Закон всемирного тяготения Ньютона
Две материальные точки с массами и , находящиеся на расстоянии друг от друга притягиваются друг к другу с силой
,
где - гравитационная постоянная.
В общем случае двух тел произвольной формы можно мысленно разбить их на малые элемен-ты и просуммировать силы взаимодействия между ними:
.
Таким образом можно, например, показать, что сила гравитационного взаимодействия между двумя однородными шарами с массами , и расстоянием между центрами равна
.
Из закона всемирного тяготения следует, что любая материальная точка создает вокруг себя силовое (гравитационное) поле, действующее на другие материальные точки. Оно относится к классу так называемых центральных полей, для которых сила может быть представлена в виде:
,
где - радиус-вектор, проведенный из точки, называемой центром силового поля, в данную точку.
Рассмотрим одно важное свойство движения в центральном поле. Для момента количества движения материальной точки в этом случае имеем:
, или .
Таким образом, при движении материальной точки в гравитационном поле, создаваемом другой материальной точкой, сохраняется момент количества движения .
Отсюда следует, что траектория движения материальной точки в центральном поле целиком лежит в плоскости перпендикулярной вектору (плоская кривая, рис. 3). Такими кривыми являются траектории движения планет вокруг Солнца и траектории искус-ственных спутников Земли.
Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле.
Проекция силы потенциального поля на направление связана с потенциальной энергией соотношением (лекция 5)
.
Выберем в качестве направление радиуса-вектора от материальной точки к мате-риальной точке . Тогда получим
.
Отсюда, полагая , получим
.
На основании анализа наблюдений положения планет, проведенных Тихо Браге, Кеплер сформулировал законы их движения.
Законы Кеплера.
1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади.
3. Квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.
Законы Кеплера можно получить с помощью 2-го закона Ньютона и закона всемирного тяготения.
1-ый закон Кеплера.
Так как траектория планеты является плоской, сначала введем в этой плоскости декартову систему координат с началом в Солнце. Однако, оказалось, что уравнения движения планеты удается проинтегрировать до конца лишь в так называемых полярных координатах , связанных с декартовыми соотношениями (рис. 3)
, .
При движении планеты вокруг Солнца сохраняются ее полная энергия и проекция момента количества движения на ось . В полярных координатах эти законы сохранения имеют вид:
,
.
Здесь точками обозначены производные по времени, - масса планеты, - масса Солнца. Интегрируя эти уравнения можно показать, что при траектория является эллипсом, то есть выполняется 1-ый закон Кеплера. При траектория представляет собой гиперболу, а при - параболу.
Вообще существует два вида движения в гравитационном поле. При инфинитном движении материальная точка может удалиться сколь угодно далеко от ее начального положения. В случае финитного движения траектория не может выйти за пределы некоторой ограни-ченной области пространства. При траектория всегда будет финитной, так как при полная энергия , что противоречит исходному предположению. При является инфинитной.
2 – ой закон Кеплера.
Этот закон является следствием сохранения момента импульса, так как площадь описы-ваемая радиусом-вектором планеты в единицу времени
.
3 – ий закон Кеплера.
Его легко получить для частного случая движения по окружности:
.
Космические скорости.
1-ая космическая скорость – скорость тела, движущегося вблизи поверхности Земли по финитной траектории:
.
2-ая космичская скорость – скорость тела вблизи поверхности Земли, движущегося под действием ее поля тяготения по инфинитной траектории:
.
3 – я космическая скорость – скорость тела вблизи поверхности Земли, движущегося по траектории инфинитной по отношению к Солнцу. В зависимости от положения Земли она варьируется в интервале примерно от до .
ЛЕКЦИЯ 24
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 642;