Глава 11. Линии второго порядка, заданные общими уравнениями

§146. Диаметр, сопряжённый данному неасимптотическому направлению

I. Общая теория.

Теорема 1. Геометрическим местом середин хорд линии второго порядка, параллельных вектору неасимптотического направления, является прямая линия; эта прямая линия называется диаметром данной линии, сопряжённым рассматриваемым параллельным хордам. Если линия второго порядка задана относительно ОДСК общим уравнением а её хорды параллельны ненулевому вектору (неасимптотического направления), то уравнение диаметра, сопряжённого этим хордам имеет вид:

. (2)

Доказательство. Пусть прямая , коллинеарная вектору неасимптотического направления по отношению к линии (1), пересекает эту линию в точках и . Обозначим через середину отрезка . Уравнение ука-занной прямой можно записать в виде , . Значения параметра , соответствующие координатам точек и , определяются из уравнения

которое получим, подставив в уравнение (1) вместо и их выражения из формул , .

Пусть и - корни этого уравнения. Так как и

- это координаты точек и на прямой с началом координат в точке и масштабным векто-ром , а точка - середина отрезка , то точка на прямой в указанной системе координат имеет координату , а так как с другой стороны из соотношений , ясно, что для точки , то и (т.к. по теореме Виета корней) поэтому .

Это соотношение, таким образом, является необ-ходимым и достаточным условием того, что хорда, имеющая направление вектора точкой делится пополам. С другой стороны, каждая прямая, параллельная вектору , пересекает линию (1) в двух точках (действительных различных, мнимых различных или действительных совпадающих); (для каждой прямой, параллельной вектору , координаты меняются, но всякий раз они удовлетворяют уравнению первой степени), поэтому геометрическим местом середин хорд линии (1), параллельных вектору , является вся прямая, уравнение которой имеет вид:

. (4)

В этом уравнении коэффициенты при и одно-временно в нуль не обращаются, так как, если бы мы имели и , то было бы выполнено и соотношение:

или

, т.е. вектор имел бы асимптотическое направление.

Из уравнения (4), рассматривая его как уравнение прямой в общем виде , находим координаты направляющего вектора диаметра, сопряжённого хордам, параллельным ненулевому вектору : , . (5)

Умножая первое из этих соотношений на , а второе на и складывая, получим:

. (6)

Таково необходимое и достаточное условие, связывающее координаты ненулевого вектора , параллельного хордам линии второго порядка, заданной общим уравнением (1) относительно ОДСК, и координаты ненулевого вектора , параллельного диаметру, сопряженному этим хордам.

(Вектор ненулевой, т.к. в противном случае из соотношений , мы бы получили, что

, или

, т.е. вектор имел бы асимптотическое направление).

Соотношение (6) выполняется для асимптотического направления линии второго порядка, если в нём положить и (так как тогда мы получим ), поэтому асимптотическое направление линии второго порядка часто называют самосопряжённым.

Теорема 2. Если линия второго порядка является линией, имеющей единственный центр, и, если рассмотреть семейство параллельных хорд этой линии, не имеющей асимптотического направления, то диаметр, им сопряжённый, также не имеет асимптотического направления; если взять семейство хорд линии второго порядка, параллельных этому диаметру, то диаметр, им сопряжённый, будет параллелен хордам первоначального семейства.

Доказательство. Пусть относительно ОДСК задана линия второго порядка общим уравнением: Предположим, что эта линия имеет единственный центр, т.е. . Возьмём любой ненулевой вектор , не имеющий асимптотического направления, и рассмотрим уравнение диаметра

,

Сопряжённого хордам, параллельным вектору . Направляющий вектор этого диаметра имеет координаты: , . Векторы и неколлинеарны, так как

Вектор не имеет асимптотического направления. В самом деле, так как , то числа и не обращаются в ноль одновременно. (Ну смотрите. Если определитель не равен нулю, то в каждом столбце должен быть хотя бы один ненулевой элемент, например: . Далее, вектор также ненулевой, то есть, или , или не равны нулю, например: .

Тогда: . Видно, что первый элемент ненулевой).

В связи с этим, уравнение: , (7) в котором и рассматриваются как неизвестные, не может иметь двух линейно независимых решений. Но одним из его решений является пара координат вектора (т.к. это соотношение (6) в теореме 1), направлению которого сопряжен диаметр с направляющим вектором , неколлинеарным вектору . Значит, координаты вектора не удовлетворяют уравнению (7), то есть:

, или

, то есть - вектор, не имеющий асимптотического направления линии (1).

Теперь, из соотношения (6):

в силу его симметрии относительно пар чисел и следует, что если линия второго порядка имеет единственный центр, то диаметр, сопряжённый хордам, параллельным вектору , коллинеарен вектору . Теорема доказана.

Определение. Два диаметра линии, имеющей единственный центр, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряжёнными.

Условие можно теперь интерпретировать как необходимое и достаточное условие сопряженности двух диаметров линии второго порядка, имеющей единственный центр и заданной общим уравнением (1) относительно ОДСК. Если и , то это необходимое и достаточное условие сопряженности можно записать в виде: , где и - угловые коэффициенты диаметров.

Теорема 3. Если линия второго порядка имеет единственный центр, то любая прямая неасимптотического направления, проходящая через её центр, является диаметром этой линии.

Доказательство. Если линия, заданная общим уравнением (1), имеет единственный центр, то прямые

где , пересекаются в её центре (поскольку Вы знаете, что это система для определения координат центра), но в таком случае уравнение любой прямой , проходящей через центр линии, можно записать в виде пучка прямых: , где хотя бы одно из чисел или не равно нулю.

Значит, прямая является диаметром линии, сопряжённым хордам, параллельным вектору , если этот вектор неасимптотического направления. Но из неасимптотичности направления прямой вытекает неасимптотичность сопряжённого ей направ-ления (теорема 2 настоящей лекции), следова-тельно прямая является диаметром. ЧТД.

Теорема 4. Если линия второго порядка является линией параболического типа, то диаметр, сопряжён-ный хордам линии, параллельным неасимптотическо-му направлению, имеет асимптотическое направление.

Доказательство. Вектор , коллинеарный ди-аметру, сопряжённому хордам, имеющим неасимпто-тическое направление , имеет координаты:

, . Отсюда, в силу находим: . (Проверим равенство . Подставим и :

Аналогично . Значит,

или

, т.е. вектор имеет асимптотическое направление. Теорема 4 доказана.

Замечание. Разделив обе части уравнения на , получим квадратное уравнение: . Корни которого равны . В силу того, что дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю, получаем, что вектор имеет асимптотическое направление. Аналогично, разделив уравнение

на , получим, что вектор имеет асимптотическое направление. То есть векторы и , по крайней мере один из которых ненулевой, имеет асимптотическое направле-ние для линии параболического типа.

Теорема 5. Если линия - парабола, то диаметром является любая прямая, имеющая асимптотическое направление относительно этой линии.

Доказательство. Если линия является параболой, то на основании теоремы 4 все её диаметры имеют асимптотическое направление. Докажем, что и обратно: любая прямая , имеющая асимптотическое направление параболы, является её диаметром.

Возьмём на прямой произвольную точку и выберем ненулевой вектор , не имеющий асимптотического направления, и такой, чтобы его координаты удовлетворяли соотношению:

. Для этого достаточно положить , . Вектор ненулевой, т.к. для параболы, заданной общим уравнением, система: несовместна (это система для определения центра линии, а у параболы нет центра). А если система несовместна, то определитель её равен нулю (а он равен нулю, т.к. это , а у параболы ), а ранг расширенной матрицы равен 2, поэтому али , или , не равны нулю, т.е. вектор ненулевой.

Далее, этот вектор не имеет асимптотичес-кого направления, т.к. предполагая обратное, т.е. или

. Откуда:

. Поскольку вектор ненулевой, а определитель , то мы должны иметь и . Теперь в выражение подставим значения и . Получим:

Аналогично . Далее, рассмот-рим систему: , умножаем: вычитаем:

.

В этом уравнении , ,

, т.е. все коэффициенты и свободный член равны нулю. Таким образом, предположив, что вектор имеет асимптотическое направление, мы получили, что система совместна, что для параболы невозможно.

Значит, при указанном выборе и уравнение будет урав-нением прямой . Теорема 5 доказана.

Замечание. Если линия имеет прямую центров, то каждая точка этой прямой должна принадлежать каждому из диаметров линии. Таким образом, прямая центров оказывается единственным диаметром линии; так как в рассматриваемом случае линия второго порядка есть пара параллельных (или совпадающих) прямых, а линия центров есть прямая линия, лежащая посередине между ними, то эта последняя прямая и будет единственным диаметром линии (распадающейся на две параллельные или совпадающие прямые).

II. Диаметры линий второго порядка, заданных каноническими уравнениями.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то здесь , , , , и уравнение диаметра , сопряжённого хордам, параллельным ненулевому вектору , будет иметь вид: ; а уравнение диаметра, сопряженного с ним: . Это из того, что хорды имеют направляющий вектор ; значит прямая с этим направляющим вектором должна иметь вид: .

На рис. 216 изображён эллипс, два его сопряженных диаметра и хорды, параллельные каждому из них.

Рис. 216.

Если гипербола задана каноническим уравнением , то здесь , , , , и уравнение диаметра , сопряжённого хордам, параллельным ненулевому вектору , не имеющему асимптотического направления (т.е. неколлинеарному ни одному из векторов ), будет иметь вид: ; а уравнение диаметра, сопряженного с ним: . Это из того, что хорды имеют направляющий вектор ; значит прямая с этим направляющим вектором должна иметь вид: .

На рис. 217 изображена гипербола, два её сопряженных диаметра и хорды, параллельные каждому из них.

Рис. 217.

Уравнение диаметра параболы , сопряженного хордам, параллельным ненулевому вектору имеет вид: , ил , где - угловой коэффициент хорд. Все диаметры параболы параллельны её оси. На рис. 218 дано одно из семейств параллельных хорд и сопряженный им диаметр.

Рис. 218.