Центр поверхности второго порядка
Определение. Центром поверхности второго поряд-ка называется центр симметрии этой поверхности.
Теорема 1. Пусть относительно ДПСК поверхность второго порядка в пространстве задана следующим общим уравнением:
Для того, чтобы начало координат было центром этой поверхности, необходимо и достаточно, чтобы в её уравнении отсутствовали члены с , и в первой степени, т.е. чтобы . Иначе, чтобы уравнение (1) имело следующий вид ( ):
Доказательство необходимости. П редположим, что начало координат является центром поверхности (1). Возьмём на поверхности (1) произвольную точку . Её координаты будут удовлетворять уравнение (1), а так как начало координат является центром симметрии поверхности (1), то уравнению (1) будут удовлетворять и координаты точки симметричной точке относительно начала координат, т.е.
Из этого соотношения и соотношения (1) находим:
. Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности (1). Предположим, что хотя бы одно из чисел , , не равно нулю. Тогда все точки поверхности лежат в плоскости . Это может быть тогда и только тогда, когда уравнение (1) определяет две плоскости, совпадающие с плоскостью . Тогда левая часть уравнения (1) разлагается в произведение двух линейных относительно , , множителей, одним из которых является выражение :
. Плоскость, заданная уравнением , на основании сделанного замечания (тогда левая часть уравнения (1) разлагается в произведение двух линейных относительно , , множителей) должна совпадать с плоскостью , значит , . И поэтому . Здесь мы приходим к противоречию с тем, что в уравнении (1) хотя бы один из коэффициентов при , или в первой степени отличен от нуля (т.к. если раскроем этот квадрат - первых степеней мы не получим).
Теорема 2. Если относительно ДПСК поверхность второго порядка задана общим уравнением (1), то координаты , , её центра определяются из системы: (2)
Причём в случае несовместности этой системы поверхность не имеет центра.
Доказательство. Произведём параллельный пере-нос данной ДПСК, при котором новым началом будет точка . Обозначая старые координаты произвольной точки через , а новые её координаты - через , будем иметь: ; ; и уравнение (1) примет вид:
Где - результат подстановки координат точки в левую часть уравнения (1). На основании предыдущей теоремы 1 точка будет центром поверхности (1) тогда и только тогда, когда члены с первыми степенями равны нулю, т.е. ЧТД.
§ 155. Классификация поверхностей второго порядка по характеру места центров.
Пусть поверхность второго порядка задана общим уравнением (1) относительно ДПСК. Рассмотрим матрицы и .
В таблице 1 даны необходимые и достаточные признаки характера места центров поверхности, заданной уравнением (1).
Таблица 1
Ранг А | Ранг А* | Характер места Центров |
Точка | ||
Нет центра | ||
Прямая | ||
Нет центра | ||
Плоскость |
В самом деле, если каждое из уравнений системы (5) является уравнением первой степени, т.е. в каждом из уравнений системы (5) хотя бы один из коэффициентов не равен нулю то в таблице 1 приведены известные нам признаки о взаимном расположении 3 плоскостей.
Дата добавления: 2016-01-20; просмотров: 2844;