Стержней замкнутого профиля
Рассмотрим тонкостенный стержень с замкнутым профилем (рис.18.19)
рис.18.19
Введем систему координат , где ось проходит по точкам, которые делят стенку пополам (рис.18.20). В общем случае толщина t стенки может быть разной при разных , т.е.
рис.18.20 рис.18.21
Рассмотрим задачу вычисления . Ввиду тонкостенности можно считать, что напряжения , не изменяются по толщине, но могут быть разными при разных ξ. Вырежем элемент стержня (см. рис.18.20, рис.18.21). В силу закона парности на верхней грани действует , а на нижней .
Запишем уравнение равновесия в виде равенства нулю суммы сил на продольную ось S.
Поскольку: , , то:
Таким образом,
(18.14)
Выразим через внешние моменты. Рассмотрим сечение, приведенное на рис.18.22.
рис.18.22
Сила - это равнодействующая напряжений , действующих на площадку длиной :
.
Эта сила создает момент около точки О:
.
Найдем сумму всех dM:
.
Из условия равновесия левой части стержня (см.рис.18.20) вытекает, что
.
Учтем, что согласно (18.14). Эту константу можно вынести:
(18.16)
Найдем геометрический смысл подынтегрального выражения. Рассмотрим нашу площадку (рис.18.23). Из рисунка видно, что площадь треугольника BDO равна , т.е.
. (18.17)
рис.18.23 рис.18.24
Интеграл – это сумма таких площадей. Таким образом, получим, что интеграл равен удвоенной площади фигуры, которая ограничена штриховой линией, изображенной на рис.18.25.
(18.18)
Определение: Эту площадь А* назовем площадью просвета трубы.
рис.18.25
Подставляя (18.18) в (18.16) видим, что:
.
Отсюда вытекает формула Бредта:
. (18.19)
Из (18.19) следует, что при кручении труб разрушение начинается там, где толщина стенки минимальна.
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 767;