Задача и ее элементы. Классификация задач

Задача - это знаковая модель проблемной ситуации. Можно сказать задача - это проблемная ситуация, требующая ее разрешения человеком,

В "Методике обучения математике в 1-3 кл. авторов М.И. Моро А.И.Пышкало о задаче сказано следующее: "Задача - это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий".

Основная особенность задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должны быть выполнены над данными числами для получения искомого. Вместе с тем, текст зада­чи содержит некоторые указания на связь, существующую между данными числами и искомым. Эта связь определяет выбор нужных общ .положений математики, а так же последовательность их выполнения.

В каждой задаче можно выделить:

1) условие (или условия);

2) требование.

Условие задачи включает в себя:

а) числовые значения величин, которые называются данными или известными (их должно быть не меньше двух);

б) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);

В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называй элементарными.

Требование задачи - это вопрос, на который надо найти ответ. Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и повествовательной форме, их также может быть несколько.

Величину, значения которой требуется найти, называют искомой ве­личиной, а числовые значения искомых величин - искомыми или неизвестными.

Выделим условия и требования в задаче.

Пример. Собака погналась за лисицей, которая была от нее на расстоянии 30 метров. Скачок собаки - 2м, скачок лисицы - 1 м. В то время как лисица делает три скачка, собака делает только два скачка. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу? Какое расстояние пробежит собака?

Условия задачи:

1. Собака бежит вдогонку за лисицей.

2. Первоначальное расстояние между собакой и лисицей - 30 м.

3.Скачок собаки равен 2 м.

4. Скачок лисицы равен 1 м.

5. За то время как лисица делает три скачка, собака делает только два скачка.

6. Собака догнала лисицу.

Требования задачи:

1. Сколько скачков должна сделать собака, чтобы догнать лисицу?

2. Какое расстояние пробежит собака?

Часто под термином "условие задачи" понимают весь текст задачи, (включающий истинно условие и требование задачи.

Ответ на требование задачи получается в результате ее решения.

Решить задачу в широком смысле этого слова - это значит раскрыть "связи между данными и искомыми, заданные условием задачи, опреде­лить последовательность применения общих положений математики (пра­вил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя найденные общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его (требования) выполнения.

В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения, и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество дей­ствий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схо­жий сюжет и т.д. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (т.е. разделить на группы по выбранному основанию):

- по количеству действий, которые необходимо выполнить для реше­ния задачи;

- по соответствию числа данных и искомых;

- по фабуле задачи;

- по способам решения и другие.

1. Положив в основание классификации количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и состав­ные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифме­тическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нуж­но выполнить два или большее число действий, называют составной.

Пример 1. Саше 7 пет, он на 3 года старше сестры. Сколько лет сестре?

Данная задача является простой.

Пример 2. Будем считать, что айсберг представляет собой прямоуголь­ный параллелепипед. Известно, что его высота над водой равна 36 м, что составляет 1/6 часть всей его высоты. Ширина айсберга в 125 раз больше его высоты, но в 3 раза меньше его длины. Определите объем айсберга.

Данная задача является составной. I

Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа дан­ных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, неопределенные и переопределенные. Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но встреча­ются задачи, в которых этого соответствия нет.

Определенные задачи - это задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.

Пример 3. Два переплетчика должны переплести 384 книги. Один из них переплетал по 5 книг в день и переплел 160 книг. Сколько книг в день дол­жен переплетать другой переплетчик, чтобы закончить работу в один день с первым?

В данной задаче число условий соответствует числу данных и иско­мых. Поэтому она имеет решение и является определенной.

Задачи с альтернативным условием - это задачи, в ходе решения кото­рых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.

Пример 4. От одной пристани по реке одновременно отправляются два катера. Один движется со скоростью 17 км/ч, а второй — со скоростью 19 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 2 часа, если скорость течения реки 2 км/ч?

В задаче неизвестно, в одном направлении или нет, отправляются ка­тера. Если считать, что они отправились в одном направлении, получим. один ответ, если - в противоположных - другой.

Пример 5. Сорок шесть школьников отправились в поход на десяти четы­рех- и шестиместных лодках. Сколько было тех и других лодок?

В задаче нет данных о количестве свободных мест в лодках. Поэтому в зависимости от этих данных, мы будем получать разные решения.

Неопределенные задачи - задачи, в которых условий недостаточно для получения ответа.

Пример 6. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового. Сколько весит вишневое варенье, если в каждой банке его 800 г?

В задаче недостаточное число данных (в ней нет данных о количе­стве банок с клубничным вареньем). Для того чтобы ее решить, необхо­димо дополнить условие.

Переопределенные задачи - задачи, в которых имеются лишние ус­ловия. Если в переопределенной задаче лишнее условие не противоре­чит остальным условиям, то она имеет решение.

Пример 7. В одной печи можно обжечь 39 000 кирпичей за 6 дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь за 5 дней. За сколько дней можно об­жечь 143 000 кирпичей, используя обе печи одновременно, если в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй?

Задача имеет одно решение: используя обе печи одновременно, мож­но обжечь

143 000 кирпичей. Здесь условия "в одной печи можно обжечь 39000 кирпичей за 6 дней, а в другой столько же кирпичей можно обжечь | за 5 дней и "в первой печи за один день обжигают на 1300 кирпичей меньше, чем во второй" не противоречат друг другу. Иногда лишние условия задачи противоречивы.

Пример 8. Из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Спустя 3 часа из пункта В ему навстречу вышел другой поезд, скорость которого на 10 км/ч больше, чем у первого. Расстояние между пунктами 570 км. Сколько часов до встречи был в пути второй поезд, если его скорость в 1,5 раза больше скорости первого поезда?

В задаче одно условие лишнее. Причем условия "скорость второго поезда на 10 км/ч больше, чем у первого" и "скорость второго поезда в 1,5 раза больше скорости первого поезда" противоречат друг другу. Эта задача может иметь решение, если исключить одно из условий. Если ис­ключить кратное отношение, то получим ответ: второй поезд был в пути 3 часа. Если же исключить разностное отношение, то получим другой ответ: второй поезд был в пути 2,6 часа.

Пример 9. На речном вокзале за три дня было продано 42 билета второго и третьего класса. Билетов второго класса было продано в 2 раза меньше, чем третьего. Сколько денег получил кассир за все проданные билеты, если билет второго класса стоил 120 рублей, а третьего на 30 рублей дешевле?

В задаче имеется лишнее условие (три дня), которое не используется при решении и не влияет на ответ.

В начальном курсе математики неопределенные задачи называют за­дачами с недостающими данными, а переопределенные - задачами с из­быточными данными.

Различают задачи сюжетные, где описывается какая-то ситуация, и отвлеченные.

Пример. 10. Сумма равна 8. Одно слагаемое 5. Найти второе слагаемое.

Это задача отвлеченная.

Пример 11. На двух попках 8 книг. На одной попке 5 книг. Сколько книг на второй полке?

Это задача сюжетная.