Векторно-координатный способ задания движения точки

Пусть точка m совершает движение по отношению к прямоугольной системе координат xyz. Для определения положения точки в этой системе необходимо знать три ее координаты . Если эти координаты известны для любого момента времени, то движение точки считается заданным, то есть координаты заданы в виде известных функций времени:

. (1)

Система уравнений (1) представляет собой уравнения движения точки в декартовой системе координат.

Функции времени однозначны (точка в одно и то же время не может находиться в других точках пространства), непрерывны (бесконечно малому приращению времени t соответствует бесконечно малое приращение координат) и должны допускать производные. Положение точки m в пространстве может быть определено радиусом-вектором , определяющим ее положение относительно некоторой точки пространства: . Приняв за начало радиуса-вектора начало координат системы xyz, всегда можно выразить через его проекции на оси координат:

,

где – единичные орты координатных осей;

x, y, z – координаты точки m, равные проекциям вектора на соответствующие оси.

Величина радиуса вектора равна , а направление его определяют направляющие косинусы:

; ; .

Очевидно, если задана система уравнений (1), то можно определить , и наоборот. Уравнения (1) могут рассматриваться как параметрические с параметром t. При переходе от параметрических уравнений к уравнениям, связывающим координаты (путем исключения параметра t), получают уравнение траектории точки. Например, из первого уравнения выразим и подставим в остальные:

Эти уравнения дают траекторию точки в виде линии пересечения двух поверхностей.