Обработка результатов измерений методами математической статистики
2.1 Методика построения эмпирической кривой
Если точность отсчётов по шкале и число измерений велико, то распределение ошибок можно изобразить графически в виде закона нормального распределения погрешности (Гауссовское распределение ошибок). Распределение называется нормальным, если плотность вероятности подчиняется нормальному закону: 2.1
У – полтность вероятности появления случайной ошибки Δх
Х – результат отдельного измерения
А – истинное значение случайной величины
σ – среднеквадратическая погрешность измерений
Так как истинное значение а всегда неизвестно, то вместо а берётся среднеарифметическое значение х из n измерений. Если число измерений равно или больше 25, можно использовать формулу:
Отклонение от среднеарифметического
Как известно из теории ошибок, среднее арифметическое х должно удовлетворять условиям:
1. Сумма
2.
При числе измерений не менее 25 среднеарифметическое определяется:
Кроме среднего значения и дисперсии (квадрат среднеквадратического отклонения), кривые распределения характеризуются асимметрией (А) и эксцессом (Е)
С увеличении м высоты кривой, характеризующей закон нормального распределения, увеличивается и точность измерений. А сама высота кривой h характеризует точность измерений и называется мерой точность. При небольшом числе измерений (10-12) средняя квадратическая ошибка полнее отражает влияние крупных ошибок, чем средняя ошибка.
Сравним 2 ряда измерений одной и той же величины:
1) +1, 0, -4, +3, -2, +3, -2, +3, -2, +3, -2, +2,
2)-7, +1, +8, 0, +2, -1, 0, -1, +1, -1
Из полученных результатов видно, что второй ряд измерений по точности хуже первого. В теории вероятности доказывается, что при n, стремящемся к бесконечности между средней и среднеквадратической ошибками существует связь: , между мерой точности h и средней ошибкой: , а между мерой точности и среднеквадратической ошибкой: .
Точность и над1жность полученных значений среднего и среднеквадратического отклонения оценивается доверительной вероятностью и доверительным интервалом. Так как истинное значение Мх и σ неизвестны, найдём доверительный интервал +-Е, в который попадает истинное значение Мх, при заданной доверительной вероятности:
Поскольку измеряемая величина Хi распределена по нормальному закону, то и ошибка измерения δ распределена по нормальному закону , причём её среднее значение должно быть равно нулю.
Среднеквадратическое отклонение ошибки сигма дельта и исходного случайного процесса связаны соотношением:
Дата добавления: 2016-01-18; просмотров: 743;