ГИДРАВЛИЧЕСКИ НАИВЫГОДНЕЙШИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ПРОФИЛЬ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОГО КАНАЛА

Предположим, что нам заданы: 1) форма поперечного сечения канала — трапецеидальная; 2) коэффициент откоса канала т = т₀;3) уклон дна канала i = i₀; 4) коэффициент шероховатости п=п₀; 5) расход Q = Q₀.

Рис. 6-4 Изменение элементов живого сечения (χ; 𝜔; υ; Q) с из­менением относительной ширины β трапецеидального канал

Положим, что, исходя из этих данных, требуется запроектировать поперечный профиль канала (т.е. найти его размеры).

Такая задача имеет много решений. Можно наметить целый ряд различных поперечных профилей канала, удовлетворяющих указанным условиям (см. рис. 6-4, а); для этого чертежа имеем

(6-26)

где индексами 1, 2 ... обозначены величины, относящиеся соответственно к 1, 2, 3-му, ... вариантам канала. На рисунке для примера показаны только три варианта; однако, рассматривая этот чертеж, надо себе представить мно­жество таких вариантов, из которых первый характеризуется весьма малой глубиной, а последний — весьма малой шириной. Необходимая пропускная способность для первого варианта обеспечивается приданием каналу весьма большой ширины, а для последнего варианта — приданием каналу весьма большой глубины.

Для рассматриваемых вариантов будем иметь:

(6-27)

Легко видеть, что первый и последний варианты будут характеризоваться относительно большой поверхностью трения, определяемой размером χ , равным b (для первого варианта) и 2h (для последнего варианта); поэтому скорость v для этих крайних вариантов должна быть относительно малой. Из сказанного вытекает, что среди ряда рассматриваемых вариантов имеется такой проме­жуточный, для которого средняя скорость υ оказывается максимальной

(6-28)

а следовательно, площадь живого сечения 𝜔 (равная Q₀: υ )— минимальной:

(6-29)

Поперечный профиль, удовлетворяющий этим условиям, и является гид­равлически наивыгоднейшим. Как видно, гидравлически наивыгоднейшим профи­лем трапецеидального канала называется профиль, который (при заданных т, i, п, Q) характеризуется максимально возможной средней скоростью v, а следо­вательно, минимальной площадью живого сечения.

Обозначим относительную ширину по дну гидравлически наивыгоднейшего профиля через β_г.н:

. (6-30)

При этом все сказанное представим кривыми χ=f₁ (β); 𝜔=f₂ (β) и

υ=f₃ (β),показанными на рис. 6-4,б сплошными линиями (расположенными выше оси β).

Дополнительно ниже оси р на данном графике изобразим штриховыми линиями кривые χ=f₄ (β); 𝑄=f₅ (β) и υ=f₆ (β), построенные в предположении, что для проектирования вариантов, показанных на рис. 6-4,а, нам задано не

Q=const, а 𝜔= const; расход Q с изменением β (при заданных 𝜔, т и i) — меняется. Из рассмотре­ния штриховых кривых видно, что гидравлически наивыгоднейшим профилем трапецеидального канала может быть назван также профиль, который (при заданных т, I ,п, 𝜔) характеризуется максимально возможной пропускной способностью. .

Вертикаль I-II на рис. 6-4,6 отвечает максимумам и минимумам соответ­ствующих функций, а следовательно, и величине β_г.н. Рассматривая сплошные кривые графика, расположенные выше оси β, для определения величины β_г.н , можем написать следующую систему двух уравнений

(6-31)

как видно, для отыскания β_гн мы здесь приравняли нулю соответствующие производные (поскольку β_гн отвечает минимуму функций 𝜔 и χ ).

Подставляя в (6-31) выражения (6-18) и (6-19) и выполняя дифференциро­вание, получаем:

(6-32)

(6-33)

Решая эту систему уравнений, находим

(6-34)

Выражение (6-34) можно было бы найти и из рассмотрения кривойχ=f₄ (β), показанной на графике штриховой линией ниже оси β. При этом пришлось бы только решать совместно уравнение (6-33) и уравнение

Выше мы искали гидравлически наивыгоднейшие размеры заданной формы (трапецеидальной). Можно, разумеется, поставить здесь и иную задачу: среди всех возможных форм поперечного сечения русла искать гидравлически наивыгоднейшую форму. Легко показать, что гидравлически наивыгод­нейшей формой живого сечения является полукруг (поскольку в этом случае мы имеем минимальную величину χ, а следовательно, минимальную поверх­ность трения).

Рис. 6-5. Несовпадение минимальной площади живого сечения потока с минимальной площадью поперечного сечения земляной выемки

Стремясь получить минимальную сто­имость каналов, откапываемых в грунте, их иногда проектируют, соблюдая условие β=β_г.н , так при этом условии площадь живого сечения оказывается минимальной. Надо, однако, подчеркнуть, что в практике достаточно часто и отступают от указан­ного условия, причем проектируют каналы, принимая иные значения β (β β_г.н). Такое положение объясняется тем, что гидрав -лически наивыгоднейшие профили далеко не всегда оказываются экономически наивыгоднейшими. Действительно, эко­номически наивыгоднейший профиль канала должен характеризоваться ми­нимумом объема земляных работ, а следовательно, для канала, выполняемого в выемке, минимальным значением площади выемки Ω = 𝜔 + 𝜔^', а не площади живого сечения со (рис. 6-5).

Дополнительно необходимо учитывать следующее важное обстоятельство.

Гидравлически наивыгоднейшие каналы получаются относительно глубо­кими; величина βдля них оказывается сравнительно малой. Такие глубокие каналы часто затруднительно откапывать в грунте и эксплуатировать. Вместе с тем можно показать, что кривая𝜔=f₂(β) схематично представленная на рис. 6-4,б, является весьма пологой (ее минимум, выражен весьма слабо); достаточно принять для проектируемого канала площадь.живого учения равной не 𝜔_мин, а, например, 1,03𝜔_мин (т. е. увеличить 𝜔_мин всего на 3 %), и мы при этом величину β получим относительно большой.

В связи со сказанным, можно ввести понятие практически наивыгод­нейшей величины β_г.н(обозначим ее через β⁰_г.н), при которой величина 𝜔 будет отличаться от 𝜔_мин менее, чем на 3 — 4%, причем каналы будут получаться сравнительно малой г л у б и н ы. Величина β⁰_г.н может иметь любое значение, лежащее в пределах:

где β⁰_г.н- такая величина β,при которой 𝜔 отличается от 𝜔_мин на 3—4%; значение (β_г.н)_предможно найти по формуле (предложенной нами):