МЕТОДОМ МОДЕЛИРОВАНИЯ

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

При конструировании электронных приборов требуется знание характеристик электростатического поля в пространстве между электродами заданной формы. Теоретический расчет таких полей в общем случае затруднен, поэтому часто их исследуют экспериментально методом моделирования.

Основными характеристиками электростатического поля являются напряженность и потенциал. Силовой характеристикой поля служит векторная величина - напряженность электрического поля , равная отношению силы , действующей со стороны поля на точечный пробный заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля, к величине q₀ этого заряда:

. (1)

Если поле создано точечным зарядом q, то напряженность на расстоянии r от этого заряда определяется соотношением

, (2)

где e₀ - электрическая постоянная, e - относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Энергетической характеристикой поля является потенциал, физический смысл которого состоит в том, что он определяет потенциальную энергию единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля. Численно потенциал равен работе по перемещению единичного положительного заряда силами поля из данной точки поля в бесконечность:

. (3)

Потенциал поля точечного заряда равен

. (4)

Геометрическое место точек равного потенциала называется эквипотенциальной поверхностью.

Графически электростатическое поле изображают с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Силовой линией называется линия, касательная к которой в каждой точке пространства совпадает с направлением вектора напряженности поля в этой точке. Силовые линии электростатического поля не являются замкнутыми, они начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном или, в случае одиночного положительного заряда, уходят в бесконечность. Это характерно для потенциальных полей. В потенциальном поле работа сил поля по перемещению заряда не зависит от формы пути, а определяется начальным и конечным положением заряда. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Вектор напряженности поля и потенциал связаны между собой. При перемещении заряда q из точки a эквипотенциальной поверхности с потенциалом j в точку b эквипотенциальной поверхности с потенциалом j + dj(рис.1) совершается работа

,

которую можно выразить и через напряженность

.

Приравнивая эти два выражения для работы dA, получаем

. (5)

Рисунок 1

Величина характеризует быстроту изме-нения потенциала с расстоянием в направлении нормали к эквипотенциальной поверхности и на-зывается градиентом потенциала

. (6)

Знак "-" показывает, что вектор напряженности направлен в сторону уменьшения потенциала.

Метод математического моделирования электростатического поля основан на том факте, что электрическое поле при стационарном токе в слабо проводящей жидкости или твердой среде является потенциальным, как и электро-статическое. Форма и взаимное расположение электродов должны быть такими же, как и в моделируемом приборе. При таком моделировании силовым линиям электростатического поля соответствуют линии тока, а поверхностям равного потенциала - поверхности равных напряжений. Измерение поля в токопроводящей среде выполнить значительно проще, чем в непроводящей. Для таких измерений используются зонды (электроды), которые представляют собой хорошо изолированные по всей длине, кроме конца, проводники. Для измерения разности потенциалов между двумя точками поля в токопроводящей среде необходимо поместить в эти точки зонды, подключенные к вольтметру. Так можно на токопроводящей бумаге наметить линии равного потенциала и построить силовые линии напряженности, перпендикулярные к линиям равного потенциала.

4. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

1. Планшет с электродами.

2. Микроамперметр.

3. Источник питания.

4. Зонд.

Упражнение 1

В настоящей работе моделируется распределение потенциала электростатического поля внутри цилиндрического конденсатора. К токопроводящей бумаге прижаты два коаксиальных цилиндрических электрода. Плотность тока на расстоянии r от оси системы равна

, (7)

где d- толщина бумаги; I - полный ток, проходящий по бумаге.

Из закона Ома в дифференциальной форме следует

(8)

где - электропроводность бумаги.

Экспериментальная установка собрана так, что измеряется разность потенциалов (напряжение U) между наружным электродом, потенциал которого принят равным нулю, и данной точкой поля. Из соотношения (5) следует, что

, (9)

где r_H - радиус наружного электрода. Разность потенциалов U₀ между наружным и внутренним электродами равна

, (10)

откуда

,

тогда

Цель лабораторной работы состоит в определении опытным пу-тем зависимостей U(r)и E(r) и сравнении их с теоретическими, выража-емыми формулами (11) и (12).

5. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Электрическая схема изображена на рисунке 2, где 1 - наружный электрод радиуса r_H; 2 - проводящая бумага; 3 - центральный электрод радиуса r_B; 4 - зонд; 5 - микроамперметр; 6 - дополнительное сопротивление.

Рисунок 2

Cхема питается постоянным регулируемым напряжением. В ка-честве измерительного прибора ис-пользуют микроамперметр, который из-за большого дополнительного сопротивления R_д работает в режиме вольтметра. Благодаря большому дополнительному сопротивлению подключение измерительной цепи не вносит заметных искажений в измеряемую силу тока, следовательно, и в падение напряжения U(r) между исследуемой точкой и наружным электродом. Если пренебречь сопротивлением в контакте зонда с проводящей бумагой и внутренним сопротивлением микроамперметра, то ток, протекающий через микроамперметр, равен

I(r) = U(r) / R_д .

Для более точного определения I(r)измерения проводят для нескольких точек, находящихся на одинаковом расстоянии от оси модели, и берут среднее значение

,

где n - число измерений. Тогда

U(r)= R_д . (13)

Находим U(r), изменяя r в интервале от r_В до r_H с шагом . Напря-женность E(r)можно приближенно определить как:

. (14)

6. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Рисунок 3

1. Подключить электрическую схему к ис-точнику питания.

2. Коснуться зондом внутреннего электрода и поворотом рукоятки потенциометра, регулирующего напряжение, добиться того, чтобы стрелка микроамперметра отклонилась на всю шкалу, показывая максимальный ток I₀, протекающий через прибор. Тогда

U₀= I₀ R_д .

3 Устанавливая зонд в точки с радиальными координатами r, изменяющимися на 0,01 м, т.е. (r_B + 0,01) м, (r_B + 0,02) м, (r_B + 0,03) м и т.д.на токопроводящей бумаге около луча 1 (рисунок 3), записать показания микроамперметра в таблицу 1.

Таблица 1

№	Расстояние	Ток Ii(r ), A	средний ток	U(r), B
п/п	r, м	Лучи	,А	Эксперим.	Теорет.
							U(r)	U(r)
...

4 Повторить измерения на 2-м, 3-м, 4-м лучах.

5 Выключить питание, зонд вставить в гнездо на установке.

7 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1 Вычислить U₀ = I₀ R_д.

2 Рассчитать для каждого значения r:

а) среднее значение тока

;

б) экспериментальное значение разности потенциалов

U(r)= R_д ;

в) теоретическое значение разности потенциалов

;

г) занести полученные результаты в табл. 1.

3 Рассчитать для всех указанных значений r теоретические значения напряженности по формуле

4 Найти для тех же значений r экспериментальные значения напряженности

.

5 Внести значения E(r) и E_Т(r) в табл. 2.

6 По данным таблиц 1 и 2 построить графики зависимости U_T и U от r и E_T и E от r и сравнить экспериментальные кривые с теоретическими.

Таблица 2

Упражнение 2

Электрическое поле можно моделировать и полем, создаваемым переменным током звуковой частоты.

Рисунок 4

В данном опыте электроды, подключенные к звуковому генератору, располагаются на влажной бумаге, которой покрыта текстолитовая плита, помещенная в ванночку (рис 4). Индикатором служит телефон, провода от которого заканчиваются щупами. Если щупы попали на различные эквипотенциальные поверхности, то через телефон потечет ток, и исследователь услышит в наушниках звук. Если щупы расположены на одной и той же эквипотенциальной поверхности, то звук отсутствует. Основываясь на этом, можно построить систему эквипотенциальных линий.

9 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1 Налить в ванночку немного воды и хорошо смочить в ней лист бумаги.

2 Мокрую бумагу наложить на текстолитовую плиту. Следить за тем, чтобы бумага не подсыхала. Расположить на бумаге электроды и с по-мощью соединительных проводов подать на них напряжение от звуко-вого генератора (ЗГ).

3 Щуп, оканчивающийся металлическим острием, установить на рас-стоянии 1...1,5 см от одного из электродов. Вторым щупом (с грифелем на конце) найти и отметить 8...10 точек, для которых в телефоне отсутствует звук (или звук минимален). Соединить все эти точки линией, определяя тем самым линию равного потенциала. Переставить первый щуп еще на 1...1,5 см и найти новую эквипотенциальную линию. Повторить это несколько раз, отмечая соответствующие эквипотенциальные линии. Отметить на бумаге положение электродов, обведя их карандашом. Опыты выполнить при различных конфигурациях электродов:

а) поле плоского конденсатора (рисунок 5).

Рисунок 5

б) Между пластинами плоского конденсатора находится металлическое кольцо (рисунок 6). Отметить эквипотенциальные линии между кольцом и пластинами конденсатора. Убедиться в том, что вся поверхность внутри кольца является эквипотенциальной.

Рисунок 6

в) Поле точечного заряда (рисунок 7). Одну клемму от ЗГ подключить к кольцевому электроду, а вторую - к электроду малого размера, поме-щенному в центре кольцевого.

Рисунок 7

г) Поле двух точечных одноименных зарядов (рисунок 8). Оба заряда находятся внутри кольца и соединены между собой проводником.

Рисунок 8

д) Поле разноименных зарядов (рисунок 9).

Рисунок 9

4 На основании выполненных измерений представить графическое изображение изученных электрических полей, построив эквипотенци-альные поверхности и соответствующее семейство силовых линий поля.