Касательная плоскость к поверхности второго порядка

Определение. Точка , лежащая на поверхности второго порядка, заданной относительно ОДСК общим уравнением (1) называется неособой, если среди трёх чисел: есть хотя бы одно, не равное нулю.

Таким образом, точка , лежащая на поверхности второго порядка, является не особой тогда и только тогда, когда она является её центром, иначе, когда поверхность коническая, а точка - вершина этой поверхности.

Определение. Касательной прямой к поверхности второго порядка в данной на ней не особой точке называется прямая, проходящая через эту точку, пересекающая поверхность второго порядка в дву-кратной точке или являющаяся прямолинейной образующей поверхности.

Теорема 3. Касательные прямые к поверхности второго порядка в данной на ней не особой точке лежат в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в рассматриваемой точке. Уравнение касательной плоскости имеет

вид:

Доказательство. Пусть , , параметрические уравнения прямой, проходящей через неособую точку по-верхности второго порядка, заданной уравнением (1). Подставляя в уравнение (1) , , вместо , , , получим:

Так как точка лежит на поверхности (1), то и из уравнения (3) находим (это значение соответствует точке ). Для того, чтобы точка пересечения прямой с поверхностью (1) была двойной, или чтобы прямая целиком лежала на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

Если при этом:

, то точка пересечения прямой линии с поверхностью (1) двойная. А если:

, то прямая целиком лежит на поверхности (1).

Из соотношений (4) и , , следует, что координаты , , любой точки , лежащей на любой касательной к поверхности (1) удовлетворяют уравнению:

Обратно, если координаты какой-нибудь точки , отличной от , удовлетворяют этому уравнению, то координаты , , вектора , удовлетворяют соотношению (4), а это значит, что прямая - касательная к рассматриваемой поверхности.

Так как точка - неособая точка поверхности (1), то среди чисел , , есть по крайней мере одно, не равное нулю; значит уравнение (5) есть уравнение первой степени относительно . Это и есть уравнение плоскости, касательной к поверхности (1) в данной на ней не особой точке .

Исходя из канонических уравнений поверхностей второго порядка легко составить уравнения касательных плоскостей к эллипсоиду, гиперболоиду и т.д. в данной на них точке .

1). Касательная плоскость к эллипсоиду:

.

2 ). Касательная плоскость к одно и двуполостному гиперболоидам:

.

3 ). Касательная плоскость к эллиптическому и гиперболическому параболоидам:

.

§ 161.Пересечение касательной плоскости с поверхностью второго порядка.

Примем неособую точку поверхности второго порядка за начало координат ОДСК, оси и расположим в плоскости касательной к поверхности в точке . Тогда в общем уравнении поверхности (1) свободный член равен нулю: , а уравнение плос-кости, касающейся поверхности в начале координат, должно иметь вид: .

Но уравнение плоскости, проходящей через начало координат имеет вид: .

И, так как это уравнение должно быть эквивалентно уравнению , то , , .

Итак, в выбранной системе координат уравнение поверхности (1) должно иметь вид:

Обратно, если , то уравнение (6) является уравнением поверхности, проходящей через начало координат , а плоскость - касательная плоскость к этой поверхности в точке . Уравнение линии, по которой касательная плоскость к поверхности в точке пересекает поверхность (6) имеет вид:

; .

Если . Это инвариант в теории инвариантов для линий второго порядка. Уравнение (7)

- это же линия второго порядка. По виду этой линии инвариант , поэтому:

При здесь две мнимые пересекающиеся прямые.

При - две действительные пересекающиеся прямые.

Если , но хотя бы один из коэффициентов , , не равен нулю, то линия пересечения (7) - две совпадающие прямые.

Наконец, если , то плоскость

входит в состав данной поверхности, а сама поверхность распадается, следовательно, на пару плоскостей

§ 162.Эллиптические, гиперболические или параболические точки поверхности второго порядка.

1. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум мни-мым пересекающимся прямым. В этом случае точка называется эллиптической точкой поверхности.

2. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум действительным прямым, пересекающимся в точке касания. В этом случае точка называется гиперболической точкой поверхности.

3. Пусть касательная плоскость к поверхности второго порядка в точке пересекает её по двум совпадающим прямым. В этом случае точка называется параболической точкой поверхности.

Теорема 4. Пусть поверхность второго порядка относительно ОДСК задана уравнением (1) и данное уравнение (1) является уравнением действительной нераспадающейся поверхностью второго порядка. Тогда, если ; то все точки поверхности эллиптические.

Доказательство. Введём новую систему координат , выбирая за начало координат любую неособую точку данной поверхности и располагая оси и в плоскости, касательной к поверхности в точке . Уравнение (1) в новой системе координат преобразуется к виду:

где . Вычислим инвариант для этого уравнения .

Так как при переходе от одной ОДСК к другой ОДСК знак не меняется, то знаки и противоположны, поэтому, если , то ; и, как следует из классификации (см. § 161) касательная плоскость к поверхности в точке пересекает поверхность по двум мнимым пересекающимся прямым, т.е. - эллиптическая точка.

Если , то , касательная плоскость к по-верхности в точке пересекает её по двум прямым, пересекающимся в точке ; точка - гиперболическая.

Если, наконец, , то и , касательная плоскость к поверхности в точке пересекает её по паре совпадающих прямых; точка - параболическая.

Ограничиваясь действительными нераспадающимися поверхностями второго порядка и вычисляя , например, по каноническим уравнениям этих поверхностей, убедимся в том, что:

1) Эллипсоид, двуполостный гиперболоид и эллиптический параболоид состоят из эллиптических точек.

2) Однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид состоят из гиперболических точек.

3) Действительный конус второго порядка (вершина исключается), эллиптический (действительный), гиперболический и параболический цилиндры состоят из параболических точек.

Параболический цилиндр.

Чтобы определить расположение параболического цилиндра, достаточно знать:

1) плоскость симметрии, параллельную образующим цилиндра;

2) касательную плоскость к цилиндру, перпендикулярную к этой плоскости симметрии;

3) вектор, перпендикулярный к этой касательной плоскости и направленный в сторону вогнутости цилиндра.

В случае, если общее уравнение определяет параболический цилиндр, оно может быть переписано в виде:

или

Подберем m так, чтобы плоскости

были бы взаимно перпендикулярными:

откуда

При этом значении m плоскость

будет плоскостью симметрии, параллельной образующим цилиндра.

Плоскость

будет касательной плоскостью к цилиндру, перпендикулярной к указанной плоскости симметрии, а вектор

будет перпендикулярен к найденной касательной плоскости и направлен в сторону вогнутости цилиндра.