Системы автоматизированного анализа (CAE). Метод конечных элементов.

Главная сфера использования МКЭ – анализ на прочность и расчет деформации. Однако этот метод быстро завоевал популярность и для решения инженерных задач, связанных с гидро- , аэродинамикой, электроникой, радиоанализом. С его помощью можно решить задачи: механики жидкости, сплошных сред, статики, динамики.

С помощью МКЭ можно решать такие задачи, как расчет реакции ракеты на импульс тяжести, анализ навигационной системы в условиях вибрации…

Сейчас МКЭ является одним из наиболее популярных инструментов исследования характеристик инженерных конструкций, подвергаемых различным нагрузкам. Традиционные методы, предполагающие строгое теоретическое обоснование, могут использоваться только для ограниченного класса задач и особых условий нагрузки. Они часто нуждаются в модификации, причем приходится контролировать их применимость к решению поставленной задачи. Неуверенность конструкторов в достоверности полученных результатов заставляет их повышать предельные нагрузки, что приводит к включению в конструкцию дополнительных крепежных секций, перерасходу материалов и повышению общей стоимости изделия.

МКЭ позволяет конструктору решать задачи расчета сложных деталей путем разбиения их на более мелкие части – конечные элементы. Эти элементы иногда называю дискретными, процесс их выделения- дискретизацией формы детали.

После разбивки дальнейшие расчеты проводятся для отдельных конечных элементов, каждый из них вносит свой вклад в характеристику прочности детали. Точки, ограничивающие элемент, называются узлами, и вместе с проходящими через линиями образуют конечную элементную сетку.

Для 2d областей наиболее часто используются элементы в форме треугольника и четырехугольника. При этом элементы могут иметь как прямо-, так и криволинейные границы, что позволяет с достаточной степенью точности аппроксимировать границу любой формы. Для 3D областей наиболее употребимы элементы в форме тетраэдра и параллелепипеда, которые также могут иметь прямо – и криволинейные границы.

В общем случае МКЭ состоит из 4 этапов:

1) Выделение конечных элементов.

Это один из наиболее важных этапов МКЭ, т.к. от качества разбиения во многом зависит точность полученных результатов.

Например, разбиение на двумерные элементы, близкие по форме к равносторонним треугольникам, обеспечивает лучшие результаты по сравнению с разбиением на вытянутые треугольники.
Возможность легко изменять размеры элементов позволяет без труда учитывать концентрацию напряжения, температурные градиенты, свойства материалов и т.д.
Разбиение области на элементы обычно начинают от ее границы с целью наиболее точной аппроксимации формы границы, затем выполняют разбиение внутренних областей. Часто разбиение области на элементы выполняют в несколько этапов. Сначала область делится на достаточно большие подобласти, границы между которыми проходят там, где изменяются свойства материалов, геометрия, приложенная нагрузка и др.
Затем каждая подобласть делится на элементы, причем резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать.

2) Нумерация узлов элементов.

Порядок нумерации имеет в данном случае существенное значение, так как влияет на эффективность последовательных вычислений. Дело в том, что матрица коэффициентов системы множества алгебраических уравнений, к которым приводит МКЭ – сильно разряженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы матрицы располагаются параллельно главной диагонали. Целое число, являющееся максимальной разностью между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы.
Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем памяти требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит от количества степеней свободы узлов и способа нумерации последних. При нумерации узлов предпочтителен способ, обеспечивающий минимальную разницу между номерами узлов в каждом отдельном элементе.

Если максимальная разность между номерами узлов для отдельного элемента обозначить через Н, а количество степеней свободы через М, то L=(Н+1)*М.

В некоторых случаях уменьшение числа Н может быть достигнуто последовательной нумерацией узлов при движении в направлении минимального размера рассматриваемой области.

Рациональная нумерация уменьшает необходимый объем памяти почти в 3 раза.

Информация о способе разбиения области на конечные элементы и нумерация узлов является исходной для всех следующих этапов алгоритмов МКЭ при реализации методов САПР. При этом требуется указывать не только номер, но и координаты каждого узла и принадлежность его к определенным конечным элементам. Такого рода информация называется топологической и содержит примерно в 6 раз больше цифр, чем количество узлов системы. При описании области, разбитой на конечные элементы, необходимо задавать тип конечного элемента, его порядковый номер, номера узлов элемента, координаты узлов, информацию о соединении элементов, значении физических параметров объекта в пределах конечного элемента.

3) Определение аппроксимирующей функции для каждого элемента (определение функции элемента).

На этом этапе искомая непрерывная аппроксимирующая кусочно-непрерывных, определенной на множестве конечных элементов. Эту процедуру нужно выполнить один раз для типичного элемента области безотносительно к его топологическому положению в ней. Полученная функция используется для всех остальных элементов области того же вида. Эта особенность является важным аспектом МКЭ. Благодаря ей элементы с однажды определенными функциями легко включаются в библиотеку элементов соответствующего программного комплекса и далее используется для решения разнообразных краевых задач. В качестве аппроксимирующей функции элементов чаще всего используются полиномы, которые разбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах и на границах элементов.

4) Объединение конечных элементов в ансамбль.

На этом этапе уравнения, относящиеся к отдельным элементам, объединяются в ансамбль, т.е. в систему алгебраических уравнений. При этом выполняется перенумерация узлов.

5) Решение полученной системы алгебраических уравнений.

Реальная конструкция апроксимируется сотнями конечных элементов, и следовательно появляются системы уравнений с сотнями и тысячами неизвестных, которые нужно решить. Решение таких систем - главная проблема реализации МКЭ. Методы решений зависят от размеров разрешающей системы уравнений. В связи с большой размерностью и сильной разряженностью матрицы коэффициентов для реализации МКЭ САПР разработаны специальные способы хранения матрицы жесткости, позволяющей уменьшить необходимый для этого объем памяти. Матрицы жесткости используются в каждом методе прочностного расчета, используя конечную элементную сетку. Название матрицы жесткости пришло из строительной механики, где МКЭ начал использоваться раньше, чем в других областях техники.

К числу фирм, предлагающих на российском рынке комплексные ПП инженерного исследования, относятся: CAE/MSC – MacNeal-Shcwonder Corporation, MDI – Mechanical Dynamic Inc.

Главный ПП – MSC – MSE/Nastran. Эта система обеспечивает полный набор расчетов, включая расчет напряженно деформирующего состояния, собственных частот и форм колебаний, анализ устойчивости, решение задач теплопередачи, спектральный анализ. Тесная связь этого ПП с MSC/AKIES и MSE/PATRAN позволяет формировать полностью интегрированную среду для моделирования и анализа результатов. Все ведущие производители пре – и постпроцессоров, а также САПР, предусматривают прямые интерфейсы с этой средой.

Компания MDI известна как разработчик программного комплекса имитационного моделирования механических систем ADAMS. Сегодня продукция ADAMS составляет около 65% мирового рынка программных средств кинематического и динамического анализа механических систем.

Система ADAMS нашла широкое применение в таких приложениях как исследование динамики полета летательных аппаратов, анализ функционирования лентопротяжного механизма видеомагнитофона, оптимизация техники наведения понтонных мостов, функционирования роботов и манипуляторов, расследование ДТП.

Еще один интегрированный комплекс: I_DFACNASTER Series (SDRC – Structural Dynamics Research Corporation ). Он позволяет создавать конечно-элементные модели как отдельных деталей, так и сборок. Нагрузки и граничные условия связываются с геометрической моделью и сеткой, что позволяет обновлять их автоматически с изменением модели или сетки