Начально-краевая задача для однородного уравнения теплопроводности (пример решения)

Решить начально-краевую задачу для однородного уравнения теплопроводности

С однородными граничными условиями и заданным начальным условием

Решение:
Сначала решим задачу Штурма-Лиувилля,

С однородными граничными условиями

методом разделения переменных.
Будем искать частные решения однородного уравнения, удовлетворяющие однородным граничным условиям в виде

Поставим это выражение в исходное уравнение

И разделим переменные

Получим дифференциальные уравнения

Подставим граничные условия

в выражение

Так как.

тождественно не равны нулю, то

Решение задачи Штурма-Лиувилля: собственные значения и соответствующие им собственные функции при

имеют следующий вид

Рассмотрим уравнение

при

При

общее решение можно записать в виде:

.

На данный момент найдено множество счетных решений

А решение всей задачи будем искать в виде функционального ряда

,

предполагая, что его можно дважды дифференцировать по переменной х и один раз по переменной t. Поставим в это решение для определения коэффициентов начальное условие

Подставим коэффициенты и получим