ПЕРЕМЕННОГО ПО ДЛИНЕ ТРУБЫ

Выше всюду рассматривались случаи, когда расход жидкости вдоль трубы был постоянным: Q = const. Однако в практике могут встречаться трубы по длине которых жидкость забирается на сторону, причем расход ее вдоль трубы изменяется.

Рассмотрим случай, когда жидкость (вода) забирается из трубопровода равномерно по его длине. Такой случай представлен на рис. 5-17. На чертеже показана труба А В длиной l и диаметром D. Эпюра I изображает забор воды из данной трубы.

Рис. 5-17. Трубопровод с переменным расходом по длине

Обозначим через q расход, отдаваемый трубой на сторону с одной единицы ее длины. Очевидно, при равномерной отдаче воды на сторону расход Q в трубе уменьшается по линейному закону. Имея это в виду, эпюру расходов воды в самой трубе в различных живых сечениях потока можно представить трапецией II; правая крайняя ордината этой эпюры выражает так называемый транзитный расход Q_T; левая крайняя ордината этой эпюры выражает расход в начальном сечении трубы (в точке А); этот расход равен Q_T + ql. Если через Q_x обозначить расход в некотором живом сечении трубы хх, то можно сказать, что при изменении х от 0 до l расход Q_x будет изменяться (по линейному закону) от (Q_T + ql) до Q_T, причем пьезометрический уклон J_x по мере уменьшения расхода будет также уменьшаться вдоль трубы. Имея в виду это обстоятельство, можем утверждать, что в данном случае пьезометрическая линия Р—Р будет кривой линией, причем выпуклость ее будет направлена вниз.

Найдем потери напора h_l для трубы АВ, имеющей расход Q, переменный по длине.

Для произвольного сечения трубы xx (рис. 5-17) имеем:

(5-89)

Используя формулу (4-104), пишем:

(5-90)

Интегрируя последнее выражение в пределах х = 0 до х = l, получаем искомую величину h_l:

(5-91)

или

(5-92)

где Q_расч— так называемый расчетный расход; величина этого расхода, согласно (5-91), должна удовлетворять условию:

(5-93)

или

, (5-94)

или

(5-95)

Если транзитного расхода нет (Q_T = 0), то из (5-95) получаем:

При наличии транзитного расхода (Q_T ≠ 0) расчетный расход, сообразуясь с зависимостями (5-95) и (5-96), находят по следующей формуле:

(5-97)

Таким образом, при наличии переменного расхода по длине трубы (изменяющегося по линейному закону, см. рис. 5-17) потерю напора h_l вычисляют по обычной зависимости (5-92), условно считая, что по длине рассматриваемой трубы имеется некоторый средний постоянный расход Q_расч, определяемый по формуле (5-97).

Как видно, используя аппарат гидравлики, в основу которого положено уравнение Бернулли, мы можем решать задачи и в случае, когда Q ≠ const вдоль потока. Однако для такого решения необходимо: а) предварительно задаться законом изменения расхода вдоль потока, б) пренебречь искривлением линий тока, обусловленным отводом (или подводом) воды к отдельным живым доениям потока.

§ 5-11. РАСЧЕТ СЛОЖНОГО (РАЗВЕТВЛЕННОГО) НЕЗАМКНУТОГО ТРУБОПРОВОДА (ТРУБОПРОВОДНОЙ СЕТИ)

Различают следующие виды сложного трубопровода:

а) незамкнутый, или, иначе, тупиковый (рис. 5-18);

б) замкнутый, или, иначе, кольцевой (рис. 5-19).

В этом параграфе рассмотрим расчет незамкнутого сложного трубопровода (тупиковой водопроводной сети), питаемого из бака Б, установленного на водонапорной башне (рис. 5-18). Такой трубопровод состоит из магистрали (главной линии; см., например, линию 1—2 — 3 — 4) и ответвлений (линий второго порядка; см. линии 2 — 5 и 3 — 6).

Рис. 5-18. Тупиковая (незамкнутая) водопроводная сеть

Р – река (источник водоснабжения), К — береговой колодец, С - насосная станция, Б — водонапорная башня, I — самотечная труба, II — всасывающая труба, III — напорная труба, 1 — 2 — 3 — 4 – магистраль, 2 — 5 и 3 — 6 — ответвления. Потери напора: h_c — в трубе I, h_BC — в трубе II, h_H — в трубе III

1°. Случай, когда высотное положение водонапорного бака не задано.

Для гидравлического расчета рассматриваемой сети труб должны быть заданы:

а) длины l отдельных труб и начертание сети их на плане местности в горизонталях;

б) расчетные расходы воды, забираемые в отдельных точках сети: q₄, q₅, q₆;

в) расход q’ забираемый с 1 м длины того или другого трубопровода (см.трубопровод 2 – 5);

г) минимально допустимые отметки горизонтов воды в воображаемых пьезометрах, привключенных к концевым точкам сети (точкам 4, 5, 6): . Задавая, мы тем самым задаем гидродинамические давления в точках 4, 5, 6, а также высоты a, на которые вода в этих точках может подняться («самотеком») над поверхностью земли, если трубопровод, как показано на рис. 5-18, проложен в земле (см., например, точку 4, где отметка поверхности земли обозначена через ).

Рис. 5-19. План замкнутой (кольцевой) сети Б — водонапорная башня

В результате гидравлического расчета можем найти: диаметры труб, а также отметку горизонта воды в водонапорном баке, обеспечивающую подачу заданных расходов воды в заданные точки сети.

Общий ход расчета может быть намечен следующий.

1.Устанавливаем расчетные расходы для отдельных участков сети.

Расчетный расход какого-либо участка сети должен равняться сумме расходов, забираемых из сети ниже (по течению) этого участка.

Например, расчетный расход для участка 3 — 4

расчетный расход для участка 1—2

расчетный расход для участка 2—5 согласно формуле (5-97) будет

2.Выбираем линию трубопроводов, которую следует рассматривать как

магистральную. В качестве магистрали намечаем линию: наиболее нагруженную расходами, наиболее длинную, характеризуемую наибольшими отметками

поверхности земли. Если магистраль будет намечена неудачно, то в конце расчета

получим некоторую неувязку (см. ниже), причем расчет придется выполнять

заново, задавшись новым направлением магистрали.

Расчет магистрали 1 — 2 — 3 — 4

1.Задаемся для отдельных участков магистрали так называемой экономической скоростью (пояснение понятия скорости иэк см. в следующем пункте); эта скорость может быть принята равной 1,0 м/с; вообще же говоря, данная скорость должна изменяться с изменением диаметра труб:

D, м . . . . . . . . . . . . . . . . 0,10 0,20 0,25 0,30

, м/с . . . . . . . . . . . . . . 0,75 0,90 1,10 1,25

2.Установив скорости для отдельных участков магистрали, находим диаметры труб магистрали:

полученное значение D' округляем до ближайшего (большего или меньшего) сортаментного значения D.

3. Зная для каждой трубы ее диаметр D и расход Q, определяем для всех участков магистрали потери напора по формуле:

4.Имея величины h_l для отдельных участков магистрали, строим пьезометрическую линию Р — Р (рис. 5-18). Построение этой линии начинаем с конца магистрали, зная отметку . Идя от точки n (см. чертеж) против течения и откладывая по вертикали вверх найденные величины (h_l)_3-4, (h_l)_2-3, (h_l)_1-2 получаем искомую линию Р — Р.

Определение отметки горизонта воды в водонапорном баке. Пояснение понятия экономической скорости.

Построив пьезометрическую линию, легко можем написать следующую зависимость, по которой и определяем отметку :

где — потери напора по длине всей магистрали.

Отметка определяет высоту водонапорной» башни H_Б.

Поясним понятие экономической скорости, о которой говорилось выше.

Положим, что мы имеем магистраль, выполненную из труб определенного диаметра. Представим теперь, что этот диаметр постепенно уменьшается. При этом получаем следующее: скорости в магистральных трубах возрастают; потери напора в этих трубах растут; высота водонапорной башни H_Б увеличивается; увеличивается также и высота Н подъема воды насосами,¹ а следовательно, растет и мощность N насосов, зависящая от QH₀, где Н₀ = Н + h_c + h_вс + h_н (см. рис. 5-18).

Можно утверждать, что с уменьшением диаметра труб магистрали стоимость самой магистрали будет уменьшаться; стоимость же водонапорной башни и насосной станции будет увеличиваться; также будет увеличиваться и ежегодный расход электрической энергии на насосной станции (в связи с работой более мощных насосов).

При увеличении диаметра труб магистрали получаем обратную картину: стоимость самой магистрали растет, а стоимость башни и насосной станции (а также электроэнергии) уменьшается.

На основании сказанного был исследован вопрос о том, при каких именно скоростях в магистрали получается наиболее экономичное сооружение; в результате и были установлены величины приведенных выше так называемых экономических скоростей.

Расчет ответвлений

Построив пьезометрическую линию для магистрали, мы тем самым задали напоры в начале каждого ответвления. Например, напор в начале ответвления 3—6 определяется отметкой ; напор в начале ответвления 2-5 определяется отметкой .

В связи с этим обстоятельством расчет ответвлений принципиально отличается от расчета магистрали:

а) в случае магистрали напор в начале ее не был задан (отметка

не была задана); поэтому при расчете магистрали мы исходили из скорости ;

б) в случае ответвлений напор в начале их задан; задан также и напор

в конце каждого ответвления; поэтому при расчете ответвлений исходим

из заданной потери напора для каждого ответвления (разности напоров в начале и в конце ответвления).

Имея в виду сказанное, поступаем следующим образом (см. рис, 5-20, на котором для примера представлен продольный профиль по ответвлению 3-6):

а) определяем потерю напора в ответвлении:

где ; известна из расчета магистрали;

б) переписываем формулу (5-2), служащую для определения потерь напора, в виде:

;

по этой формуле находим К'

в)по соответствующим таблицам, зная К' находим диаметр D'; полученное значение D' округляем до ближайшего большего сортаментного значения D

г)по найденному значению D определяем модуль К и вычисляем; действительные потери напора в ответвлении h_l.

Как видно из чертежа, благодаря округлению D' до большего значения D потеря напора в ответвленщ/уменьшилась, причем пьезометрическая линия несколько поднялась; при округлении D' до меньшего сортаментного значения отметка в точке 6 оказалась бы не обеспеченной.

Рис. 5-20. Ответвление незамкнутой сети

Рис. 5-21. К расчету магистрали при заданной высоте водонапорной башни

В заключение приведем следующее указание.

Если бы в начале расчета мы выбрали магистраль неудачно, то при расчете того или другого ответвления у нас получилось бы соотношение (см. пример ответвления 3-6 на рис. 5-20): > . Такое соотношение показывает, что в конец ответвления 3—6 подать необходимый расход невозможно (соблюдая требования в отношении отметки ). Поэтому при наличии указанного соотношения приходится задаваться новым направлением магистрали, идущим, например, по линии 1 – 2 – 3 – 6 на рис. 5-18 и снова повторять расчет.

2°. Случай, когда высотное положение водонапорного бака задано.Ограничимся рассмотрением только магистральной линии (рис. 5-21).

Положим, что для расчета имеются следующие исходные данные:

а) длины труб l₁, l₂ ...;

б) расходы воды в отдельных трубах Q₁, Q₂, …;

в) потеря напора Z в рассматриваемом трубопроводе.

В результате расчета требуется найти диаметры труб: D₁, D₂, D₃, ….

Ход расчета

1.Обозначив через L длину магистрали: , …, вычисляем средний пьезометрический уклон:

2. Находим для каждого участка значение К (в первом приближении):

и т.д.

3. Исходя из найденных К, по таблице, выражающей зависимости К =f(D)

определяем:

а) ближайшие меньшие сортаментные значения диаметра труб: D'₁ , D'_2, D'_3, ...

б) ближайшие большие сортаментные значения диаметра труб: D”₁ , D”_2, D”_3, ...

4. Рассматриваем различные комбинации найденных сортаментных диаметров, например:

1-й вариант: D'₁ , D”₂, D’₃, D”₄ и т. д.;

2-й вариант: D"_1, D'₂ ,D”₃, D’₄ и т. д.

Если число отдельных участков магистрали равно n , то число возможных комбинаций (вариантов) будет 2ⁿ. Из этого числа вариантов по техническим соображениям мы должны отобрать только те из них, которые удовлетворяют условию:

∑ h_l ≤ Z,

где ∑ h_l - cумма потерь напора для всех участков магистрали.

Очевидно, варианты, характеризуемые условием ∑ h_l > Z неприемлемы, так как в них при заданном Z требуемые расходы Q не будут обеспечиваться.

5. Из числа отобранных вариантов останавливаемся (по экономическим соображениям) , для которого масса трубопровода (т. е. величина ∑(lβ), где β - масса 1 м трубы данного диаметра) оказывается минимальной. Ясно, что трубопровод, имеющий наименьшую массу, будет иметь также и наименьшую стоимость.

§ 5-12. ЗАМЕЧАНИЯ О РАСЧЕТЕ СЛОЖНОГО ЗАМКНУТОГО ТРУБОПРОВОДА

Поясним только основной принцип расчета сложного замкнутого трубо-провода (кольцевой водопроводной сети).

Рассмотрим сеть, имеющую одно кольцо (рис. 5-22, а). Если расходы воды забираются в точках 4 и 5 сети, как показано на чертеже, то направление движения воды во всех трубах, кроме трубы 4—5, нам известно заранее.

Положим, что для расчёта нам заданы:

а) длины всех труб;

б) отметка горизонта воды в водонапорном баке, расположенном в точке 1;

в) минимальные допустимые отметки горизонта воды в воображаемых пьезометрах, присоедененных к узловым точкам сети 3,4, 5, 6;

г) расходы q₄ и q₅, забираемые из сети.

Требуется установить диаметры отдельных труб, а также построить пьезометрическую линию для трубопровода.

Первую задачу (определение диаметров труб) решаем путем ряда попыток.

1-я попытка. Задаемся: а) диаметрами отдельных труб; б) направлением движения воды в трубе 4 — 5, например, слева направо; в) распределением расхода q₅ между линиями 4 — 5 и 6—5; здесь считаем, что расход линии 4 — 5 равен εq₅, а расход линии 6 — 5 равен (1 — ε) q₅, причем задаемся величиной ε.

В рассматриваемом кольце труб имеются два разных потока: один против часовой стрелки (2 — 3 — 4), другой – по часовой стрелке (2 — 6 —5). Задавшись направлением движения воды по линии 4 — 5 слева направо, мы тем самым назначим встречу двух указанных потоков в точке 5. Точка встречи двух потоков называется точкой водораздела или нулевой точкой.

Чтобы проверить, правильно ли мы задались диаметрами труб, положением точки водораздела и величиной ε , поступаем следующим образом.

Мысленно разрезаем наше кольцо по намеченной точке водораздела, причем получаем сеть, изображенную на рис. 5-22,б. Далее по обычным формулам подсчитываем потерю напора для линии 1- 2 - 3 - 4 - 5' (h_1-2-3-4-5') и для линии 1- 2 - 6 - 5" (h_1-2-6-5"). После этого сопоставляем между собой две найденные потери напора. Если (h_l)_1-2-3-4-5' = (h₁)_1-2-6-5" , то заключаем, что напоры в точках 5' и 5" будут одинаковыми, что и должно быть, поскольку точки 5' и 5" представляют собой физически одну точку 5 (рис. 5-22, а). Следовательно, получив указанное равенство, можем утверждать, что выше мы задались правильно как диаметрами труб D), так и величиной ε. Если указанное равенство не получается, то приходится изменять величины D и ε, а иногда и переносить точку водораздела в другую точку сети (в точку 4 на чертеже). При этом обращаемся ко 2-й, 3-й и последующим Попыткам, добиваясь того, чтобы приведенное выше равенство было выдержано хотя бы приближенно.

МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО РАСЧЕТАМ НАПОРНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ

1°. Задачи на расчет коротких трубопроводов.

№ 1. Имеем простой трубопровод постоянного диаметра (см. рис. 5-3,б). Истечение воды из сосуда А по этому трубопроводу происходит в атмосферу.

Дано: Q = 40 л/с; l = 25 м; D = 150 мм.

Требуется найти напор H.

Ответ. Н = 3,8 м.

№ 2. Два резервуара А и В, наполненные водой, соединены трубопроводом постоянного диаметра. На трубопроводе имеется задвижка Лудло С с открытием a/D = 0,5 (рис. 5-23).

Рис. 5-23. К задаче № 2

Дано: Q = 30 л/с; l = 25 м; наибольшая допустимая разность горизонтов воды в резервуарах Z_макс = 2,0 м.

Требуется определить диаметр трубопровода D.

Решение. Для расчета пользуемся основной зависимостью (5-36'):

(А)

В этой формуле ω = f₁/(D) и µ_т = f₂(D), в связи с чем найти непосредственно диаметр D из уравнения (А) нельзя. Это уравнение приходится решать в отношении D подбором.²

С этой целью переписываем (А) в виде:

(Б)

величина

(В)

следовательно, искомая величина D должна удовлетворять условию

µ₁ω ≥ 0,0048 м²

Рис. 5-24. К задаче № 2

Так как при истечении под уровень [см. формулу 5-37]

причём ζ_вх = [см. формулу (4-163)], ζ_вых = 1,0 [см. формулу (4-135)] и ζ₃ = 5,3 см. формулу 4-15, стр. 199, то

По полученной зависимости (Д) вычисляем величины µ_тω, задаваясь различными сортаментными диаметрами трубы. Все вычисления сводим в таблицу (форма 1). По данным 1-й и 7-й строк таблицы (форма 1) строим на рис. 5-24 график

µ_тω = f(D).

Откладываем по вертикальной оси этого графика величину (В), определяем диаметр D, отвечающий Z_makc. Полученное таким образом D округляем до ближайшего большего сортаментного значения, т. е. до D = 150 мм.

Форма 1

№ строки	Величина или расчетная формула	Единица измерения	Задаваемые и найденные численные значения	Примечания
	D	м	0,200	0,150	0,125	0,100	—
		м2	0,0314	0,0177	0,0123	0,0078	—
	λ	—	0,0323	0,0356	0,0380	0,0416	По табл. 5-3 (стр. 212),
		—	4,05	5,94	7,60	10,40	—
		—	10,85	12,74	14,40	17,20	—
		— :	3,30	3,56	3,80	4,15	—
		м2	0,0095	0,0050	0,0032	0,0019	По формуле (Д)

№3. Вода из бака A поступает в открытый резервуар В по трубопроводу, состоящему из труб разного диаметра (рис. 5-25).¹

Д а н о (см. чертёж): избыточное (сверхатмосферное) поверхностное давление в баке А равно p₁ = 120 кПа ( = 102 кгс/см2); Н_А = 1,0 м; Н_В = 5,0 м; l₁ = 20,0 м; l₂ = 30,0 м; D₁ = 150 мм; D₂ = 200 мм.

Требуется найти расход Q и построить напорную и пьезометрическую линии для трубопровода.

Р е ш е н и е. Напор Z, под которым вода движется из резервуара А в резервуар В (см. рис. 5-25),

Рис. 5-25. К задаче №3

Поскольку в нашем случае имеет место истечение под уровень, для расчёта пользуемся формулой (5-36), которую перепишем в виде:

(Е)

где

(Ж)

В нашем случае полный коэффициент сопротивления

(З)

Причём все коэффициенты должны быть приведены к одной и той же скорости, согласно зависимостям (5-20) – (5-23).

Поскольку в формулу для расхода Q мы ввели вместо ω площадь сечения первой трубы ω₁, то указанные коэффициенты сопротивления ζ1 и ζ2 должны приводиться к скорости υ₁.

Имея в виду сказанное, для коэффициентов ζ1 , ζ2 , ζр.р и ζвых принимаем следующие зависимости:

Полный коэффициент сопротивления

(И)

Найдём величины λ и ζ, входящие в уравнение (И):

a) величина λ₁ для чугунной трубы, бывшей в эксплуатации, диаметром D=150мм, согласно табл. 5-3 (с.212),

λ₁ = 0,0356;

б) величина λ₂ для такой же трубы, но диаметром D=200мм,

λ₂ = 0,0323;

в) величина ζ_вх для входа в трубу из бассейна больших размеров, согласно (4-163),

ζ_вх = 0,5;

г) ζ_вых для выхода в бассейн больших размеров, согласно формуле (4-135),

ζ_вых = 1,0;

Находим, согласно формуле (И), величину ζ_f и, согласно формулам (Е) и (Ж), величины µ_Т и Q:

.

Для построения напорной линии Е – Е вычисляем отдельные потери напора:

По этим данным строим линию Е – Е , показанную на рис. 5-25.

Пьезометрическую линию Р – Р проводим ниже напорной на величину = 1,35м для первой трубы и на величину = 0,43 м для второй трубы (считаем α = 1,0).

2°. Задачи на расчёт длинных трубопроводов.

№4. На рис. 5-11 представлен длинный трубопровод, состоящий из труб разного диаметра. Трубопровод соединяет два резервуара А и В.

Дано рис. 5-11: Z = 9,0 м; l₁ = 1200; l₂ = 1500 м; l₃ = 1000 м; D₁= 200 м; D₂= 250 м; D₃=200 м;

Требуется найти расход воды Q.

Ответ: Q =20 л/с.

№5. Вода из бака вытекает через длинную трубу постоянного диаметра в атмосферу. В конце трубы имеется сопло (см. рис. 5-12).

Дано: Q =40 л/с, l = 900 м, Н = 22 м; площадь поперечного сечения сопла ω₀ = 0,003м²; коэффициент расхода сопла µ_сп = 0,92. Требуется найти диаметр трубы D.

Решение. Для расчета пользуемся зависимостью (5-77):

Из этой зависимости находим модуль расхода:

Зная К, по табл. 5-3 (см. стр. 212) находим диаметр трубопровода D — 200 мм. Как видно, в качестве такого диаметра мы приняли сортаментный диаметр, дающий ближайшую к установленной выше величину К,