Примеры решения задач. Пример 18. Три точечных заряда Q1= Q2= Q3=1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника

Пример 18. Три точечных заряда Q₁= Q₂= Q₃=1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q₄ нужно помесить в центр треугольника, чтобы указанная система находилась в равновесии.

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой из зарядов, например Q₁, находился в равновесии. Заряд Q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующая на него сил равна нулю (рис. 6):

равнодействующая сил F₂ и F₃ .

через F₂ и F₃ и учитывая, что F₂= F₃, получим

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q₁= Q₂= Q₃, найдем

,

откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, cos α =cos 60⁰=1/2.

С учетом этого формула (2) примет вид

.

Подставим числовые значения

Пример 19.Два заряда и расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной Определить напряженность и потенциал электрического поля в третьей вершине треугольника.

Р е ш е н и е.1.Напряженность электрического поля в точке A (рис. 7) является геометрической (т. е. векторной) суммой напряженностей и полей, создаваемых зарядами и соответственно:

Модуль результирующий напряженности может быть найден по теореме косинусов как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и

(1)

Напряженность электрического поля точечного заряда выражается формулой

(2)

где Q – заряд, создающий поле; - электрическая постоянная; - диэлектрическая проницаемость среды; r – расстояние от расчётной точки поля до заряда, его создающего.

Так как то имеем

(3)

Поскольку преобразуем:

(4)

Подставив (3) и (4) в (1), получим

(5)

Выразим числовые значения величин в СИ:

Проверим формулу (5):

Подставим в формулу (5) числовые данные и вычислим

Примечание. В расчётную формулу (5) подставлены модули зарядов, поскольку их знаки учтены при выводе этой формулы.

2. Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов и полей, создаваемых зарядами и соответственно:

(6)

Потенциал поля точечного заряда выражается формулой

(7)

В формуле (7) обозначения те же, что и в формуле (2). Подставив (7) в (6) и учитывая, что получим

(8)

Подставив числовые значения величин в (8) и вычислим:

Пример 20. Электрическое поле создается двумя зарядами Q₁= 4мкКл и Q₂=-2 мкКл, находящимися на расстоянии а=0,1 м друг от друга. Определить работу А_1,2 сил поля по перемещению заряда Q=50 нКл из точки 1 в точку 2 (рис.8)

Решение.Для определения работы А_1,2 сил поля воспользуемся соотношением

Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим потенциалы φ₁ и φ₂ точек 1 и 2 поля:

; с.

Тогда

,

или

.

Проверим, даст ли правая часть равенства единицу работы (Дж):

Подставим числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 21. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ₁=10⁶ м/с, чтобы скорость его возросла в n=2 раза.

Решение.Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов U:

(1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

, (2)

где Т₁ и Т₂- кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m- масса электрона; υ₁ и υ₂- начальная и конечная скорость его.

Приравняв правые части равенства (1) и (2), получим

,

где .

Отсюда искомая разность потенциалов

.

Произведем вычисления:

.

Пример 22. Конденсатор емкостью С₁=3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁=40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С₂=5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры,

, (1)

где W₁- энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W₂- энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

, (2)

где С- емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

, (3)

где U₂- разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

. (4)

Подставив выражение U₂ в (3), найдем

,

или

.

Произведем вычисление:

.

Пример 23. Потенциометр сопротивлением R=100 Ом подключен к батарее с ЭДС ε=150В и внутренним сопротивлением R_i=50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра сопротивлением R_v=500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов междутеми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Решение. 1. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 9), определим по формуле

,

где R₁- сопротивление, параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра; I₁- суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).

Силу тока I₁ найдем по закону Ома для полной цепи:

, (1)

где R_e сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений:

. (2)

Сопротивление R₁ найдем по формуле параллельного соединения проводников ,откуда

.

Подставив в (1) выражение R_e по (2), найдем

.

В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтом удобно вычисление величин провести раздельно:

;

;

.

2. Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметра равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра:

, (3)

где I₂ - сила тока в цепи при отключенном вольтметре. Ее определим по формуле

.

Подставив выражение I₂ в (3), найдем

.

Произведем вычисления:

.

Пример 24. Сила тока в проводнике сопротивлением R=20 Ом нарастает в течение времени Δt=2 с по линейному закону от I₀=0 до I= 6 А (рис 10). Определить теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂- за вторую, а также найти отношение Q₂/ Q₁

Решение. Закон Джоуля- Ленца в виде справедлив для постоянного тока (I=const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае

, (2)

где k-коэффициент пропорциональности, характеризующий скорости изменения силы тока:

.

С учетом (2) формула (1) примет вид

. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t₁ и t₂:

.

Произведем вычисления:

Следовательно,

,

т.е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.

Пример 25. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I=60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнит­ную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 11) , отстоящей от оси одного про­водника на расстоянии r₁ = 5 см, от другого —r₂ = 12 см.

Решение.Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции маг­нитных полей. Для этого определим направления магнит­ных индукции B₁ и B₂ полей, создаваемых каждым про­водником с током в отдельности, и сложим их геометрически:

В=В₁ + В₂.

Модуль вектора В может быть найден по теореме коси­нусов:

, (1)

где α — угол между векторами В₁ и В₂.

Магнитные индукции B₁ и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁и г₂ от проводов до точки А:

;

Подставляя выражения B₁и B₂в формулу (1) и вынося за знак корня, получаем

Вычислим cos α. Заметив, что (как углы c соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем

где d — расстояние между проводами. Отсюда

.

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 26. Длинный провод с током I= 50 А изогнут под углом . Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 12). Расстояние d = 5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматри­вать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис. 13) . В соответствии с принципом супер­позиции магнитных полей магнитная индукция В в точ­ке А будет равна геометрической сумме магнитных ин­дукции В₁ и В₂ полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е. В=В₁ + В₂. Магнитная индукция В₂ равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лап­ласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода,

([dlr])=0.

Магнитную индукцию B₁ найдем, воспользовавшись соотношением

,

где r₀ — кратчайшее расстояние от провода 1до точки А (рис. 13).

В нашем случае (провод длинный), (cosα₂=cos(2π/3)=-1/2). Расстояние Тогда магнитная индукция

Так как B=B₁(B₂=0), то

Вектор В сонаправлен с вектором В₁ и определяется правилом правого винта. На рис. 13 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно пло­скости чертежа, от нас).

Произведем вычисления:

Пример 27. Два бесконечно длинных провода скреще­ны под прямым углом (рис. 14). По проводам текут токи I₁ = 80 А и I₂=60 А. Расстояние d, между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точ­ке A, одинаково удаленной от обоих проводов.

Решение. В соответствии с принципом суперпо­зиции магнитных полей магнитная индукция В поля, создаваемого токами I₁и I₂, определяется выра­жением

В = В₁ + В₂, где В₁ — магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₁;В₂ — магнитная индукция по-, созданного в точке Атоком I₂.

Заметим, что векторы B₁ и В₂ взаимно перпен­дикулярны (их направле­ния находятся по правилу буравчика и изобра­жены в двух проекциях на рис. 15). Тогда модуль вектора В можно опреде­лить по теореме Пифа­гора:

,

где B₁и В₂ определяются по формулам расчета магнит­ной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

и

В нашем случае r₀ = d/2. Тогда

Произведем вычисления:

Пример 28.Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 16. Радиус R дуги окруж­ности равен 10см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током I=80 А, текущим по этому проводу.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: . В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. 17): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2)радиуса R. Тогда

где B₁, В₂ и Вз — магнитные индукции в точке О, созда­ваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси провода 1, то В₁ = 0 и тогда

Учитывая, что векторы В₂ и В₃ направлены в соответ­ствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

Магнитную индукцию В₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому

.

Магнитную индукцию В₃ найдем, воспользовавшись соотношением

В нашем случае r₀=R, α₁=π/2 (cos α₁=0), (cos α₂=-1).Тогда

Используя найденные выражения для В₂ и В₃, получим

или

Произведем вычисления:

Пример 29. По двум параллельным прямым проводам длиной l=2,5м каждый, находящимся на расстоянии d=20 см друг от друга, текут одинаковые токи I=1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое дей­ствует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удоб­ства I₁ и I₂) текут в одном направлении. Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле.

Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис. 18) через второй провод и по касательной к ней — вектор магнитной индукции В₁. Модуль магнитной индук­ции В₁ определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током I₂ длиной d l действует в магнитном поле сила

Подставив в это выражение B₁согласно (1), получим

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Заметив, что I₁ = I₂ = I, получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

Произведем вычисления:

'

Сила F сонаправлена с силой dF (рис. 18) и опреде­ляется (в данном случае проще) правилом левой руки.

Пример 30. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциа­лов U = 600 В, влетел в однород­ное магнитное поле с индукцией B = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Решение. Движение заря­женной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том слу­чае, когда частица влетит в маг­нитное поле перпендикулярно ли­ниям магнитной индукции v В.Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору v, то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение а_n.

Согласно второму закону Ньютона,

(1)

 

где m — масса протона.

 

На рис. 19 совмещена траектория протона с пло­скостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора v. Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору v к центру окружности (векторы а_n и F_л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора В).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в про­екции на радиус) :

(2)

В скалярной форме Fл=QvВ sinα. В нашем случае v В и sin α = 1, тогда Fл= QvВ. Так как нормальное ускоре­ние а_n= v²/R, то выражение (2) перепишем следующим образом:

Отсюда находим радиус окружности:

R=mv/(QB) (3)

Заметив, что mv есть импульс протона (р), это выраже­ние можно записать в виде

R=p/(QB)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = ΔТ, или

Q(φ₁- φ₂)=T₂-T₁

где φ₁-φ₂ - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U) ; Т₁ и Т₂ — начальная и ко­нечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией прото­на (Т₁«0) и выразив кинетическую энергию Т₂ через импульс р, получим

QU=p²/(2m)

Найдем из этого выражения импульс и подставим его в формулу (3) :

или

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

Подставим в формулу (4) числовые значения физи­ческих величин и произведем вычисления:

Пример 31.Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В= 0,2 Тл) , стал двигаться по окружности радиуса R=5см. Определить магнитный момент р_т эквивалент­ного кругового тока.

Решение. Электрон начинает двигаться по окруж­ности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На

 

рис. 20 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас» (обозначены крести­ками).

Движение электрона по окруж­ности эквивалентно круговому току, который в данном случае опреде­ляется выражением

где е — заряд электрона; Т — пе­риод его обращения.

Период обращения можно выра­зить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период Т = v/ (2лR). Тогда

I_экв=|е| v/(2πR) (1)

Зная I_экв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

Рm=IэквS, (2)

где S — площадь, ограниченная окружностью, описывае­мой электроном (S = πR²).

Подставив I_экв из (1) в выражение (2), получим

Сократим на πR и перепишем это выражение в виде:

(3)

В полученном выражении известной является ско­рость электрона, которая связана с радиусом R окруж­ности, по которой он движется, соотношением R = mv/(QB) (см. пример 6). Заменив Q на │e│, найдем интересующую нас скорость v=\е\ВR/т и подставим ее в формулу (3):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу магнитного момента (А∙м²):

Произведем вычисления:

Пример 32. Электрон движется в однородном магнит­ном поле (В=10мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.

Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (α≠π/2) к линиям магнитной индук­ции. Разложим, как это показано на рис. 21, скорость v электрона на две составляющие: параллельную вектору в(v‌‌) и перпендикулярную ему (v ). Скорость v в магнит­ном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v в результа­те действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (Fл ) (в отсутствие параллельной со­ставляющей (v‌‌ ‌ = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной маг­нитным силовым линиям). Таким образом, электрон бу­дет участвовать одновременно в двух движениях: равно­мерном перемещении со скоростью v ‌ ‌ и равномерном движении по окружности со скоростью v

Период обращения электрона связан с перпендику­лярной составляющей скорости соотношением

Т=2πR/v . (1)

Найдем отношение R/v . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение а_п=v² /R. Согласно второму закону Ньютона можно написать

или

где v =vsinα

Сократив (2) на v ., выразим соотношение

R/v (R/v =m/ B)

и подставим его в фор­мулу (1):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):

Произведем вычисления:

Модуль скорости v, как это видно из рис. 20, можно выразить через и :

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляю­щую скорости:

Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обра­щения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстоя­ние, равное шагу винтовой линии, т.е. , откуда

.

Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу — метр (м) . Поэтому в квад­ратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

Произведем вычисления:

 

Пример 33.Альфа-частица прошла ускоряющую раз­ность потенциалов U= 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е= кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа - частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа - частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы:

,

откуда

. (1)

Скорость альфа - частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца , направленная перпен­дикулярно скорости и вектору магнитной индукции В;

Рис. 22

б) кулоновская сила cонаправленная с вектором напряженности Е электростатического поля ((Q>0). На рис. 22 направим вектор магнитной индукции В вдоль оси Оz, скорость v — в положительном направлении оси Ох, тогда F_л и F_k будут направлены так, как показано на рисунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометрическая сумма сил F_л = F_k будет равна нулю. В проекции на ось Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что v В и sin a = 1):

 

откуда

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу удельного заряда (Кл/кг):

Произведем вычисления:

Пример 34.Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой п =10 с^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a = 60° с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см².

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции e_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла.

. (1)

Потокосцепление , где N — число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1), получим

(2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону , где В — магнитная индукция; S — площадь катушки; w — угловая скорость катушки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

 

Заметив, что угловая скорость w со связана с частотой вращения п катушки соотношением и что угол (рис. 22), получим (учтено, что )

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

=

Произведем вычисления:

Пример 35. Квадратная проволочная рамка со стороной, а = 5 см и сопротивлением R=10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции

Возникшая ЭДС индукции, вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить, воспользовавшись законом Ома для полной цепи , где R — сопротивление рамки. Тогда

Так как мгновенное значение силы индукционного тока то это выражение можно переписать в виде

, откуда . (1)

Проинтегрировав выражение (1), найдем

или .

Заметив, что при выключенном поле (конечное состояние)

Ф₂ = 0, последнее равенство перепишется в виде

(2)

Найдем магнитный поток Ф₁. По определению магнитного потока имеем

где S — площадь рамки.

В нашем случае (рамка квадратная) . Тогда

(3)

Подставив (3) в (2), получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):

Произведем вычисления:

Пример 36.Плоский квадратный контур со стороной а= 10 см, по которому течет ток I=100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B =1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) 2) . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы (рис. 23)

, (1)

где — магнитный момент контура; В — магнитная индукция; — угол между векторами р_m (направлен по нормали к контуру) и В.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, = 0, т. е. векторы p_m и В сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил [см. (1)] будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменной (зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

. Учитывая формулу (1), получаем

.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(2)

Работа при повороте на угол φ₁=90⁰

 

. (3)

Выразим числовые значения величин в единицах СИ (I= 100 А, B= 1Tl, а = 10 см =0,1 м) и подставим в (3):

A₁ = 100 ∙ 1 · (0,1)² Дж = 1 Дж.

Работа при повороте на угол φ₂ = 3°. В этом случае, учитывая, что угол φ₂ мал, заменим в выражении (2) sinφ~φ:

(4)

 

Выразим угол φ₂ в радианах. После подстановки чис­ловых значений величин в (4) найдем

Задачу можно решить и другими способами:

1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизываю­щего контур:

А=-IΔФ=I(Ф₁-Ф₂) ,

где Ф₁ — магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф₂ — то же, после перемещения.

Если φ₁ = 90°, то Ф₁ = ВS, Ф₂ = 0. Следовательно,

А = IВS = IВа²,

что совпадает с (3).

2. Воспользуемся выражением для механической по­тенциальной энергии контура с током в магнитном поле

Тогда работа внешних сил

А = ΔП = П₂ — П₁

или

Так как р_т =Ia², соsφ₁ = 1 и соs φ₂ = 0, то

А = 1Ва²,

что также совпадает с (3).

Пример 37.Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А маг­нитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L, соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Решение. Индуктивность Lсвязана с потокосцеплением Ψ и силой тока I соотношением

(1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть опреде­лено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу) :

(2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соле­ноида:

Энергия магнитного поля соленоида

.

Выразив (2) согласно (3), получим

(4)

Подставим в формулы (3) и (4) значение физических величин и произведем вычисления:

;

 

 

<6789101112>

---

Дата добавления: 2016-01-20; просмотров: 2430;

---