиксированные в наблюдениях первой половины столетия под влиянием теории теплорода.

Однако, как уже упоминалось в начале главы, в рамках этой новой теории объясняется и то, как человеческий организм может производить работу, сохраняя при этом свою температуру неизменной, чего прежняя теория объяснить не могла. Я этого не забыл, и мы методично движемся к выполнению обещанного. Важнейшими понятиями теперь для нас станут «атом» и «молекула» – понятия, которых в прежней теории не было, но в новой являющиеся краеугольными.

Глава 7.