Плоская задача теории предельного равновесия
Выделим в грунте для плоской задачи элементарную грунтовую призму (рис. 5.1). По двум граням призмы действуют нормальные ( и ) и касательные ( и ) напряжения. Третья грань призмы наклонена к горизонтали под углом , напряжения на этой грани – и . Угол между полным напряжением р и нормальным называется углом отклонения . С изменением угла наклона меняется величина нормального и касательного напряжений, меняется угол .
Рассмотрим предельное напряженное состояние в несвязных грунтах (рис. 5.2). Для той же площадки отложим и . Точку 1 соединим с началом координат, получим угол . Устойчивость состояния равновесия характеризуется сравнением величин касательных напряжений и . Если < при , то это условие устойчивого, т.е. допредельного состояния.
Если касательная составляющая будет возрастать, то она не может быть выше точки 2, т.е. если = , это предельное равновесие, или иначе предельное состояние, когда угол внутреннего трения равен углу отклонения:
. (5.1)
Для связных грунтов условие предельного равновесия можно определить путем геометрических построений круга Мора (рис. 5.3).
Откладываем по оси ,затем вверх из точки ; откладываем напряжение по оси и вниз из точки . Точки M и N соединяем прямой. Проводим радиусом aN круг Мора. Откладываем угол , точку K соединяем с точкой a и проводим касательную в точку K до пересечения с осью . Получаем два прямоугольных треугольника О1Ka и аNn, в которых Ka = aN.
; ; ;
.
Так как Ka = aN, отсюда
|
Получили условие предельного равновесия в общем виде. Оно связывает напряжения и параметры прочности ( ).
В это уравнение входят три неизвестные компоненты напряжений , и , которые могут быть определены решением системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений равновесия и одного алгебраического уравнения – условия предельного равновесия:
(5.3)
где x, z – соответственно горизонтальная и вертикальная координатные оси; – удельный вес грунта.
Условие предельного равновесия можно выразить через главные напряжения, т.к. ; ; . Подставим их в уравнение (5.2) и получим
. (5.4)
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 983;